Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques

O. Emorine Fonctions et équations trigonométriques - 1 -
Fonctions trigonométriques et équations trigonométriques
I. La fonction cosinus
A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant :
x -2π -7π
4 -3π 2 -5π 4 -π -3π 4 -π 2 -π 4 0
cos(x)
x π
4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π
cos(x)
Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant :
La fonction cosinus est définie sur ℝ .
La fonction cosinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1]
La fonction cosinus est périodique de période 2π
ππ
π.
La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2π
ππ
π.
La fonction cosinus est paire : pour tout x, cos(-x)=cos(x).
Sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

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II. La fonction sinus
A l’aide de votre calculatrice remplir le tableau suivant :
x -2π -7π
4 -3π 2 -5π 4 -π -3π 4 -π 2 -π 4 0
cos(x)
x π
4 π 2 3π 4 π 5π 4 3π 2 7π 4 2π
cos(x)
Tracer le graphique obtenu dans le repère suivant :
La fonction sinus est définie sur ℝ .
La fonction sinus prend ses valeurs dans [-1 ; 1]
La fonction sinus est périodique de période 2π
ππ
π.
La périodicité permet d’avoir la courbe entière dès que l’on en a une partie de longueur 2π
ππ
π.
La fonction sinus est impaire : pour tout x, sin(-x) = - sin(x)
Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine du repère.

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III. Equation trigonométrique
A. Définition
Une équation trigonométrique est une équation où l’inconnue est un angle dont le sinus
et/ou le cosinus apparaissent dans l’équation.
Exemple : 2sin(x)= 3 est une équation trigonométrique
B. Résolution graphique de l’équation sin x= b à l’aide du cercle trigonométrique
1-Soit le cercle trigonométrique C muni d’un repère orthonormal (O ;
→
OA ;
→
OB ).
a) Soit x appartenant à ] - π ; π ]. Entre quelles valeurs extrêmes est compris sin x ?
…………………………………………………………………………………
b) En déduire un encadrement de b pour que l’équation sin x = b admette des
solutions.
…………………………………………………………………………………
c) Reporter sur l’axe des sinus le point S tel que OS = - 0,4.
d) A l’aide d’un rapporteur, en déduire les valeurs approchées au degré près des
solutions x
1
et x
2
de l’équation sin x = - 0,4.
Exprimer x
1
et x
2
en radians ( arrondir à 0,1 radian).
En degré En radian
x
1
………………… …………………
x
2
………………… …………………
e) Formuler la réponse
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Application : Résoudre sin x = 0,6 pour x ∈ ] - π ; π ]
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………
Résoudre l’équation sin x = b sur l’intervalle ] - π
ππ
π ; π
ππ
π ] consiste à déterminer le nombre de
solutions selon la valeur de b.
Si b>1 pas de solution.
Si b=1, une solution x= π
ππ
π
2 si b=-1 un solution x= - π
ππ
π
2
Si b∈
∈∈
∈]-1 ; 1[ deux solutions : si l’une est a alors l’autre est π
ππ
π-a

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B. Résolution de l’équation sin x= b à partir de la représentation de la fonction sin x sur ] -π ; π ].
Voici la courbe de la fonction sinus tracer sur [-π ; π]
1. Tracer la droite (∆) d’équation y = 0,5.
2. Combien existe-t-il de points d’intersection entre la courbe et (∆) ?
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3. En déduire la ou les solutions de l’équation sin x = 1,5.
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4. A quelle condition sur le réel b, l’équation sin x = b admettra-t-elle une ou des solutions ?
.............................................................................................................................................................................
Les solutions de l’équation sin x = b sur l’intervalle ] -π
ππ
π ; π
ππ
π ] sont les abscisses des points
d’intersection de la droite (∆
∆∆
∆) d’équation y = b et de la représentation graphique de la
fonction x
→
→→
→
sin x.
Application : résoudre l’équation sin(x)=-0,86
Exercice 6 p142, 13,14 p143
Exercice 16 p 144.
Devoir maison pour le 2 mars 2006 : Exercice 15 et 19 p 144