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Chapitre 1
Dénombrement
1

HK BL Dénombrement Chap. 1: Cours
1 Introduction
Lorsque l’on compte les objets d’une collection, on attribue à la collection son cardinal, c’est à dire le nombre
d’objets qu’elle contient. Par exemple un Picasso, un Rembrant et un Degas forment une collection de trois
tableaux. Une pièce de 1 euro et deux pièces de deux euros forment une collection de trois pièces. Le nombre
"trois" ne rend pas compte de la qualité des objets de la collection mais de la "quantité".
Pour différencier des éléments distincts d’un même ensemble, on attribue souvent un nom ou un numéro à
chacun. Plus l’ensemble est important et plus le recours aux nombres est "aisé" : les nombres entiers offrent la
particularité d’avoir un ordre et d’être infini. Le recours massif à l’informatique et à numérisation des données
utilise ce procédé.
Par exemple, le numéro de "sécurité sociale" 1 74 07 28 011 088 13 désigne un individu unique "1" signifie
homme 74 l’année de naissance 07 le mois de naissance 28 le département de naissance 011 088 sont des chiffres
choisis au hasard et 13 est la clef de contrôle (cf cours arithmétique pour les TS). Chaque individu possède un
unique numéro qui permet à l’administration de le recenser et de le distinguer des autres personnes.
C’est un peu le même procédé qui prévaut pour les numéros du RIB de votre compte en banque.
Il est donc important de créer une application finjective de l’ensemble de départ (les éléments) vers l’ensemble
des entiers naturels. Injective car il faut que deux éléments distincts aient des "numéros" différents.
Si fest bijective alors l’ensemble de départ et l’ensemble d’arrivée ont le même nombre d’éléments. On parle
du cardinal de cet ensemble.
C’est exactement ce que fait un enfant lorsqu’il décompte une collection "sur ses doigts"...
Méthode : on peut compter un ensemble en créant un procédé de comptage qui discrimine ses éléments, ou
bien en créant une "analogie" entre deux ensembles, c’est à dire une bijection.
2 Ensembles finis et dénombrables
2.1 Définitions
Définition 1
Un ensemble Eest dénombrable s’il existe une bijection de Nsur E.
•Nest dénombrable.
•N∗est dénombrable. En effet, f:N−→ N∗
n7−→ n+ 1 est clairement bijective ; f−1:N∗−→ N
p7−→ p−1
•L’ensemble des nombres pairs (noté 2N) est dénombrable. En effet, f:N−→ 2N
n7−→ 2nest aussi clairement
bijective.
Exercice : exprimer f−1.
•Zest dénombrable. On démontre en effet que f:
N−→ Z
n7−→ 
n/2si nest pair
−n+ 1
2sinon
est bijective.
Exercice : exprimer f−1.
•Qest dénombrable.
•Rn’est pas dénombrable.
•Tout intervalle de Rnon réduit à un singleton n’est pas dénombrable. Par exemple l’intervalle [0,1] n’est
pas dénombrable (voir sur le site l’article de culture mathématique).
Proposition 2
Si Eet Fsont deux ensembles finis, à respectivement net péléments, et s’il existe une injection fde Evers
Falors f(E)possède exactement néléments, et donc p≥n.
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Définition 3
Un ensemble Eest fini s’il est vide ou s’il existe un entier n∈N∗et une bijection de [[1 ; n]] sur E.
Cet entier nest alors unique. On dit alors que Eest de cardinal n(ou de taille n, ou simplement que Ean
éléments), et on note :
n=Card(E) = |E|= #E.
Par convention, Card(∅) = 0.
Un ensemble qui n’est pas fini est dit infini.
Remarque 4
Cette définition a du sens car on démontre que la taille nainsi définie est unique. Ce nombre nne dépend pas
de la bijection construite.
Démonstration :
S’il existe un entier n∈N∗et une bijection fde [[1 ; n]] sur Eet p∈N∗et une bijection gde [[1 ; p]] sur Ealors
g−1◦fcrée une bijection de [[1 ; n]] sur [[1 ; p]].
Se servir alors de la propriété 2.
2.2 Propriétés des cardinaux
Proposition 5
Si Eest un ensemble fini non vide et s’il existe une bijection de Esur F, alors Fest fini et Card(E) = Card(F).
Démonstration :
S’il existe un entier n∈N∗et une bijection fde [[1 ; n]] sur Eet une bijection hde Esur Falors h◦fcrée
une bijection de [[1 ; n]] sur F.
Se servir alors de la définition 3.
Proposition 6
La taille d’une partie est inférieure à la taille du tout : soit Bun ensemble fini,
A⊂B=⇒Aest fini ; et Card(A)≤Card(B)
Attention : la réciproque est fausse !
Démonstration :
Le fait que B⊂Aimplique que l’application f:A→Bdéfinie par f(x) = xest injective.
S’il existe un entier n∈N∗et une bijection hde Bsur [[1 ; n]].
Alors h◦fcrée une injection de Adans [[1 ; n]].
Se servir alors de la propriété 2.
Proposition 7
Deux ensembles finis ayant la même taille et inclus l’un dans l’autre sont égaux :
(A⊂Bet Card(A) = Card(B)) =⇒(A=B)
Remarque 8
Cette propriété, très utile, est fausse pour des ensembles infinis.
Par exemple, N∗⊂N,N∗est en bijection avec Nmais N∗6=N!!!
De même, tan : 
−π
2;π 2−→ R
x7−→ tan(x)
est une bijection, et −π
2;π 2⊂Rmais −π 2;π 26=R.
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Proposition 9
Soient Eun ensemble fini, Aet Bdeux parties de E.
1. Aet Bsont disjoints ⇐⇒ Card(A∪B) = Card(A) + Card(B).
2. Card(A\B) = Card(A)−Card(A∩B)
3. Card(A∪B) = Card(A) + Card(B)−Card(A∩B)
4. Card(A) = Card(E)−Card(A)
5. Si (Ai)1≤i≤nest une famille de parties de Edeux à deux disjointes, alors
Card(A1∪A2∪. . . An) =
n
X
i=1
Card(Ai)
Le cardinal d’une réunion de plus de deux parties qui ne sont pas deux à deux disjointes est donné par :
Proposition 10 Formule du crible (ou de Poincaré)
1. Cas n= 3 :
Card(A1∪A2∪A3) = Card(A1) + Card(A2) + Card(A3)
−[Card(A1∩A2) + Card(A1∩A3) + Card(A2∩A3)]
+Card(A1∩A2∩A3)
2. Généralisation :
Card(A1∪A2∪ · · · ∪ An) =
n
X
i=1
Card(Ai)
−X
1≤i1<i2≤n
Card(Ai1∩Ai2)
+X
1≤i1<i2<i3≤n
Card(Ai1∩Ai2∩Ai3)
+...
+ (−1)k+1 X
1≤i1<i2<···<ik≤n
Card(Ai1∩Ai2∩ · · · ∩ Aik)
+...
+ (−1)n+1Card(A1∩A2∩ · · · ∩ An)
On prouvera le cas n= 3.
Avec la définition donnée dans le chapitre d’introduction, on a :
Proposition 11
Si (Ai)1≤i≤nest une partition de E, alors Card(E) =
n
X
i=1
Card(Ai).
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3 Dénombrements classiques
3.1 Produit cartésien d’ensembles, p- listes
Proposition 12
Soient E1,E2, . . ., Ennensembles finis.
Alors le produit E1×E2× · · · × Enest un ensemble fini, de cardinal :
Card(E1×E2× · · · × En) = Card(E1).Card(E2)...Card(En) =
n
Y
i=1
Card(Ei)
En particulier, si Eest fini, Card(En) = [Card(E)]n.
Exercice : J’ai trois pantalons, cinq chemises et deux paires de chaussures. De combien de façon puis-je
m’habiller ?
On rappelle qu’une p-liste d’un ensemble à néléments est un élément de Ep(l’ordre est important et la
répétition est possible).
Ainsi, il y a npp-listes d’un ensemble à néléments.
Dans le modèle de tirages de boules dans une urne, de telles p-listes correspondent aux tirages successifs et
avec remise de pboules dans une urne contenant nboules.
Exercice : J’ai un coffre fort dont le code est composé de 5 chiffres compris entre 0 et 9. Combien existe-t-il
de combinaisons différentes ?
3.2 p-listes d’éléments distincts
Définition 13
On appelle arrangement de péléments de E(ou p-arrangement de E) toute p-liste d’éléments distincts de E.
Ainsi, l’ordre est important et il n’y a pas de répétition possible.
L’ensemble des p-arrangements de Eest souvent noté Ap(E).
Si Eest fini de cardinal n, on note Ap
nle nombre de p-arrangements de E.
Dans le modèle de tirages de boules dans une urne, de tels arrangements correspondent aux tirages successifs
et sans remise de pboules dans une urne contenant nboules.
Exercice : J’assiste à un tiercé (donc 3 chevaux à l’arrivée) et 20 sont au départ. Combien existe-t-il de tiercés
dans l’ordre ?
Proposition 14
Soit Efini de cardinal n.
1. Alors pour p≤n, il existe Ap
n=n!
(n−p)! =n(n−1) ...(n−p+ 1) arrangements de péléments de E.
2. Si p > n, il n’existe aucun p-arrangement de E. On pourra noter Ap
n= 0.
Exemple : A3
20 =...
Définition 15
Un arrangement de néléments d’un ensemble Eànéléments est appelé une permutation de E.
Remarque : Lorsque Eest composé de lettres, on parle aussi d’anagramme.
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