I. Diviseurs 1. Définition a et b sont deux entiers. Si a est divisible par b, alors il existe un entier q tel que a = b q . On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que : a = b q + r avec 0< r < b. (Division euclidienne) 2. Exemple 48 est divisible par 6 car 48 = 6 × 8 48 n’est pas divisible par 5. 48 = 5 × 9 + 3 a = b× q + r 5×8 5×9 40 45 48 5×10 50 3. disposition pratique : On cherche les diviseurs de 24 : 24 = 1 24 24 = 2 12 24 = 3 8 24 = 4 6 on peut écrire dans un tableau : 1 2 3 4 24 12 8 6 Les diviseurs de 24 sont {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. II. PGCD 1. Définition L'ensemble des diviseurs communs à deux entiers a et b admet un plus grand élément noté PGCD(a; b). PGCD signifie Plus Grand Commun Diviseur. 2. Exemple : Cherchons le PGCD(175; 245). Diviseurs de 175 : 3nde 1 5 7 175 35 25 1 Diviseurs de 245 : Le PGCD(175; 245) = 35. 1 5 7 245 49 35 3. Propriétés : Si a est un diviseur de b, alors PGCD(a; b) = a. PGCD(a; 1) = 1 PGCD(a; a) = a 4. Propriété : Pour a > b on a PGCD(a; b) = PGCD(a - b; b) Exemple : PGCD(175; 245) = 35 D'après la propriété précédente : PGCD(175; 245) = PGCD(245-175; 175) = PGCD(70; 175) = PGCD(175-70; 70) = PGCD(105; 70) = PGCD(105-70; 70) = PGCD(35; 70) = PGCD(70-35;35) = PGCD(35; 35) = 35 III. Calculs de PGCD 1. Par soustractions successives On veut calculer PGCD(64; 28) On utilise les propriétés précédentes : Pour a > b on a PGCD(a; b) = PGCD(a - b; b) PGCD(a; a) = a 64 36 28 20 12 8 a 28 28 8 8 8 b 4 36 8 20 12 4 a-b 4 On s'arrête lorsqu'on obtient deux nombres égaux. PGCD(64; 28) = PGCD(36; 28) = PGCD(28; 8) = ...=PGCD(4; 4) = 4 3nde 2 2. Par divisions successives (algorithme d'Euclide) On veut calculer PGCD(64; 28) On utilise les propriétés : Si a n'est pas divisible par b alors il existe un nombre entier r appelé reste tel que : a = b avec 0< r < b. (Division euclidienne). PGCD(a; b) = PGCD(b; r) a b r q 64 28 8 2 28 8 4 3 q+r 8 4 0 2 On s'arrête lorsqu'on obtient le dernier reste non nul. PGCD(64; 28) = PGCD(28; 8) = PGCD(8; 4) = 4 IV. Nombres premiers entre eux. 1. Définition : On dit que deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. 2. Exemples : PGCD(7; 5) = 1. Donc 7 et 5 sont premiers entre eux. PGCD(8; 5) = 1. Donc 8 et 5 sont premiers entre eux. 3. Fractions irréductibles a. Définition : Une fraction est irréductible si son numérateur et sont dénominateur sont premiers entre eux. b. Propriété : Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. c. Exemple : Soit à simplifier la fraction : 175 245 PGCD(175; 245) = 35 175 = 35 5 245 = 35 7 175 35 × 5 5 donc = = 245 35 × 7 7 PGCD(5; 7) = 1, donc la fraction est irréductible. 3nde 3