Classe de terminale S6 Mardi 10 décembre 2013 Devoir surveillé de mathématiques n°4 Classe de terminale S6 Mardi 10 décembre 2013 Devoir surveillé de mathématiques n°4 Exercice 1 (d’après bac S, Antilles 2011, 15 points) Dans une large mesure, les quatre parties sont indépendantes On appelle la fonction définie sur R par = . Partie A : = 0. Quelle est la conséquence pour la courbe de ? 1. On admet que lim → 2. Calculer ′, étudier les variations de . 3. Montrer que l’équation = 1 admet une solution unique . Donner un encadrement de entre deux entiers consécutifs. 4. Soit une primitive de . Sans chercher à calculer , donner son tableau de variations. Partie B : = −1 et pour tout , On considère maintenant la suite définie par . 1. Montrer par récurrence que, pour tout , < 0. 2. En déduire que la suite est croissante. converge. On appelle sa limite. 3. Montrer que la suite 4. Montrer que = . En déduire la valeur de . 5. Donner à la calculatrice la plus petite valeur de telle que | | ≤ 10 !. Partie C : On désire obtenir un encadrement d’amplitude 10-6 de balayage, et un algorithme de dichotomie Balayage : Variable : prend la valeur 0 Tant que "#" < " prend la valeur " + Fin tant que Afficher = = . On a écrit un algorithme de Dichotomie Variables , &, prend la valeur 0 & prend la valeur 1 Tant que & − > 10 ( ) prend la valeur * Si "#" < + alors , prend la valeur Sinon Fin si Fin tan que Afficher 1. Compléter les lignes en gras (attention, on veut un encadrement de ) 2. Sachant que la solution vaut environ ≈ 0,57, combien l’algorithme de balayage a-til répété sa boucle ? 3. Dans l’algorithme de dichotomie, comment évolue la longueur 0 − à chaque itération ? Combien faut-il d’itérations pour obtenir un encadrement d’amplitude 10 ( de ? Partie D : On a tracé ci-dessous les courbes des fonctions → et → ln . est un réel positif 2 et 3 sont les points de ces courbes d’abscisse . On rappelle que, pour tout , > ln . 1. Exprimer la distance 23 en fonction de . 2. Montrer que 23 est minimale quand est égal à 3. Démontrer que 4 = 4, en déduire que la distance 23 minimale est + 4. 4. Montrer qu’au point d’abscisse , les tangentes aux deux courbes sont parallèles. NOM : Exercice 2 (5 points) À traiter séparément sans calculatrice. Les questions sont indépendantes. 1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : ! 56 a) = b) 8 = √2 − 1 + 5 4 − 2 * 7 2. Donner une équation de la tangente à la courbe de (de la question 1) en son point d’abscisse 1 3. Donner une primitive des fonctions suivantes : 7 * ! a) ℎ = 4 ln − 6 +1 > b) ? = 2 +2 4. Soit la fonction définie par = + 0 ! où , 0 sont deux constantes. @ a) Calculer en fonction de et 0. b) Déterminer les valeurs de et 0 telles que soit une primitive de la fonction définie par = ! NOM : Exercice 2 (5 points) À traiter séparément sans calculatrice. Les questions sont indépendantes. 1. Calculer la dérivée des fonctions suivantes : * 56 a) = b) 8 = √3 − 1 + 4 2 − 3 * 7 2. Donner une équation de la tangente à la courbe de (de la question 1) en son point d’abscisse 1 3. Donner une primitive des fonctions suivantes : * a) ℎ =5 − 7 +1 > b) ? = 7 * 4. Soit la fonction définie par = + 0 * où , 0 sont deux constantes. a) Calculer @ en fonction de et 0. b) Déterminer les valeurs de et 0 telles que soit une primitive de la fonction définie par = *