Résumé du cours dFAlgGbre (1) Division euclidienne # Racines de

Résumé du cours d’Algèbre
(1) Division euclidienne
-Racines de l’unité :Si !=e2ik=n, alors !k=!roù r=kmodulo n. En particulier, !p= 1 ,p2nZ:
Pour n2N, l’ensemble des racines n-ième de l’unité est Un=f!k; k 2Zg=f!k;0k < ng:
-Division euclidienne dans les polynômes : Pour A2K[X]et Bnon nul, A=BQ +R, avec deg R < deg B:
Si B= (Xa1)(Xa2):::(Xad), avec aidistincts, alors Rest dé…ni par R(ai) = A(ai): Interpolation de Lagrange.
-Application aux polynômes de matrices : Supposons Bpolynôme annulateur de Ade degré d.
Alors An=Rn(A), où Rnest le reste de la division euclidienne Xnpar B. Ainsi, An2Vect(I; A; A2; :::; Ad1):
(2) Dénombrement
- Cardinal d’une réunion. Produit cartésien : card(EF) = (card E)(card F),card Ep=np, où n= card E:
- Il y a 2nparties dans E: Une partie Apeut être codée par (xa)a2E2 f0;1gE, avec xa= 1 ssi a2A.
- Deux ensembles Eet E0ont même cardinal ssi il existe une bijection de Esur E0:
Exemple : Si a2Eet n= card E,Ilyan1
p1parties de cardinal pcontenant a.
- Un p-uplet injectif de Eest un p-uplet (x1; :::; xp)2Epoù les éléments sont distincts deux à deux.
Si n= card E, le nombre de p-uplets est npet le nombre de p-uplets injectifs est n(n1):::(np+ 1).
Il y a n!permutations de f1;2; :::; ng.
(3) Racines des polynômes et polynômes irréductibles
-aracine de Pd’ordre m,P(a) = P0(a) = ::: =P(m1)(a) = 0 ,(Xa)mdivise P:
- Un polynôme de degré nadmet au moins (n+ 1) racines (comptées avec multiplicité) est nul.
-Interpolation de Lagrange : Un polynôme Pde degré (n1) est entièrement déterminé ses valeurs en npoints.
On a P(X) = Pn
i=1 P(xi)Li(X), où Li(X) = Qj6=i(Xxj)=(xixj).
- Un polynôme de degré ndont on connaît nzéros est scindé à racines simples.
Exemple : Xn1 = Qn1
k=0 (X!k), où !=e2ik=n, donc 1 + X+::: +Xn1=Xn1
X1=Qn1
k=1 (X!k):
On a par exemple X31 = (X1)(Xj)(Xj2), donc 1 + X+X2= (Xj)(Xj2):
Exemple : Polynôme de Tchebytchev Tn(cos ) = cos(n). Les nréels xk= cos((2k+1)
2n), avec 0k < n sont des
racines distinctes de Tn. Comme deg Tn=net de coe¢ cient dominant 2n1, alors Tn= 2n1Qn1
k=0 (Xxk):
Remarque : Un polynôme de degré nadmettant au moins (n1) racines en admet n(car le quotient est de degré 1).
- Les polynômes irréductibles de C[X]sont les X: Tout polynôme est scindé (d’Alembert-Gauss).
- Les racines complexes d’un polynôme réel sont deux à deux conjuguées.
Les polynômes irréductibles de R[X]sont les (X)et les (X2+aX +b), avec a24b < 0:
Remarque : Tout polynôme de degré 2ou 3est irréductible ssi il n’a pas de racine.
En revanche, X4+ 1 n’a pas de racine réelle mais n’est pas irréductible dans R[X]:
- Les racines d’un polynôme pair sont deux à deux opposées et dans C[X]:P(X) = Q(X2) = (X21):::(X2r):
(4) Linéarité

- Espaces vectoriels, sev, applications linéaires, image directe et réciproque d’un sev.
- Théorème fondamental : Si Ker uS=E, alors uest un isomorphisme de Ssur Im u:
- Equation linéaire : u(x) = b, équation homogène et nature des solutions, principe de superposition.
Systèmes linéaires : AX =Bde rang r= rg A. L’ensemble des solutions est soit vide soit X0+ Ker A:
(5) Exemples de matrices
-Matrice circulante :A=0
@
a c b
b a c
c b a
1
A=aI3+bJ +cJ2, avec J=0 @
0 0 1
1 0 0
0 1 0
1
A, et J(x) = (x31):
Le polynôme caractéritique est scindé à racines simples, donc J=P DP 1, avec D= Diag(1; j; j2):
Donc A=P(aI +bD +cD2)P1, et Aest semblable à 0
@
a+b+c0 0
0a+bj +cj20
0 0 a+bj2+cj
1
A:
-Matrice de Van der Monde :M= (aj1
i)1in;1jn.
La matrice de Van der Monde est la matrice de Kn1[X]!Kn1P7! (P(a1); :::; P (an)) dans les bases canoniques:
En considérant det Mcomme un polynôme en an1qui s’annule en les autres ai, on montre : det M=Qi<j(ajai):
-Matrices compagnons.
Exemple : Si dim E= 2 et un’est pas une homothétie alors il existe un vecteur x6= 0 qui n’est pas valeur propre.
Alors B= (x; u(x)) est une base de E, et MatBu=0a
1b, où u2(x) = ax +bu(x):
Exemple : Si u2 L(E)et x2Esont tels que B= (x; u(x); u2(x)) base de E, alors MatBu=0
@
0 0 a
1 0 b
0 1 c
1
A.
-Matrices de permutation :M= (E(1); :::; E(n))où bijection de f1;2; :::; ngsur f1;2; :::; ng:
L’endomorphisme associé est l’endomorphisme ude Kndé…nie par u(ej) = e(j):
L’endomorphisme uest bijectif (car l’image de la base (e1; :::; en)est une base). Ainsi, u2GL(Kn).
On a, pour tout j2 f1;2; :::; ngm; (uu0)(ej) = u(e0(j)) = e0(j).
Donc MM0=M0:Ainsi, 7! Mest un morphisme de groupes de (Sn;)dans (GLn(K);):
En particulier, on a (MId) = Inet pour tout ,(M)1=M1:
-Matrices élémentaires (elles sont inversibles) : Matrices de permutation (échange), de transvections, de dilatations.
Une transvection M=In+Eij, avec i6=j:AM est obtenue en ajoutant AiàAj(opérations sur les colonnes)
Une succession d’opérations sur les colonnes revient à passer de AàAP , avec Pinversible.
De même, une succession d’opérations sur les lignes revient à passer de AàQA, avec Qinversible.
Par la méthode du pivot, on peut transformer Aen Jr, d’où l’existence de Pet Qtels que QAP =Jr:
-Matrices de rang 1 : Toute matrice A2 Mn;p(K)de rang 1 s’écrit XtY, avec X2Knet Y2Kpnon nuls.
En e¤et, les colonnes de Asont colinéaires à un même vecteur non nul Y, et elles ne sont pas toutes nulles.
-Matrices triangulaires supérieures : cf sev stables.
-Matrices nilpotentes : On se place dans Mn(C)pour simpli…er (on dispose de la trigonalisation).
Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) Anilpotente : il existe p2Ntel que Ap=O

ii) 0est la seule valeur propre de A, c’est-à-dire Sp(A) = f0g.
iii) Aest semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte (et donc An=O).
-Matrice de symétrie, matrices de projection :M2=I,M2=M: cf diagonalisation.
-Matrices symétriques réelles (nb : la propriété de diagonalisation des matrices symétriques est spéci…que à R).
Matrice symétrique positive : Les valeurs propres sont positives, ce qui équivaut à 8X,(AX jX)0:
-Matrices de Gram
Pour A2 Mn;p(R), on a tAA = (hAi; Aji)1ip;1jpmatrice carrée symétrique, et on a X;tAAX=kAXk2:
Remarque : En fait, toute matrice réelle symétrique positive M2Sn(R)s’écrit M=tAA, avec A2 Mn(R):
-Matrices stochastiques : On dit que A2 Mn(R)est stochastique ssi 8i2 f1;2; :::; ng,Pn
j=1 aij = 1:
En fait, cette condition s’écrit vectoriellement A=, où est le vecteur dont tous les coe¢ cients valent 1.
Ainsi, un produit de matrices stochastiques est stochastique : (AB) = A(B) = A=).
Le vecteur est vecteur propre de A. Toute valeur propre (complexe) est de module 1(on étudie AX =X).
(6) Familles libres, somme directe
Une famille (x1; :::; xn)est libre ,(Pixi= 0 ) 8i; i= 0) ,aucun vecteur n’est combinaison des précédents.
F1,F2,..., Fnsont en somme directe ssi 8(x1; :::; xn)2F1F2::: Fn,Pxi= 0 ) 8i,xi= 0:
Deux sev Fet Gsont en somme directe ssi F\G=f0g:Faux pour 3 sev (ou plus).
Les sev propres sont en somme directe.
Les seuls endomorphismes où tout vecteur non nul est vecteur propre sont les homothéties Id.
(7) Dimension et rang
- Dans un ev Ede dimension n, toute famille libre de cardinal nest une base. Exemple : Familles orthonormées.
-dim E=nssi il existe un isomorphisme u:Kn!E:
- Tout sev Fde Evéri…e dim Fdim E, alors égalité ssi F=E.
- Formule de Grassmann : dim(F+G) = dim F+ dim Gdim(F\G):
En particulier, si dim F+ dim G > dim E, alors dim(F\G)1, c’est-à-dire F\G6=f0g:
- Pour A2 Mn;p(K),Im A= Vect(A1; :::; Ap)et Ker A=fXjAX = 0g.
On a rg A= rg(tA)min(n; p)et rg(AB)min(rg A; rg B):
- Le rang n’est pas modi…é en composant par un isomorphime : rg(P AQ) = rg A, pour P2GLn(K)et Q2GLp(K).
-Théorème du rang :rg u= dim Edim Ker u: Si Fest un sev de E, alors dim u(F) = (rg F)dim(F\Ker u).
- Si dim E= dim F, toute application linéaire injective u:E!Fest bijective (isomorphisme).
En dimension …nie, tout endomorphisme injectif est bijective. Exemple : u:P7! P+XP 0dans Rn[X].
-Composées d’applications linéaires
vu= 0 ssi Im uKer v. En particulier, u2= 0 ssi Im uKer u, d’où nécessairement rg u1
2n.
Im(uv) = u(Im v). Par le théorème du rang appliqué à ujIm v, on a : rg(uv) = rg vdim(Ker u\Im v):
(8) Calculs matriciels

-Produit matriciel : Avec A2 Mn;p(K)et X2Kp, alors Y2Knet yi=Pp
j=1 aijxj:
Avec A2 Mn;p(K)et B2 Mp;q(K), alors C=AB 2 Mn;q(K)et cik =Pp
j=1 aijbjk:
Le coe¢ cient (i; j)de tAB est le produit ligne-colonne tAiBj, qui vaut hAi; Bjilorsque K=R.
Exemple : Si A= (aij )1in;1jn2 Mn(K)et D= Diag(1; :::; n), alors AD = (jaij )1in;1jn:
Exemple : Calcul de (In+A)kpar le binôme (valable car les matrices commutent).
-Produits par blocs :
Exemple : Produits de matrices diagonales par blocs (respectivement triangulaires par blocs).
Exemple : La j-ième colonne de AB est ABj:
-Calcul de l’inverse d’une matrice
On résout le système AX =Y: On obtient ainsi Xen fonction de Y, ce qui donne A1, car X=A1Y.
Dans le cas n= 2, on résout un système 22en éliminant pour chaque variable l’autre variable par pivot.
Dans le cas n= 2, on peut utiliser A1=1
det A
te
A: Si A=a c
b d , alors A1=1
ad bc dc
b a :
-Calcul des déterminants et des polynômes caractéristiques
Opérations élémentaires et/ou développement selon une ligne ou une colonne.
Calcul du polynôme caractéristique pour n= 2 ou 3:Pour n= 2 :A(x) = x2(tr A)x2+ det A: Pour n= 3, on a
A(x) = x3(tr A)x2+x (det A):Parfois, on peut trouver en choisissant une valeur de xbien choisie.
(9) Déterminants
- Déterminant d’une matrice :
Le déterminant est une forme n-linéaire alternée des colonnes (ou des lignes) !opérations élémentaires.
On a det(AB) = (det A)(det B), déterminants par blocs, det A= det(tA),det(A) = ndet(A):
Développement selon une ligne ou une colonne : det A=Pn
i=1 aijCij et det A=Pn j=1 aijCij , avec Cij = (1)i+jij:
- Déterminant d’un endomorphisme ( = déterminants des matrices qui le représentent).
- Déterminant dans une base Bd’une famille de vecteurs : detB(x1; :::; xn) = det A, où A= MatB(x1; :::; xn):
On a detBB= 1 et detB(x1; :::; xn) = detB0(x1; :::; xn), où = detBB0= det(PB0
B): Résulte de X=P X0:
On a detB(u(x1); :::; u(xn)) = (det u) detB(x1; :::; xn).
Interprétation en termes de volumes orientés : det uest le facteur par lequel les volumes sont multipliés.
(10) Changements de bases, matrices équivalentes, matrices semblables
-Formules de changement de base
X=P X0, avec P=PB0
B= MatBB0.
A0=Q1AP , avec A= MatB;Cuet A0= MatB0;C0u,P=PB0
Bet Q=PC0 C.
A0=P1AP avec A= MatBu= MatB(u(e1); :::u(en)) et B= (e1; :::; en):
-Matrices équivalentes
Si r= rg A, alors il existe P2GLp(K)et Q2GLn(K)tels que Q1AP =Jr, où Jr=IrO
O O :
En e¤et, si u2 L(E; F ), il existe des bases Bet Ctelles que MatB;Cu=Jr:

Pour Aet B2 Mn;p(K),rg A= rg Bssi il existe P2GLp(K)et Q2GLn(K)tels que B=Q1AP:
Aet Bsont équivalentes ssi on peut transformer Aen Bpar une succession d’opérations élémentaires.
-Matrices semblables
Deux matrices sont semblables ssi elles représentent un même endomorphisme.
Deux matrices ont même déterminant et plus généralement même polynôme caractéristique (donc même trace).
Si A0
B
@
1 
.
.
....
0 0 n
1
C
A, alors tr A=Pn
i=1 iet det A=Qn i=1 i:Donc A(x) = xn(tr a)xn1+::: + (1)ndet A:
Remarque : Les matrices 0
0et 1 0ont même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.
Remarque : Pour 6= 0, 
0est semblable à 1 0: on passe de B= (e1; e2)àB0= (e1;1
e2):
(11) Diagonalisation et trigonalisation
-Valeurs propres
est valeur propre de ussi 9x6= 0,u(x) = x, c’est-à-dire ssi dim E1, où E= Ker(uId):
est valeur propre de ussi est racine du polynôme caractéristique u, où u(x) = det(xId u):
Si Ppolynôme et u(x) = x, alors P(u)() = P()(x). Ainsi, si Pest annulateur, alors P() = 0 (car P(u) = 0).
-Valeurs propres d’une restriction : cf sous stables
Si racine de ud’ordre de multiplicité m1, alors 1dim Em: En particulier, si m= 1, alors dim E= 1:
-Trigonalisation
Les valeurs propres d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) sont ses coe¢ cients diagonaux.
Un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé.
On en déduit que A(x) = (x1):::(xn) = xn(tr A)xn1+::: + (1)ndet A:
-Diagonalisation
Les sous espaces propres sont toujours en somme directe (autrement dit, toutefamille de vecteurs propres associées
à des valeurs propres distinctes) est libre.
udiagonalisable ssi la somme E1E2::: Erdes sous-espaces propres est E, donc ssi Pr
i=1 dim Ei=n:
Ainsi, udiagonalisable ssi il existe une base Bcomposée de vecteurs propres de u, c’est-à-dire ssi MatBudiagonale.
Remarque : Si udiagonalisable, Ker u=E0et Im uest la somme des sev propres E, avec 6= 0:
En particulier, tout endomorphisme diagonalisable véri…e Ker uIm u=E.
CNS de diagonalisation : uscindé et pour toute valeur propre, dim Ei=mordre de comme racine de u:
CS de diagonalisation : uscindé à racines simples. Dans ce cas, les nsev propres sont des droites vectorielles.
-Pratique de la diagonalisation
On détermine les valeurs propres soit par calcul du polynôme caractéristique soit en étudiant le système AX =X:
On utilise aussi souvent le rang d’où on déduit la dimension du noyau, c’est-à-dire de E0:
Par exemple, si rg A= 1, alors A(x) = xnxn1, où = tr A. Et Aest diagonalisable ssi 6= 0: