mecanique du solide rigide

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MECANIQUE DU SOLIDE RIGIDE
ENSEIGNEMENT DE LICENCE DE MECANIQUE
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE
LA 201 SECTION B
ANNEE 2006-2007
UPMC A. ALLICHE

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CHAPITRE I - CALCUL VECTORIEL – RAPPELS DE MATHEMATHIQUES
1 Espace vectoriel et représentation d’un vecteur.
Soit E un espace vectoriel de dimension n = 3, en fait
ℜ
3, de base 123
(, , )beee
=
 formée de 3
vecteurs linéairement indépendants. Tout vecteur de E peut être représenté par une
combinaison linéaire des vecteurs de base de b :
11 22 33
vveveve=+ +
   e
ou bien sous la forme 3
1ii i
vv
=
=
∑
.
Une autre notation peut être adoptée, appelée aussi convention de l’indice muet ou
convention d’Einstein :
ii
vve
=
L’indice répété i est l’indice muet sur lequel se fait l’opération. Cette convention n’est
applicable que dans le même monôme.
L’espace vectoriel E est souvent représenté par un repère R possédant une origine O et une
base . On notera :
123
(, , )beee=
122
(;, , )
R
Oe e e
=
2 Opérations sur les vecteurs
2 – 1 Produit scalaire
Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique de ExE sur
ℜ telle que la forme
quadratique associée soit définie positive.
Par définition une forme bilinéaire f est une application qui à deux vecteurs de E
associe le réel
et uv
(,)
f
uv
. Par ailleurs f est une application linéaire par rapport à chacun des
arguments.
Notation :
(,) .
f
uv uv
=
La symétrie du produit scalaire est définie par la propriété :
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3
(,) . . (,)
f
uv uv vu
f
vu
=
==
Une forme est dite définie positive si le produit scalaire d’un vecteur par lui-même est
positif et ne s’annule que si le vecteur
.uu
0u
=
.
Remarques :
• On définie le produit scalaire de 2 vecteurs et uv
 dans une base par :
123
(, , )beee=
33
11
.()() (.) .
ii jj ij i j ii jj
ij
uv ue ve uv e e ue ve
==
===
∑
∑
• Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul :
.0uv=
Cette dernière propriété nous permet d’écrire que dans le cas d’une base orthonormée nous
avons :
1 si
(.) 0 si
ij ij
ij
ee ij δ
=
⎧
==
⎨
≠
⎩
D’où une autre écriture possible pour le produit scalaire :
11 2 2 33
.()()
ii j j ii
uv ue ve uv uv uv uv===+
   +
Norme d’un vecteur : Parmi les définitions possibles de la norme on retiendra celle de la
norme euclidienne :
1/2 2
(.) .
ii i
i
uuu uu u===
∑
On se sert de cette dernière définition pour introduire une nouvelle notation du produit
scalaire impliquant l’angle entre les deux vecteurs :
..cos(,uv u v u v=)
2 – 2 Produit mixte
Soit E un espace vectoriel de base 123
(, , )beee
=
. On appelle produit mixte des vecteurs
de E, leur déterminant dans la base
, et uv w
123
(, , )beee
=
. On le note :
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(,, ) (,, )uvw Detuvw
=
On démontre que le déterminant est invariant par changement de la base b.
Propriétés :
• Le produit mixte est invariant par rotation circulaire des vecteurs. Cette propriété est
directement liée à celle des déterminants :
(,, ) (,,) (, ,)uvw wuv vwu
=
=
• Le produit mixte de 3 vecteurs coplanaires est nul :
(,, ) 0 ,, liésuvw uvw
=
⇔
Les autres cas de nullité du produit mixte se vérifient dans le cas où deux des trois
vecteurs sont colinéaires, et lorsque un des vecteurs est nul.
2 – 3 Produit vectoriel :
Théorème :
Soient deux vecteurs de E.
et uv
• l’application
:
(,, )
ER
wuvw
ϕ
→
est une forme linéaire.
• Il existe un unique vecteur
α
 de E tel que :
,() (,,) .wE w uvw w
ϕ
α ∀∈ = =
Démonstration :
•
ϕ
est linéaire puisque le déterminant est linéaire par rapport au dernier argument.
• unicité de la deuxième proposition :
Supposons qu’il existe deux vecteurs et '
α
α
 tel que :
,() (,,) . '.wE w uvw w w
ϕ
αα ∀∈ = = =
')
alors et donc le vecteur
( '). 0wE w αα ∀∈ − =
 (
α
α
−
 est orthogonal à tout vecteur
de E. C’est un vecteur nul '
α
α ⇒=
Existence :
Notons P la matrice constituée des vectrices colonnes de , et uv w
:
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11 1
22 2
33 3
uvw
Puvw
uvw
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Nous aurons
[
]
123 32 213 31 312 21
(,, ) det ( ) ( ) ( )uvw P wuv uv w uv uv w uv uv== −−−+−
Si l’on pose pour
α
 :
23 32 1 13 31 2 12 21 3
()()(uv uv e uv uv e uv uv e)
α
=
−−−+−
Nous obtenons alors :
(,, ) .uvw w
α
=
Le vecteur
α
 ainsi défini est le produit vectoriel des deux vecteurs ,uv
 et on note :
uv
α
=
∧
Retour au produit mixte :
Nous pouvons donc aisément écrire le produit mixte de la manière suivante :
(,, ) .uvw u vw
=
∧
.
Les propriétés du déterminant et la symétrie du produit scalaire permettent d’écrire :
(,, ) . (,, ) (, ,) .uvw u vw vuw vwu uv w=∧ =− = = ∧
Expression du produit vectoriel :
Le produit vectoriel uv
α
=∧
peut s’écrire de divers manières, en particulier en se servant
de l’expression du déterminant précédente, on aura :
22 33 11
12
33 11 22
uv uv uv
uv e e e
uv uv uv
+
∧= +
3
es
Propriétés du produit vectoriel :
a) L’application de E×E dans E est anticommutative, bilinéaire et non associative. ∧
b)
et uv u uv v∧⊥ ∧⊥
c)
0, colinéairuv uv∧=⇔
Formule du double produit vectoriel
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