Topologie générale

Topologie générale
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
1 Espaces topologiques, espaces métriques 1
1.1 Espaces topologiques : généralités ................ 1
1.1.1 Espace topologique .................... 1
1.1.2 Notion de voisinage d’un point .............. 1
1.1.3 Bases d’ouverts et de voisinages ............. 2
1.2 Espaces métriques ......................... 3
1.2.1 Distances et espaces métriques .............. 3
1.2.2 Comparaisons de structures métriques ......... 4
1.2.3 Cas des espaces vectoriels normés ............ 5
1.3 Autres exemples de topologies .................. 5
1.3.1 Topologie induite ..................... 5
1.3.2 Topologie engendrée par une famille de parties . . . . . 6
1.3.3 Topologie produit ..................... 6
1.3.4 Topologie quotient .................... 7
1.4 Intérieur, adhérence, frontière, limites .............. 9
1.4.1 Définitions ......................... 9
1.4.2 Cas des espaces métriques ................ 11
1.5 Continuité et homéomorphismes ................. 11
1.5.1 Définitions ......................... 11
1.5.2 Cas des espaces métriques ................ 12
1.5.3 Continuité et topologie induite .............. 13
1.5.4 Continuité et topologie produit ............. 13
1.5.5 Continuité et topologie quotient ............. 15
1.5.6 Continuité et espaces vectoriels normés ......... 15
2 Connexité 17
2.1 Définitions ............................. 17
2.2 Propriétés ............................. 18
2.2.1 Connexes de R...................... 18
2.2.2 Connexes et fonctions continues ............. 18
2.2.3 Notion de composante connexe ............. 21
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ii TABLE DES MATIÈRES
3 Compacité 23
3.1 Définitions ............................. 23
3.2 Propriétés ............................. 24
3.3 Compacité et espaces vectoriels normés ............. 28
3.4 Espace quotient .......................... 31
3.4.1 Topologie quotient .................... 31
3.4.2 Supplémentaires topologiques .............. 32
4 Espaces complets 33
4.1 Complétude, suites de Cauchy .................. 33
4.1.1 Définition et propriétés .................. 33
4.1.2 Applications ........................ 34
4.2 Quelques théorèmes importants ................. 36
4.2.1 Théorème du point fixe .................. 36
4.2.2 Prolongement des applications continues ........ 37
4.2.3 Complétion ........................ 38
4.2.4 Théorème de Baire ................... 40
4.2.5 Théorème de Stone-Weierstraß .......... 41
4.3 Critères de complétude ...................... 43
4.3.1 Convergence absolue ................... 43
4.3.2 Produits d’espaces complets ............... 44
5 Exercices 47

Chapitre 1
Espaces topologiques, espaces
métriques
1.1 Espaces topologiques : généralités
1.1.1 Espace topologique
Définition 1.1 Soit E6=∅. Un espace topologique est un couple (E, τ ) où
Eest un ensemble et τ⊂ P(E) tel que :
• ∀(ωi)i∈τI,[
i∈I
ωi∈τ.
•τest stable par intersection finie.
•(∅, E)∈τ2.
Les éléments de τsont appelés ouverts. On appelle fermés les ωc
i.τest la
topologie sur E.
Définition 1.2 (Ordre sur les topologies) Soit Emuni de τ1et τ2.
On dit que τ1est plus grossière que τ2ou que τ2est plus fine que τ1ssi
τ1⊂τ2.
1.1.2 Notion de voisinage d’un point
Définition 1.3 Soit (E, τ) un espace topologique et x∈E.
On appelle voisinage de xtout V⊂Econtenant ω∈τavec x∈ω.
On note Vxl’ensemble des voisinages de x.
Proposition 1.1
• ∀V∈ Vx,V⊂V′⇒V′∈ Vx.
• ∀(Vi)i∈ VJ1,pK
x,
p
\
i=1
Vi∈ Vx.
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