I. Diviseurs II. PGCD

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I. Diviseurs
1. Définition
a et b sont deux entiers.
Si a est divisible par b, alors il existe un entier q tel que a = b  q .
On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a.
Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que :
a = b  q + r avec 0< r < b. (Division euclidienne)
2. Exemple
48 est divisible par 6 car
48 6 8
= ×
48 n’est pas divisible par 5.
48 5 9 3
a b q r
= × +
= × +
3. disposition pratique :
On cherche les diviseurs de 24 :
24 = 1 24
24 = 2 12
24 = 3 8
24 = 4 6
on peut écrire dans un tableau :
1 24
2 12
3 8
4 6
Les diviseurs de 24 sont {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
II. PGCD
1. Définition
L'ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b admet un plus grand élément noté
PGCD(a; b).
PGCD signifie P lus G rand C ommun D iviseur.
2. Exemple :
Cherchons le PGCD(175; 245).
Diviseurs de 175 : 1 175
5 35
7 25
5
×
8 5
×
9
5
×
10
40
45
50
48

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Diviseurs de 245 :
1 245
5 49
7 35
Le PGCD(175; 245) = 35.
3. Propriétés :
Si a est un diviseur de b, alors PGCD(a; b) = a.
PGCD(a; 1) = 1
PGCD(a; a) = a
4. Propriété :
Pour a > b on a PGCD(a; b) = PGCD(a - b; b)
Exemple :
PGCD(175; 245) = 35
D'après la propriété précédente : PGCD(175; 245) = PGCD(245-175; 175)
= PGCD(70; 175)
= PGCD(175-70; 70)
= PGCD(105; 70)
= PGCD(105-70; 70)
= PGCD(35; 70)
= PGCD(70-35;35)
= PGCD(35; 35)
= 35
III. Calculs de PGCD
1. Par soustractions successives
On veut calculer PGCD(64; 28)
On utilise les propriétés précédentes :
Pour a > b on a PGCD(a; b) = PGCD(a - b; b)
PGCD(a; a) = a
a
64 36 28 20 12 8
b
28 28 8 8 8
4
a-b
36 8 20 12 4
4
On s'arrête lorsqu'on obtient deux nombres égaux.
PGCD(64; 28) = PGCD(36; 28) = PGCD(28; 8) = ...=PGCD(4; 4) = 4

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2. Par divisions successives (algorithme d'Euclide)
On veut calculer PGCD(64; 28)
On utilise les propriétés :
Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que : a = b q + r
avec 0< r < b. (Division euclidienne) .
PGCD(a; b) = PGCD(b; r)
a
64 28 8
b
28 8
4
r
8
4
0
q
2 3 2
On s'arrête lorsqu'on obtient le dernier reste non nul.
PGCD(64; 28) = PGCD(28; 8) = PGCD(8; 4) = 4
IV. Nombres premiers entre eux.
1. Définition :
On dit que deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
2. Exemples :
PGCD(7; 5) = 1. Donc 7 et 5 sont premiers entre eux.
PGCD(8; 5) = 1. Donc 8 et 5 sont premiers entre eux.
3. Fractions irréductibles
a. Définition :
Une fraction est irréductible si son numérateur et sont dénominateur sont premiers entre eux.
b. Propriété :
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD.
c. Exemple :
Soit à simplifier la fraction :
175
245
PGCD(175; 245) = 35
175 = 35 5
245 = 35 7
donc
175 35 5 5
245 35 7 7
×
= =
×
PGCD(5; 7) = 1, donc la fraction est irréductible.