Semaine 1 Chap. I Matrices Semaine 2 Chap. II Courbes planes

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Semaine 1
Chap. I Matrices
I. Introduction
II. Addition de deux matrices
III. Multiplication par un réel
IV. Multiplication de deux matrices
Semaine 2
Chap. II Courbes planes
I. insuffisances des fonctions
II. Généralités sur les courbes planes
Définition, dérivation, interprétation géométrique, lien avec la mécanique.
III. Courbes polaires
DM 1
Pour le 6/x
Exercice 1. Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon
indépendante
1. Résolution d’une équation différentielle On considère l’équation différentielle
y′+y= 2e−x(1)
où yest une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R, ety′sa
fonction dérivée.
a. Déterminer les solutions sur Rde l’équation différentielle
y′+y= 0 (2)
b. Soit hla fonction définie sur Rpar h(x) = 2xe−x.
Démontrer que la fonction hest une solution particulière de l’équation dif-
férentielle ??.
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle ??.
d. Déterminer la solution fde l’équation différentielle ?? dont la courbe repré-
sentative, dans un repère orthonormal, passe par le point de coordonnées
(0 ; 3).
2. Étude d’une fonction
a. La courbe C(voir ?? représente dans un repère orthonormal (O;−→ ı , −→ )une
fonction fdéfinie sur Rpar f(x) = (ax+b)e−x, où aet bsont deux nombres
réels.
La droite ∆est la tangente à la courbe Cau point Ad’abscisse 0. Cette
tangente passe par le point Bde coordonnées (3 ; 0).
i. Déterminer graphiquement f(0).
ii. Déterminer, graphiquement ou par le calcul, f′(0).
iii. Déterminer les valeurs des nombres réels aet b.
Dans la suite, on admet que fest définie sur Rpar f(x) = (2x+
3)e−x.
b. i. Démontrer que, pour tout xde R,f′(x) = (−2x−1)e−x.
ii. Résoudre dans Rl’inéquation f′(x)>0;
iii. En déduire le sens de variation de fsur R.
(On ne cherchera pas les limites en −∞ et +∞.)
c. i. Déterminer le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0, de
la fonction x7→ e−x.
ii. Démontrer que le développement limité, à l’ordre 2, au voisinage de 0,
de la fonction fest : f(x) = 3 −x−1
2x2+x2ε(x)avec lim
x→+0 ε(x) = 0.
3. Calcul intégral
a. La fonction fdéfinie dans la partie précédente est la solution de l’équation
différentielle ?? de la première question. Donc, pour tout xde R,f(x) =
−f′(x) + 2e−x. En déduire une primitive Fde fsur R.
b. On note I=Z1
2
0
f(x)dx.
i. Démontrer que I= 5 −6e−1
2.
ii. Donner une valeur approchée arrondie à 10−3près de I.
c. On note J=Z1
2
03−x−1
2x2dx.
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i. Démontrer que J=65
48.
ii. Donner une valeur approchée arrondie à 10−3près de J.
iii. Vérifier que les valeurs approchées obtenues précédemment pour Iet J
diffèrent de moins de 10−3.
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5 6−1−2~ı
~
Fig. 1:
Exercice 2. La cote zd’un solide en mouvement est régie par l’équation différentielle
suivante
mz′′ +kz =δcos(ωt)(3)
où zdésigne une fonction définie sur ]−∞; +∞[.
1. On donne m= 2 kg ; k= 32 N·m−1,δ= 48 N ; ω= 2 rad·s−1.
a. Chercher une solution particulière de l’équation ?? du type :
z0(t) = Acos(ωt) + Bsin(ωt).
b. Donner toutes les solutions de l’équation différentielle ??.
On s’intéresse dans toute la suite de l’exercice à la solution de fde ??
vérifiant f(0) = 3 ;f′(0) = 0.
c. Déterminer, pour tout réel t, l’expression de f(t).
2. Soit fla fonction définie sur Rpar f(t) = cos(4t) + 2 cos(2t).
a. i. Montrer qu’on peut réduire l’étude de fà l’intervalle h0 ; π
2i.
ii. Montrer que pour tout réel t,f′(t) = 8 sin(3t) cos(t).
iii. Donner le tableau de variation de fsur l’intervalle h0 ; π
2i.
iv. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur h0 ; π
2i.
En donner une valeur approchée à 10−2près, en justifiant la réponse.
v. Tracer la courbe représentative de fdans un repère orthonormé l’in-
tervalle [0 ; π], (unités graphiques 2 cm).
On expliquera précisément comment on déduit le tracé sur hπ
2;πidu
tracé h0 ; π
2i.
b. Calculer la valeur moyenne de fsur l’intervalle h0 ; π
2i.
Corrigé du DM 1
Corrigé de l’exercice 1.
1. a. y′+y= 0 est une équation différentielle linéaire du premier ordre, sans
second membre, donc les solutions sont de la forme y(x) = Ce−f(x)avec
f(x)une primitive de 1, soit f(x) = x.
Les solutions de l’équation différentielle sont : y(x) = Ce−x.
b. h′(x) = 2e−x−2xe−x. On en déduit que h′(x) + h(x) = 2e−xet donc hest
une solution particulière de l’équation différentielle.
c. On en déduit que les solutions générales de l’équation différentielle sont :
y(t) = Ce−x+ 2xe−x.
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d. La courbe représentant la fonction passe par le point de coordonnées (0 3),
donc on a y(0) = C+ 0 = 3 donc C= 3.
f(t) = 3e−x+ 2xe−x= (2x+ 3)e−x.
2. a. f(0) = 3.
f′(0) est la pente de la tangente au point d’abscisse 0. C’est la droite (AB)
dont la pente est −1. Donc f′(0) = −1.
On en déduit que f(0) = b= 3 ;f′(x) = (−ax +a−b)e−xdonc f′(0) =
a−3 = −1donc a= 2.
On en déduit que f(x) = (2x+ 3)e−x.
b. f′(x) = 2e−x−(2x+ 3)e−x= (−2x−1)e−x.f′(x)>0ssi −2x−1>0, soit
x < −1
2. On en déduit le tableau de variation :
x−∞ −1
2+∞
f′(x) + 0 −
f(x)
2e1
2
@@@R
c. e−x= 1 −x
1! +x2 2+x2ε(x) = 1 −x+x2 2+x2ε(x), avec lim
x→0ε(x) = 0.
On en déduit le développement limité de
f(x) = (2x+ 3) 1−x+x2
2+x2ε(x)
= 2x−2x2+ 3 −3x+3
2x2+x2ε(x)
= 3 −x−1
2x2+x2ε(x),
avec lim
x→0ε(x) = 0.
3. a. On connaît la dérivée f(x) = −f′(x) + 2e−xdonc une primitive Fde fest :
F(x) = −f(x)−2e−x.
b. I=Z1
2
0
f(x)dx =F1
2−f(0) = −4e−1
2−2e−1 2+3+2 = 5−6e−1 2≈1,361
u.a.
c. J=Z1
2
0
3−x1
2x2dx =3x−x2 2−x3 6
1
2
0
=3
2−1 8−1 48 =65 48 ≈= 1,354
u.a.
La différence entre Iet Jest de 0,007 qui est bien inférieur à 10−2.
Corrigé de l’exercice 2. L’équation à résoudre est : 2z′′ + 32z= 48 cos(2t).
1. a. On cherche une solution particulière. z′′
0(t) = −4Acos(2t)−4Bsin(2t). On
a donc :
−8Acos(2t)−8Bsin(2t) + 32Acos(2t) + 32Bsin(2t) = 48 cos(2t)
Par identification, on a :
(−8A+ 32A= 48
−8B+ 32B= 0
Soit A= 2 et B= 0. La solution particulière est donc : 2 cos(2t)
b. L’équation sans second membre est du deuxième ordre. On calcule le poly-
nôme caractéristique 2r2+ 32 = 0, soit r2−(4i)2= 0 soit r= 4iou r=−4i
(identité remarquable). Les solutions de l’équation sans second membre sont
donc de la forme Acos(4t) + Bsin(4t).
Les solutions générales de l’équation sont donc de la forme : Acos(4t) +
Bsin(4t) + 2 cos(2t).
c. Les conditions entraîne f(0) = A+2 = 3, soit A= 1 et f′(t) = −4Asin(4t)+
4Bcos(4t)−4 sin(2t), soit f′(0) = 4B= 0. On en déduit que la solution
f(t) = cos(4t) + 2 cos(2t).
2. a. f(t+π) = cos(4t+ 4π) + 2 cos(2t+ 2π) = cos(4t) + 2 cos(2t) = f(t). Donc
fest périodique de période 2π. On peut restreindre l’étude à l’intervalle
h−π
2;π 2i.
De plus fest paire comme somme de fonction paire. Donc on restreint à
l’intervalle h0 ; π
2i.
f′(t) = −4 sin(4t)−4 sin(2t) = −4(sin(4t)−sin(2t)). En utilisant sin(p) +
sin(q) = 2 cos p−q
2sin p+q 2, on obtient : f′(t) = −8 cos(t) sin(3t).
Sur h0 ; π
2i,cos(t)≥0;sin(3t)≥0pour 3t≤π, donc, pour t≤π 3.
On en déduit le tableau de variation suivant :
t0π
3
π
2
cos(t) + + 0
sin(3t) 0 + 0 −
f′(t) 0 + 0 −0
f(t)
3@@@R−3
2
−1
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La fonction fest strictement décroissante sur h0 ; π
3iet change de signe sur
cet intervalle. On en conclut que f(x) = 0 s’annule une fois et une seule sur
l’intervalle h0 ; π
2i.
x0≈0,598
On a le graphique ??
0
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4
~ı
~
Fig. 2:
On effectue une symétrie par rapport à la droite d’équation x=π
2.
b. Soit µla valeur moyenne de fsur h0 ; π
2i.µ=2 πZπ
2
0
f(x)dx =
2
π1 4sin(4t) + sin(2t)
π
2
0
= 0.
Travaux Pratiques 1
Exercice 3. Étude de la fonction Fdéfinie par :
x=f(t) = cos(3t)
y=g(t) = sin(2t)x∈R
1. Réduction de l’intervalle d’étude.
Quel est le plus intervalle sur lequel étudier la fonction F. (périodicité des fonc-
tions, parité.
2. Étude des variations de fet g
Étudier les variations de fet gsur l’intervalle trouvée à la question précédente.
Résumer les interventions dans un tableau.
3. Y a t-il des points singuliers ? Y a-t-il des points pour lesquels la tangente à la
courbe admet des valeurs particulière (horizontale, verticale,. . . ). Quels sont les
tangentes à la courbe pour les intersections de la courbe avec les axes.
4. Tracer la courbe sur l’intervalle de la première question. Compléter la courbe.
Exercice 4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O;−→ ı , −→ )(unité gra-
phique 5 cm). On appelle Cla courbe définie par les équations paramétriques :
x=f(t) = (2 + cos(2t)) sin(t)
y=g(t) = cos(t)x∈R
1. Montrer que fet gsont de périodes 2π. On limitera l’étude à l’intervalle ]−π;π[.
2. Étudier la parité de chacune des des fonctions fet gen déduire un élément de
symétrie de la courbe C.
3. Calculer f(π−t)et g(π−t), en déduire un autre élément de symétrie de la courbe
C.
4. a. Montrer que f′(t) = 3 cos(t) cos(2t).
b. Étudier les variations de fet gsur l’intervalle h0 ; π
2i. Préciser les tangentes
parallèles aux axes.
Tracer avec précision la partie de la courbe Ccorrespondant à cet intervalle,
puis à l’aide des symétries mises en évidence aux questions précédentes,
tracer C.
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5. On démontre que l’aire, exprimée en unité d’aire, du domaine limitée par la
courbe Cest donnée par la formule :
A=Z2π
0|f(t)g′(t)|dt.
On ne demande pas d’établir cette formule.
a. Préciser le signe de f(t)et g′(t)pour t∈h0 ; π
2iet montrer que Aest
l’intégrale sur h0 ; π
2ide la fonction hdéfinie par
h(t) = 8 sin2(t) + 4 sin2(t) cos(2t).
b. Linéariser la fonction h.
c. En déduire l’aire A.
Exercice 5. La courbe Cest définie par la représentation paramétrique suivante :
(x=f(t) = t2−4
y=g(t) = t
t2−1
x∈R− −1 ; 1
1. Montrer que Cest symétrique par rapport à Ox. Étudier le sens de variations
des fonctions fet gsur l’ensemble [0 ; 1[∪]1 ; +∞[.
2. a. Calculer f(1) et lim
t→1g(t); en déduire l’équation d’une asymptote à C.
b. Calculer lim
t→+∞f(t)et lim t→+∞g(t); en déduire l’équation d’une seconde
asymptote.
3. Préciser la tangente à Cau point de paramètre t= 0 et tracer la courbe Cpour
télément de R− −1 ; 1.
Exercice 3.
Recherche de l’exercice 4. Semaine 3
Correction de l’exercice 4.
Fin de l’exercice 4. Exercice 5 et 6.
Exercice 6. La cycloïde est la courbe décrite par un point Md’un cercle Cde rayon
rroulant sans glisser sur une droite.
On note tune mesure de l’angle −−−→
Ω1M;−−→ Ω1A.
On suppose Mconfondu avec Oquand t= 0.
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6~ı
~
Fig. 3:
1. a. Le cercle roulant sans glisser, la longueur OA est égale à la mesure algébrique
de l’arc ⌢ MA : exprimer celle-ci en fonction de tet de r. En déduire les
coordonnées du vecteur −−→ OΩ1.
b. On a ~
ıi ;−−−→ Ω1M=−π
2−tà2πprès. En déduire les coordonnées du vecteur
Ω1M.
c. En déduire que les coordonnées de Msont :
(x=rt −rsin(t)
y=r−rcos(t)t∈R
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