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HK BL Dénombrement Chap. 1: Cours
1 Introduction
Lorsque l’on compte les objets d’une collection, on attribue à la collection son cardinal, c’est à dire le nombre
d’objets qu’elle contient. Par exemple un Picasso, un Rembrant et un Degas forment une collection de trois
tableaux. Une pièce de 1 euro et deux pièces de deux euros forment une collection de trois pièces. Le nombre
"trois" ne rend pas compte de la qualité des objets de la collection mais de la "quantité".
Pour différencier des éléments distincts d’un même ensemble, on attribue souvent un nom ou un numéro à
chacun. Plus l’ensemble est important et plus le recours aux nombres est "aisé" : les nombres entiers offrent la
particularité d’avoir un ordre et d’être infini. Le recours massif à l’informatique et à numérisation des données
utilise ce procédé.
Par exemple, le numéro de "sécurité sociale" 1 74 07 28 011 088 13 désigne un individu unique "1" signifie
homme 74 l’année de naissance 07 le mois de naissance 28 le département de naissance 011 088 sont des chiffres
choisis au hasard et 13 est la clef de contrôle (cf cours arithmétique pour les TS). Chaque individu possède un
unique numéro qui permet à l’administration de le recenser et de le distinguer des autres personnes.
C’est un peu le même procédé qui prévaut pour les numéros du RIB de votre compte en banque.
Il est donc important de créer une application finjective de l’ensemble de départ (les éléments) vers l’ensemble
des entiers naturels. Injective car il faut que deux éléments distincts aient des "numéros" différents.
Si fest bijective alors l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée ont le même nombre d’éléments. On parle
du cardinal de cet ensemble.
C’est exactement ce que fait un enfant lorsqu’il décompte une collection "sur ses doigts"...
Méthode : on peut compter un ensemble en créant un procédé de comptage qui discrimine ses éléments, ou
bien en créant une "analogie" entre deux ensembles, c’est à dire une bijection.
2 Ensembles finis et dénombrables
2.1 Définitions
Définition 1
Un ensemble Eest dénombrable s’il existe une bijection de Nsur E.
•Nest dénombrable.
•N∗est dénombrable. En effet, f:N−→ N∗
n7−→ n+ 1 est clairement bijective ; f−1:N∗−→ N
p7−→ p−1
•L’ensemble des nombres pairs (noté 2N) est dénombrable. En effet, f:N−→ 2N
n7−→ 2nest aussi clairement
bijective.
Exercice : exprimer f−1.
•Zest dénombrable. On démontre en effet que f:
N−→ Z
n7−→
n/2si nest pair
−n+ 1
2sinon
est bijective.
Exercice : exprimer f−1.
•Qest dénombrable.
•Rn’est pas dénombrable.
•Tout intervalle de Rnon réduit à un singleton n’est pas dénombrable. Par exemple l’intervalle [0,1] n’est
pas dénombrable (voir sur le site l’article de culture mathématique).
Proposition 2
Si Eet Fsont deux ensembles finis, à respectivement net péléments, et s’il existe une injection fde Evers
Falors f(E)possède exactement néléments, et donc p≥n.
Laurent NOE - JP SPRIET 2/ 9