Quelques éléments de la Géométrie Algébrique Dérivée 2 et 3

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EL ´ EMENTS DE G ´ EOM ´ ETRIE ALG ´ EBRIQUE D ´ ERIV ´ EE II ET III
GEOFFREY POWELL
TABLE DES MATI ` ERES
1. Rappels 1
2. Le plongement de Yoneda 2
2.1. Yoneda et pr´ echamps d´ eriv´ es 3
2.2. Le Hom interne 4
3. La topologie ´ etale sur dAff 4
3.1. La version d´ eriv´ ee 5
4. Les (pr´ e)faisceaux d’homotopie locaux 6
4.1. Recouvrements dans les pr´ echamps 7
5. Le ∞-topos des champs d´ eriv´ es 7
6. Propri´ et´ es des champs d´ eriv´ es 8
6.1. Sections g´ en´ eralis´ es 9
7. Premiers exemples 9
8. Morphismes lisses de dAff 10
9. Champs d´ eriv´ es g´ eom´ etriques 11
9.1. Champs d´ eriv´ es quotients - ` a la Segal 13
10. Champs alg´ ebriques sup´ erieurs g´ eom´ etriques 14
R´ ef´ erences 14
On fixe un corps de caract´ eristique 0.
1. RAPPELS
La cat´ egorie ∆op \ dAff des pr´ efaisceaux simpliciaux sur dAff ∼
=(cdga+)op est
munie de la structure de mod` ele projective. La cat´ egorie des pr´echamps d´ eriv´ es
dPSt est cette cat´ egorie, munie de la structure de mod` ele localis´e. Les objets fi-
brants de cette structure jouent un rˆ ole important.
D´efinition 1.1. Un pr´echamp d´eriv´e est un objet fibrant de dPSt .
Lemme 1.2. Un pr´efaisceau simplicial F∈∆op \ dAff est un pr´echamp d´eriv´e si et seule-
ment si :
(1) ∀X∈dAff ,F(X)est un complexe de Kan dans ∆opEns ;
(2) ∀X' →Y´equivalence faible de dAff ,F(Y)' →F(X)est une ´equivalence faible de
∆opEns.
D´emonstration. Exercice - en utilisant la construction d’une localisation de Bous-
field ` a gauche. 
Date: Version pr´ eliminaire du 8 f´ evrier 2016 (deux typos corrig´ es 1 mars 2016).
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Remarque 1.3.Si le pr´ efaisceau simplicial F∈∆op \ dAff satisfait les conditions du
Lemme 1.2 lorsque X,Ysont des objets fibrants, alors le pr´ efaisceau d´ eriv´ e
RF:= F◦Qop
est un pr´ echamp d´ eriv´ e.
Remarque 1.4.La structure de mod` ele dPSt est ni fibrant ni cofibrant. Les objets
cofibrants sont construits ` a partir des pr´ efaisceaux repr´ esentables.
2. LE PLONGEMENT DE YONEDA
Soit Cune cat´ egorie petite et b Cla cat´ egorie des pr´ efaisceaux d’ensembles EnsCop .
Le plongement de Yoneda fournit un plongement pleinement fid` ele :
h:C→b C
qui envoie un objet Xau pr´ efaisceau hX:= C(−, X). Le lemme de Yoneda fournit
la bijection
Hom b
C(hX, F )∼
=F(X).
Lemme 2.1. Si Cposs`ede les limites finies, h:C→b Cles pr´eserve. En particulier, pour
X, Y ∈C,
hXQY∼
=hX×hY.
D´emonstration. Exercice. 
Pour g´ en´ eraliser au cadre simplicial, rappelons que le foncteur structure simpli-
ciale constante cst : Ens →∆opEns admet les adjoints suivants :
(1) l’adjoint `a droite, le foncteur ∆opEns →Ens,X•7→ X0;
(2) l’adjoint `a gauche, le foncteur ∆opEns →Ens,X7→ π0(X), o ` uπ0(X)est le
co´ egalisateur du diagramme dans Ens
X1⇒X0.
Exercice 2.2. D´ emontrer cette affirmation.
En particulier, le foncteur cst induit un foncteur cst : b C→∆op b Cqui poss` ede
les adjoints :
π0acst a(−)0.
Par composition, on obtient le plongement de Yoneda (encore d´ enot´ eh).
Ch//
h""
b
C
cst
∆op b C.
Lemme 2.3. Le foncteur cst : Ens →∆opEns pr´eserve les limites finies. Ainsi, si C
poss`ede les limites finies,
h:C→∆op b C
pr´eserve les limites finies.
D´emonstration. Exercice. 
Lemme 2.4. Soient X∈Cet F∈∆op b C, alors il existe un isomorphisme naturel :
Hom∆op b
C(hX, F )∼
=F(X)0.
D´emonstration. Exercice ! 

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EL ´ EMENTS DE G ´ EOM ´ ETRIE ALG ´ EBRIQUE D ´ ERIV ´ EE II ET III 3
La cat´ egorie ∆op b Cest munie d’une structure simpliciale (h´ erit´ ee de ∆opEns).
En particulier, pour F, G ∈∆op b C,Map∆op b
C(F, G)est un ensemble simplicial, dont
Map∆op b
C(F, G)n= Hom∆op b C(F×∆n, G),
o` u(F×∆n)(U) = F(U)×∆n(produit de ∆opEns ` a droite).
Le lemme de Yoneda donne alors :
Map∆op b
C(hX, F )∼
=F(X)
en tant qu’ensemble simplicial.
2.1. Yoneda et pr´echamps d´eriv´es. En particulier, c’est ce foncteur hqui d´ efinit le
plongement de Yoneda :
h:dAff →dPSt .
Proposition 2.5. Le plongement de Yoneda h:dAff →dPSt prend ses valeurs
dans la sous-cat´egorie des objets cofibrants. (Autrement dit : h(Spec(A)) est cofibrant,
∀A∈cdga+.)
D´emonstration. Un Corollaire imm´ ediat du Lemme 2.4. 
Remarque 2.6.Mˆ eme lorsque Spec(A)est fibrant, hSpec(A)n’est pas (en g´ en´ eral)
un pr´echamp d´eriv´e : en g´ en´ eral, une ´ equivalence faible X' →Yde dAff n’induit
par un isomorphisme
hSpec(A)(Y)→hSpec(A)(X),
entre les ensembles simpliciaux discrets, donc pas une ´ equivalence faible de la
structure de mod` ele projective sur ∆op \ dAff .
To¨ en et Vezzosi fournissent (voir la Remarque 2.8 pour la d´ efinition) une modi-
fication explicite de h,` a savoir un foncteur :
h:dAff →dPSt
muni d’une transformation naturelle h→h. Le foncteur d´ eriv´ eh◦Qop sera d´ enot´ e
Rh.
Proposition 2.7. [TV05, Lemmas 4.2.1, 4.2.2] Les propri´et´es suivantes sont satisfaites :
(1) Si Spec(A)est fibrant, alors hSpec(A)est fibrant dans dPSt , donc un pr´ echamp
d´ eriv´ e.
(2) Le morphisme compos´e h→Rhest un isomorphisme dans Ho(dPSt ).
Remarque 2.8.La th´ eorie g´ en´ erale des cat´ egories de mod` ele fournit un foncteur
r´esolution cofibrante
Γ : dAff →dAff∆
o` u la cat´ egorie des objets cosimpliciaux dAff∆est munie de la structure de mod` ele
de Reedy.
Le foncteur hest alors d´ efini par :
hSpec(A)(X) := HomdAff (Γ(X),Spec(A)) ∈∆opEns.
(On note que la cat´ egorie dAff∆est l’oppos´ ee de la cat´ egorie ∆opcdga+des alg` ebres
diff´ erentielles gradu´ ees simpliciaux.)

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2.2. Le Hom interne. Le produit dans la cat´ egorie des pr´ efaisceaux simpliciaux
∆op \ dAff est induit par le produit de ∆opEns, donc
(F×G)(X)n=F(X)n×G(X)n,
muni de la structure simpliciale diagonale. La cat´ egorie ∆op \ dAff admet un hom
interne
Hom∆op \
dAff (−,−) : ∆op \
dAff op ×∆op \ dAff →∆op \ dAff
de sorte qu’on ait un isomorphisme naturel :
Map∆op \
dAff (F, Hom∆op \ dAff (G, H)) ∼
=Map∆op \
dAff (F×G, H).
En particulier, en prenant F:= h(X),X∈dAff , on ait
Hom∆op \
dAff (G, H)(X) = Map∆op \ dAff (h(X)×G, H).
Exemple 2.9. Soit Y∈dAff et H∈∆op \ dAff , alors Hom∆op \
dAff (h(Y), H)est le
pr´ efaisceau simplicial :
X7→ H(X×Y).
Proposition 2.10. Soient Gun objet cofibrant de dPSt et Hun pr´echamp d´eriv´e (un
objet fibrant), alors
Hom∆op \
dAff (G, H)
est un pr´echamp d´eriv´e.
3. LA TOPOLOGIE ´ ETALE SUR dAff
Les morphismes ´ etales sont l’analogue alg´ ebrique des diff´eomorphismes locaux.
(Une r´ ef´ erence classique pour les morphismes ´ etale, le site de Grothendieck as-
soci´ e et la cohomologie ´ etale est [Mil80]).
D´efinition 3.1. Un morphisme de sch´ emas f:X→Yest ´ etale s’il est plat et
non-ramifi´e.
Remarque 3.2.
(1) La d´ efinition d’un morphisme ´ etale est Zariski locale par rapport ` a la source
et le but, donc il suffit de consid´ erer les morphismes entre sch´ emas affines.
(2) On dit qu’un morphisme R→Sd’anneaux commutatifs est ´ etale si et seule-
ment si Spec(S)→Spec(R)est ´ etale.
(3) Dans le cas affine, plat et non-ramifi´e correspondent aux notions habituelles
d’alg` ebre commutative.
Exemple 3.3.
(1) Une immersion ouverte est ´ etale.
(2) Une extension K →Lde corps est ´ etale si et seulement si elle est finie,
s´ eparable.
(3) Soit Run anneau commutatif ; le morphisme
R→S:= R[x1, . . . , xn]/(f1, . . . , fn)
est ´ etale si et seulement si det(∂fi/∂xj)est inversible dans S.
Proposition 3.4. Un morphisme f:X→Yentre sch´emas lisses est ´etale si et seule-
ment si, pour chaque point de X,finduit un isomorphisme entre les espaces tangents
correspondants.

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D´efinition 3.5. Une famille de morphismes {Spec(Ai)→Spec(A)}i∈I de Aff est
un recouvrement ´ etale si
(1) chaque A→Aiest ´ etale ;
(2) il existe un sous-ensemble fini J⊂Itel que
qj∈JSpec(Aj)→Spec(A)
est surjectif.
Remarque 3.6.Cette d´ efinition fournit une topologie de Grothendieck sur Aff , et donc
le gros site ´etale.
3.1. La version d´eriv´ee. On g´ en´ eralise au cadre d´ eriv´ e en suivant To¨ en et Vezzosi,
notamment [TV08, Definition 2.2.2.12] et [TV08, Lemma 2.2.2.13].
D´efinition 3.7. Un morphisme Spec(B)→Spec(A)de dAff est ´ etale si
(1) H0(A)→H0(B)est ´ etale ;
(2) A→Binduit un isomorphisme :
H0(B)⊗H0(A)H∗(A)∼
=
→H∗(B).
Remarque 3.8.Ceci correspond au fait que le sch´ema affine sous-jacent de Aest
H0(A); les propri´ et´ es des morphismes sont d´ efinis en termes des morphismes in-
duits sur les sch´ emas sous-jacents.
De mˆ eme on a la d´ efinition d’un recouvrement ´ etale :
D´efinition 3.9. Une famille de morphismes {Spec(Ai)→Spec(A)}i∈I de dAff est
un recouvrement ´ etale si
(1) chaque Spec(Ai)→Spec(A)est ´ etale dans dAff ;
(2) la famille {Spec(H0(Ai)) →Spec(H0(A))}i∈I de Aff est un recouvrement
´
etale.
To¨ en et Vezzosi ont introduit la notion d’une (pr´ e)-topologie mod` ele (de Gro-
thendieck) sur une cat´ egorie de mod` el´ eM(voir [TV05, Definition 4.3.1] et [TV08,
Definition 1.3.1.1]) ; ceci correspond ` a une topologie de Grothendieck sur Ho(M).
Remarque 3.10.Cf. la d´ efinition d’une topologie mod` ele (de Grothendieck) dans le
contexte des quasi-cat´ egories [Lur09, 6.2.2.1].
Proposition 3.11. [TV05, Example 4.3.6(2)],[TV08, Lemma 2.2.2.13] Les recouvre-
ments ´etale d´efinissent une pr´e-topologie mod`ele (de Grothendieck) sur dAff .
Remarque 3.12.Dans la pratique, ´ etant donn´ e une alg` ebre semi-libre Ade cdga+,
on se restreindra souvent au petit site ´ etale
(dAff /Spec(A))et
dont les objets sont les morphismes ´ etales Spec(B)→Spec(A)(et on peut suppo-
ser Bsemi-libre).
Remarque 3.13.[TV05, Definition 4.5.1] Soit A∈cdga+une alg` ebre semi-libre, alors
l’adjonction :
Oubli : dAff /Spec(A)dAff :− ×Spec( ) Spec(A)
induit la (pr´ e)-topologie mod` ele ´ etale sur dAff /Spec(A)et, en particulier une to-
pologie de Grothendieck sur Ho(dAff /Spec(A)).
Remarque 3.14.Soit Spec(A)un objet fibrant de dAff ; en g´ en´ eral les cat´ egories
Ho(dAff /Spec(A)) et Ho(dAff )/CAT ne sont pas ´ equivalentes. Pourtant, ceci ne
pose pas de probl` eme pour la consid´ eration de la pr´ e-topologie mod` ele induite
(cf. [Lur09, Remark 6.2.2.3]).