Cours de Mathématiques II

Universit´e de Paris X Nanterre
U.F.R. Segmi Ann´ee 2007-2008
Licence Economie-Gestion premi`ere ann´ee
Cours de Math´ematiques II
Chapitre 1. Alg`ebre lin´eaire
Table des mati`eres
1 Espaces vectoriels 2
1.1 Espaces et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Syst`emes d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Syst`eme de trois ´equations `a trois inconnues . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Combinaisons lin´eaires, familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Familles libres, familles li´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Bases, dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Caract´erisation des sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Sous-espaces vectoriels de R2...................... 11
1.6.2 Sous-espaces vectoriels de R3...................... 11
2 Matrices 12
2.1 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Matrices carr´ees inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Produit scalaire 20
4 Projection orthogonale 23
4.1 Projection orthogonale sur une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Casg´en´eral .................................... 24
4.3 Moindres carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.4 Syst`emes surd´etermin´es d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 La matrice de projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.6 La droite des moindres carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Formes quadratiques 31
1

1 Espaces vectoriels
1.1 Espaces et sous-espaces vectoriels
D´efinition 1. Un espace vectoriel sur Rest un ensemble Econtenant un ´el´ement appel´e
vecteur nul et not´e −→ 0, muni d’une addition interne not´ee +et d’une multiplication externe
not´ee ·v´erifiant :
∀x, y, z ∈E , (x+y) + z=x+ (y+z),(associativit´e) (1)
∀x, y ∈E , x +y=y+x , (commutativit´e) (2)
∀x∈E , x + 0 = 0 (´el´ement neutre) (3)
∀x∈E;,∃y∈E , x +y= 0 ,(sym´etrique) (4)
∀x∈E , 1·x=x , (5)
∀λ∈R,∀x, y ∈E , λ ·(x+y) = λ·x+λ·y(6)
∀λ, µ ∈R,∀x∈E , (λ+µ)·x=λ·x+µ·x(7)
∀λ, µ ∈R,∀x∈E , (λµ)·x=λ·(µ·x).(8)
(9)
Les ´el´ements de Esont appel´es des vecteurs, not´es u,v. . . ou bien −→ u,−→ v. . .Les ´el´ements
de Rsont appel´es des scalaires.
Propri´et´es
∀x∈E , 0·x=−→ 0,
∀λ∈R, λ ·−→ 0 = −→ 0,
∀x∈E , ∀λ∈R, λ ·x=−→ 0⇔λ= 0 ou x=−→ 0,
∀x, y ∈E , ∀λ∈R∗, λ ·x=λ·y⇔x=y ,
∀x∈E , ∀λ, µ ∈R∗, λ ·x=µ·x⇔λ=µ .
Exemple fondamental
Soit n≥1 et Rnl’ensemble des n-uplets de r´eels x, repr´esent´es par une colonne `a nlignes :
x=
x1
.
.
.
xn
.
L’addition et la multiplication externe sont d´efinies coordonn´ee par coordonn´ee :
x+y=
x1+y1
.
.
.
xn+yn
, λ ·x=
λy1
x.
.
.
λyn
.
2

Repr´esentation g´eom´etrique Pour n= 2, on repr´esente les vecteurs de R2dans le
plan.
*
x
 −2·x
A
A
AK
y
x+y
Fig. 1 – Les vecteurs x= (2,1), y= (−1,2), −2·xet x+y.
D´efinition 2 (Sous-espaces vectoriels).Une partie non vide Fd’un espace vectoriel E
est un sous espace vectoriel de Esi
∀x, y ∈F , x +y∈F , (stabilit´e pour l’addition) (10)
∀x∈F , ∀λ∈R, λ ·y∈F , (stabilit´e pour la multiplication par un scalaire). (11)
Remarque 3.Un sous-espace vectoriel n’est pas vide par d´efinition, et contient donc
n´ecessairement le vecteur nul, en raison de la stabilit´e par multiplication externe. Si x∈F,
alors −→ 0 = 0 ·x∈F. Le singleton {−→ 0}est un sous-espace vectoriel de tout espace vecto-
riel E.
Remarque 4.Un sous-espace vectoriel est lui-mˆeme un espace vectoriel. On appelle sous-
espace vectoriel propre d’un espace vectoriel Eun sous-espace vectoriel de Equi n’est ni
Elui-mˆeme, ni le singleton {−→ 0}.
Exemple 5.La droite r´eelle Rest un espace vectoriel qui n’admet que {−→ 0}et Rlui mˆeme
comme sous-espace vectoriel.
Exemple 6.Dans R2, la partie Fd´efinie par F={(x, y)∈R2|y= 2x}est un sous-espace
vectoriel de R2.
Exemple 7.Dans R2, la partie Fd´efinie par F={(x, y)∈R2|y= 2x+ 1}n’est pas un
sous-espace vectoriel de R2.
Exemple 8.Dans R2, la partie Fd´efinie par F={(x, y)∈R2|x≥0, y ≥0}n’est pas
un sous-espace vectoriel de R2.
Proposition 9. Soit Eun espace vectoriel et soit Fet Gdeux sous-espaces vectoriels.
L’intersection de Fet Gest un sous-espace vectoriel de E.
Exemple 10.Soit dans R3les sous-espaces Fet Gd´efinis par
F={x∈R3|x1−x2= 0}, G ={x∈R3|x2−2x3= 0}.
Alors
F∩G={x∈R3|x1=x2= 2x3}.
Par exemple le triplet (2,2,1) est dans F∩G.
Remarque 11.Contrairement `a l’intersection, la r´eunion de deux sous-espaces n’est pas
un sous-espace, sauf si l’un contient l’autre.
3

1.2 Syst`emes d’´equations lin´eaires
La m´ethode du pivot de Gauss Une m´ethode pratique de r´esolution des syst`emes
lin´eaires est la m´ethode du pivot de Gauss, qui consiste `a ´eliminer les inconnues une `a
une jusqu’`a r´esoudre une ´equation `a une inconnue. Cette m´ethode est it´erative, et elle
commence de fa¸con identique pour 2 ou ninconnues.
1.2.1 Syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues
Consid´erons le syst`eme
a1,1x1+a1,2x2=b1,
a2,1x1+a2,2x2=b2.(12)
On suppose que les coefficients ne sont pas tous nuls. Quitte `a faire une permutation on
peut supposer a1,16= 0. Retranchons alors membre `a membre a2,1/a1,1fois la premi`ere
ligne `a la seconde ; on obtient le syst`eme ´equivalent au pr´ec´edent :
a1,1x1+a1,2x2=b1,
+{a2,2−a1,2a2,1/a1,1}x2=b2−a2,1b1/a1,1.(13)
Si a1,1a2,2−a1,2a2,16= 0, on obtient
x2=a1,1b2−a2,1b1
a1,1a2,2−a1,2a2,1
.
En reportant dans la premi`ere ´equation de (13), on obtient
x1=a1,2b2−a2,2b1
a1,2a2,1−a1,1a2,2
.
On voit donc que d`es que a1,1a2,2−a1,2a2,16= 0, le syst`eme a une unique solution pour
tout couple (b1, b2).
Si a1,1a2,2−a1,2a2,1= 0, le syst`eme (13) devient
a1,1x1+a1,2x2=b1,
0 = b2−a2,1b1/a1,1.
Deux cas sont possibles :
–a1,1b2−a2,1b16= 0 et il n’y a aucune solution ;
–a1,1b2−a2,1b1= 0 et il y a une infinit´e de solutions ; ce sont les couples de la forme
({b1−1,2x2}/a1,1, x2),
pour tout x2∈R.
4

1.2.2 Syst`eme de trois ´equations `a trois inconnues
Soit le syst`eme
a1,1x1+a1,2x2+a1,3x3=b1,
a2,1x1+a2,2x2+a2,3x3=b2,
a3,1x1+a3,2x2+a3,3x3=b3.
(14)
Comme pr´ec´edemment, on peut toujours supposer que a1,16= 0. On va donc ´elminer la
variable x1des deuxi`eme et troisi`eme ´equations en leur retranchant respectivement la
premi`ere ligne multipli´ee par a2,1/a1,1et a3,1/a1,1. On note les lignes L1,L2et L3et on
note ces op´erations L2−(a2,1/a1,1)L1et L3−(a3,1/a1,1)L1. Pour all´eger les notations, on
note
˜ai,j =ai,j −a1,j ai,1/a1,1,2≤i, j ≤3,
˜
bj=bj−(ai,1/a1,1)b1,2≤j≤3.
On transcrit cette premi`ere ´etape de la fa¸con suivante :
a1,1x1+a1,2x2+a1,3x3=b1,
+˜a2,2x2+˜a2,3x3=˜ b2, L2→L2−(a2,1/a1,1)L1
+˜a3,2x2+˜a3,3x3=˜ b3, L3→L3−(a3,1/a1,1)L1.
(15)
Le syst`eme (15) est ´equivalent au syst`eme d’origine, mais il est maintenant d´ecompos´e en
un sous-syst`eme de deux ´equations `a deux inconnues que l’on sait r´esoudre en appliquant
la m´ethode pr´ec´edente. Ce sous-syst`eme a soit aucune solution, soit une unique solution,
soit une infinit´e de solutions. S’il n’a aucune solution, le syst`eme initial n’en a pas non
plus. S’il admet des solutions, i.e. des couples (x2, x3) qui v´erifient les deux derni`eres
´equations, chaque solution report´ee dans la premi`ere ´equation permet de determiner un
triplet (x1, x2, x3) solution du syst`eme initial.
Exemple 12.R´esoudre le syst`eme
2x1+ 2x2+ 4x3= 8 ,
2x1−x2+ 3x3= 3 ,
x1−x2+x3= 0 .
(16)
On ´elimine x1des deuxi`emes et troisi`emes ´equations.
2x1+ 2x2+ 4x3= 8 ,
−3x2−x3=−5, L2→L2−L1
−2x2−x3=−4, L3→L3−1
2L1.
On ´elimine x2de la troisi`eme ´equation.
2x1+ 2x2+ 4x3= 8 ,
−3x2−x3=−5,
−1
3x3=−2 3, L3→L3−2 3L2.
5