Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques
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Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques I. La fonction cosinus A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant : x -2π - 7π 4 - 3π 2 π 2 3π 4 - 5π 4 -π - 3π 4 - π 2 - π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π 0 cos(x) x π 4 cos(x) Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant : La fonction cosinus est définie sur ℝ. La fonction cosinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1] La fonction cosinus est périodique de période 2π π. La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2π π. La fonction cosinus est paire : pour tout x, cos(-x)=cos(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. O. Emorine -1- Fonctions et équations trigonométriques II. La fonction sinus A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant : x -2π - 7π 4 - 3π 2 π 2 3π 4 - 5π 4 -π - 3π 4 - π 2 - π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π 0 cos(x) x π 4 cos(x) Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant : La fonction sinus est définie sur ℝ. La fonction sinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1] La fonction sinus est périodique de période 2π π. La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2π π. La fonction sinus est impaire : pour tout x, sin(-x) = - sin(x) Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère. O. Emorine -2- Fonctions et équations trigonométriques III. Equation trigonométrique A. Définition Une équation trigonométrique est une équation où l’inconnue est un angle dont le sinus et/ou le cosinus apparaissent dans l’équation. Exemple : 2sin(x)= 3 est une équation trigonométrique B. Résolution graphique de l’équation sin x= b à l’aide du cercle trigonométrique → → 1-Soit le cercle trigonométrique C muni d’un repère orthonormal (O ; OA ; OB ). a) Soit x appartenant à ] - π ; π ]. Entre quelles valeurs extrêmes est compris sin x ? ………………………………………………………………………………… b) En déduire un encadrement de b pour que l’équation sin x = b admette des solutions. ………………………………………………………………………………… c) Reporter sur l’axe des sinus le point S tel que OS = - 0,4. d) A l’aide d’un rapporteur, en déduire les valeurs approchées au degré près des solutions x1 et x2 de l’équation sin x = - 0,4. Exprimer x1 et x2 en radians ( arrondir à 0,1 radian). En degré En radian x1 ………………… ………………… x2 ………………… ………………… e) Formuler la réponse …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Application : Résoudre sin x = 0,6 pour x ∈ ] - π ; π ] …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… Résoudre l’équation sin x = b sur l’intervalle ] - π ; π ] consiste à déterminer le nombre de solutions selon la valeur de b. Si b>1 pas de solution. Si b=1, une solution x= π π si b=-1 un solution x= 2 2 Si b∈ ∈]-1 ; 1[ deux solutions : si l’une est a alors l’autre est π-a O. Emorine -3- Fonctions et équations trigonométriques B. Résolution de l’équation sin x= b à partir de la représentation de la fonction sin x sur ] -π ; π ]. Voici la courbe de la fonction sinus tracer sur [-π ; π] 1. Tracer la droite (∆) d’équation y = 0,5. 2. Combien existe-t-il de points d’intersection entre la courbe et (∆) ? ............................................................................................................................................................................. 3. En déduire la ou les solutions de l’équation sin x = 1,5. ............................................................................................................................................................................. 4. A quelle condition sur le réel b, l’équation sin x = b admettra-t-elle une ou des solutions ? ............................................................................................................................................................................. Les solutions de l’équation sin x = b sur l’intervalle ] -π π ; π ] sont les abscisses des points d’intersection de la droite (∆ ∆) d’équation y = b et de la représentation graphique de la fonction x → sin x. Application : résoudre l’équation sin(x)=-0,86 Exercice 6 p142, 13,14 p143 Exercice 16 p 144. Devoir maison pour le 2 mars 2006 : Exercice 15 et 19 p 144 O. Emorine -4- Fonctions et équations trigonométriques
