Terminale S Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini

Terminale S Chapitre 6 « Probabilités sur un ensemble fini »
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A
E
B
I) Notions sur les ensembles
1) Cardinal d’un ensemble fini
( )
Définition :
On dit qu'un ensemble est fini s'il a un nombre fini d'éléments.
On appelle alors cardinal de , noté card
, le nombre de ses éléments.
E
E E
{ }
( )
[ ]
Exemple:
1,2,3, 4,5,6
card 6
Contre-exemples : certains ensembles ont
une infinités d'élements comme , , ou 0,
1 .
E
E
=
=
2) Complémentaire d’un ensemble
( )
Définition :
soit est une partie ou un sous-ensemble
d'un ensemble .
On appelle complémentaire de dans , noté
ou ,
l'ensemble des éléments de qui n'appartiennent pas à .
E
A E
A E C A A
E A
On peut représenter cette situation par un diagramme de Venn :
{ } { } { } { } { }
Exemple :
Si 1,2,3,4,5,6 , 2,4,6 , 1,3,5 et 3, 6
alors , et 1, 2,4,5
E P I J I P E T= = = = = = ∅ =
( )
( ) ( )
Propriété :
Soient est un ensemble fini et une
partie de .
Alors card card card .
E A E
A E A= −
3) Intersection, réunion
Définition :
soient et deux sous-ensembles d'un ensemble .
On appelle intersection de et , notée ,
l'ensemble des éléments de qui appartiennent à la fois à et à .
On appelle réunion de
A B E
A B A B
E A B
A
∩
(
)
et , notée ,
l'ensemble des éléments de qui appartiennent à ou à soit à , soit à , soit
à et à .
B A B
E A B A B A B
∪
On peut représenter cette situation par un diagramme de Venn :
A
E
B
A
A
A B
∩
A B
∪

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Remarques :
Lorsque l'intersection de deux ensembles est vide, on dit que les deux ensembles
sont disjoints.
Un sous-ensemble et son complémentaire sont toujours disjoints.
1 2
1 2
1 2
Définition :
soient , ,..., des sous-ensembles d'un en
semble .
On dit que , ,..., forment une partition de ,
si ... et si pour tout .
n
n
n i j
A A A E
A A A E
A A A E A A i j
∪ ∪ ∪ = ∪ = ∅ ≠
Exemples :
Un sous-ensemble et son complémentaire forment une partition de .
Si et sont des sous-ensembles de , et
forment une partition de .
E
A B E A B A B A
∩ ∩
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Propriété :
Soient et deux sous-ensembles d'un ensemble .
Si et sont disjoints, card card card .
Et de façon générale, card card card card .
A B E
A B A B A B
A B A B A B
∪ = +
∪ = + − ∩
Démonstration :
Soient et deux sous-ensembles d'un ensemble .
Si et sont disjoints, la propriété est imédiate.
Sinon, on note le complémentaire de dans , c'est à dire les éléments de qui
A B E
A B
X A B A A∩
( ) ( ) ( ) ( )
ne sont pas dans .
De même, on note le complémentaire de dans .
Par construction, , et forment une partition de
et card card card card .
Or par construction, et forment
B
Y A B B
X Y A B A B
A B X Y A B
X A B
∩
∩ ∪
∪ = + + ∩
∩
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
une partition de et card card card .
De même par construction, et forment une partition de et card card card .
Finalement :
card card card card card card card car
A A X A B
Y A B B B Y A B
A B A A B B A B A B A
= + ∩
∩ = + ∩
∪ = − ∩ + − ∩ + ∩ = +
( ) (
)
d card
B A B
− ∩
Propriété :
Soient et deux sous-ensembles d'un ensemble .
et
démonstration:
Considérons un élément .
et et
ou ou
A B E
A B A B A B A B
x E
x A B x A B x A x B x A x B x A B
x A B x A B x A x B x A x
∪ = ∩ ∩ = ∪
∈
∈ ∪ ⇔ ∉ ∪ ⇔ ∉ ∉ ⇔ ∈ ∈ ⇔ ∈ ∩
∈ ∩ ⇔ ∉ ∩ ⇔ ∉ ∉ ⇔ ∈
B x A B
∈ ⇔ ∈ ∪

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Bilan sur les ensembles :
Exercice 1 :
Un club de loisirs culturels dispense des cours de langues. Les adhérents paient leur carte de club, et une cotisation
supplémentaire, pour chaque langue à laquelle ils s’inscrivent.
Le trésorier a recueilli 73 adhésions, 42 cotisations pour l’anglais et 25 pour l’espagnol, 7 adhérents ont cotisé pour les
deux langues.
1) Combien d’adhérents ont cotisé en anglais ou en espagnol ?
2) Combien d’adhérents ont cotisé ni en anglais, ni en espagnol ?
Exercice 2 :
Une population de 100 individus compte 55 femmes et 45 hommes.
60 % des femmes et 40 % des hommes pratiquent une activité sportive.
1) Combien de femmes ne pratiquent pas d’activité sportive
Combien de personnes pratiquent une activité sportive
Exercice 3 :
A l’occasion d’un sondage, une enquête portant sur 300 auditeurs d’une station radio a montré que :
• 200 de ses auditeurs apprécient les jeux radiophoniques
• 180 apprécient la musique rock
• 60 n’apprécient ni les jeux radiophoniques, ni la musique rock.
1) Combien d’auditeurs apprécient les jeux radiophoniques et n’aiment pas le rock.
2) Combien d’auditeurs sont amateurs de rock et n’apprécient pas les jeux radiophoniques ?
3) Combien d’auditeurs sont amateurs à la fois de rock et de jeux radiophoniques ?
Exercice 4 :
Une tentative d’homicide par balle a eu lieu au cours d’un bal.
La police a retrouvé 18 personnes présentes au moment du drame. Elle leur a demandé de répondre par « oui » ou par
« non » aux questions suivantes :
• « Avez-vous entendu une détonation ? »
• « Avez-vous vu quelqu’un s’enfuir ? »
10 personnes ont répondu « oui » à la première question.
6 personnes ont répondu « non » à la deuxième question.
5 personnes ont répondu « non » aux deux questions.
Combien de personnes ont répondu « oui » aux deux questions ?

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II) Dénombrement
Soit n un entier naturel non nul et E un ensemble fini à n éléments.
1) Listes (ordonnées) d’un ensemble fini
a) Permutations
Définition :
Une permutation de est une suite ordon
née des éléments de .
E n E
{ } ( ) ( ) ( )
Exemple :
Si , , , alors , , , , , , , et , , , sont des
permutations de .
En tout, il y en a 4 3 2 1 24
E a b c d a b c d a c d b b d a c E
=
× × × =
Propriété :
Le nombre de permutations d'un ensemble à éléments est ! 1 2 3 ...
Démonstration:
On a choix pour le premier élément de la liste
On a 1 choix pour le deuxième élément de la list
n n n
n
n
= × × × ×
−
( ) ( )
e
On a 2 choix pour le troisième élément de la liste Soit 1 2 .... 2 1 ! choix en
tout.
...
On a 1 choix pour le dernier élément de la liste
n n n n n − × − × − × × × =
Exercice 5 :
Combien il y a-t-il d’anagrammes du mot marie ? Combien se terminent par une voyelle ?
b) Listes sans répétitions de p éléments
{ } ( ) ( ) ( )
Exemple :
Si , , , alors , , , et , sont des listes
sans répétition de 2 éléments de .
En tout, il y en a 4 3 12
E a b c d a c b d d c E
=
× =
( )( ) ( )
facteurs
Propriété :
Soit un entier compris entre 0 et .
Le nombre de listes sans répétition de éléments de est
1 2 .... 1
Démonstration:
On a n choix pour le premier élém
p
p n
p E
n n n n p− − − +
( )
ent de la liste
On a 1 choix pour le deuxième élément de la liste
On a 2 choix pour le troisième élément de la liste Soit 1
...
On a 2 choix pour le ième élément de la liste
n
n n n n
n p
−
− × − ×
−
( ) ( )
2 .... 1 choix en tout.
n p− × × − +
Exercice 6 :
Combien il y a-t-il de tiercés possibles dans une course quand 15 chevaux prennent le départ ?

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2) Combinaisons (listes non ordonnées)
Définition :
Soit un entier compris entre 1 et .
Une combinaison de éléments de est un
sous-ensemble de éléments de .
p n
p E p E
{ } { } { } { }
{ } { } { }
Exemple :
Si , , , alors , , , , , et , , sont des com
binaisons de 3 éléments de .
Remarques :
L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'intervient pas: , , , , , , ...
Les éléments so
E a b c d a b c a c d b c d E
a b c b c a c b a
=
===
nt distincts deux à deux.
( )( ) ( )
( )
Propriété :
Soit un entier compris entre 0 et
Le nombre de combinaisons de éléments
de est le nombre
1 2 ... 1 !
que l'on note .
! ! !
Ces nombres sont appelés coefficients bin
p n
p E
n
n n n n p n
p
p p n p
− − − +  
= 
− 
omiaux.
Vocabulaire : On lit " parmi ".
0
Par convention : 0!=1 et donc 1
0 0
np n
p
n n
n
= = =
Exemples :
7 8
7 6 5 8 7 6 5 4 8 7 6
35 56 1 1
3 5 1 0
3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 1
n n n
nn
× × × × × × × ×
= = = = = = = =
× × × × × × × ×
( )
Démonstration:
Pour obtenir toutes les listes ie : ordonnées de éléments deux à deux distinct
s, on procède en deux étapes:
1) On choisit une combinaison de à éléments.
On a noté le
p
E p
n
p
nombre de ces combinaisons.
2) Pour obtenir une liste, on ordonne ensuite les éléments de cette partie.
Il y a alors ! possibilités.
On obtient ainsi ! listes de à éléments.
Mai
p
p
np E p
p
×
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
s on a vu qu ele nombre de listes de à éléments était de 1 ..... 1 .
1 ..... 1 !
On a donc montré que ! 1 ..... 1 et que
! ! !
E p n n n p
n n n n n p n
p n n n p
p p p p n p
− − +
− − +
× = − − + = =
−