Espaces vectoriels euclidiens - Académie de Nancy-Metz

Espaces vectoriels euclidiens
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Plan
1
Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales
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On a vu en géométrie que certaines transformations comme les symétries
orthogonales, les rotations conservent les angles (non orientés pour les
symétries), c’est-à-dire le produit scalaire. Nous allons étudier ici les
endomorphismes d’un espace euclidien qui vérifient cette propriété.
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Automorphismes orthogonaux
Définition
Soit E un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme f de E est dit
orthogonal si, et seulement si, il conserve le produit scalaire, c’est-à-dire si,
et seulement si
∀x, y ∈ E , (f (x) | f (y )) = (x | y ).
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Proposition
Soit E un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme f de E est
orthogonal si, et seulement si, il conserve la norme, c’est-à-dire si, et
seulement si
∀x ∈ E , ||f (x)|| = ||x||.
Remarque: Un endomorphisme orthogonal est donc une
vectorielle .
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isométrie
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Démonstration. Soit f un endomorphisme orthogonal de E . Puisque f
conserve le produit scalaire, pour tout x ∈ E ,
||f (x)||2 = (f (x) | f (x)) = (x | x) = ||x||2 ,
d’où le résultat, la norme étant positive.
Réciproquement, soit f un endomorphisme de E conservant la norme.
D’après l’identité de polarisation, pour tout x, y ∈ E , on a
1
||f (x) + f (y )||2 − ||f (x) − f (y )||2
4
1
||f (x + y )||2 − ||f (x − y )||2
par linéarité de f
=
4
1
= (||x + y ||2 − ||x − y ||2 )
4
= (x | y ).
(f (x) | f (y )) =
Donc f conserve le produit scalaire et c’est donc un endomorphisme
orthogonal.
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En particulier, si f est un endomorphisme orthogonal, pour tout x ∈ E , on
a
f (x) = 0 ⇐⇒ ||f (x)|| = 0 ⇐⇒ ||x|| = 0 ⇐⇒ x = 0
donc Ker(f ) = {0} et f est injectif. Puisque E est de dimension finie, f
est bijectif. En conséquence :
Corollaire
Un endomorphisme orthogonal d’un espace vectoriel euclidien E est un
automorphisme de E . On parlera donc désormais d’automorphisme
orthogonal.
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Exemples: Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sous-espace
vectoriel de E .
1
IdE et − IdE sont des automorphismes orthogonaux.
2
La symétrie orthogonale s par rapport à F est un automorphisme
orthogonal.
En effet, pour tout x ∈ E , si x = y + z avec y ∈ F et z ∈ F ⊥ , alors on a
s(x) = y − z et donc
||s(x)||2 = ||y − z||2
= ||y ||2 + ||z||2
(Pythagore, y et − z étant orthogonaux)
2
= ||y + z||
= ||x||2 .
(Remarque : parmi les symétries, seules les symétries orthogonales sont des
endomorphismes orthogonaux)
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Théorème
Soit E un espace vectoriel euclidien. L’ensemble des automorphismes
orthogonaux de E est un sous-groupe (pour la composition) de GL(E ),
appelé groupe orthogonal de E et noté O(E ) : cela signifie que
1
l’élément neutre pour la composition IdE est orthogonal.
2
La composée de deux automorphismes orthogonaux de E est un
automorphisme orthogonal de E .
3
L’automorphisme réciproque d’un automorphisme orthogonal de E est
un automorphisme orthogonal de E .
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Réflexions
Rappel : Dans un espace vectoriel E de dimension n, on appelle hyperplan
un sous-espace vectoriel de dimension n − 1. Ainsi, les hyperplans d’un
espace de dimension 2 sont les droites vectorielles, et les hyperplans d’un
espace de dimension 3 sont les plans vectoriels.
Définition
On appelle réflexion une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
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Remarque:
1
Dans le plan, les réflexions sont les symétries axiales.
2
Dans l’espace de dimension 3, les réflexions sont les symétries
orthogonales par rapport à un plan.
3
Comme toute symétrie, une réflexion s est une involution, c’est-à-dire
que s −1 = s.
4
Par définition, l’ensemble des vecteurs invariants par une réflexion par
rapport à un hyperplan F est l’hyperplan F lui-même.
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Théorème
Soit E un espace vectoriel euclidien. Un automorphisme orthogonal dont
l’ensemble des vecteurs invariants est un hyperplan H est la réflexion par
rapport à H.
C’est ce résultat qui par la suite nous permettra de classifier les
automorphismes orthogonaux du plan et de l’espace de dimension 3 en
discutant suivant la dimension de l’ensemble des vecteurs invariants.
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Matrices orthogonales
On peut caractériser un endomorphisme orthogonal par la conservation du
caractère orthonormal d’une base.
Théorème
Soit E un espace vectoriel euclidien et B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base
orthonormale de E .
Un endomorphisme f de E est un automorphisme orthogonal si et
seulement si la famille
f (B) = (f (e1 ), f (e2 ), . . . , f (en ))
est une base orthonormale de E .
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Démonstration. Soit f un automorphisme orthogonal de E . Pour tout
i, j ∈ [[1, n]], on a
1 si i = j
(f (ei ) | f (ej )) = (ei | ej ) =
0 si i 6= j
donc la famille f (B) est orthonormale. C’est donc une base orthonormale
de E .
Réciproquement, supposons que la famille f (B) soit une base
orthonormale de E . Soit x ∈ E . On note x = x1 e1 + · · · + xn en sa
décomposition dans la base E .
On a alors f (x) = x1 f (e1 ) + · · · + xn f (en ) et puisque f (B) et B sont des
bases orthonormales de E ,
p
||f (x)|| = x1 2 + x2 2 + · · · + xn 2 = ||x||
donc f conserve la norme. On a prouvé que f est un automorphisme
orthogonal de E .
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Remarque: Ce théorème prouve que si f est un automorphisme
orthogonal alors l’image de toute base orthonormale de E est une base
orthonormale de E , mais il montre aussi pour prouver qu’un
endomorphisme f de E est orthogonal, il suffit de prouver que l’image
d’une base orthonormale de E par f est une base orthonormale de E .
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Corollaire
Soit E un espace vectoriel euclidien et B = (e1 , e2 , . . . , en ) une base
orthonormale de E .
Soit f un endomorphisme de E et A = MB (f ) la matrice représentative de
f dans la base B. On note C1 , C2 , . . . , Cn les colonnes de A.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
1
2
3
L’endomorphisme f est orthogonal.
la famille de vecteurs de Rn représentés par les vecteurs colonnes de
A est une famille orthonormale de Rn muni de son produit scalaire
canonique,
1 si i = j
t
pour tout i, j ∈ [[1, n]], on a Ci Cj =
,
0 si i 6= j
4
t AA
= In ,
5
At A
= In ,
6
A−1
= t A.
Une telle matrice est dite orthogonale.
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En conséquence, on peut donner une définition très simple de matrice
orthogonale :
Définition
On appelle matrice orthogonale de taille n toute matrice de Mn (R)
inversible dont l’inverse est égale à sa transposée (c’est à dire A−1 = t A
ou plus simplement t AA = In ).
Remarque: On vient de montrer que si un endomorphisme f est
orthogonal, sa matrice dans une base orthonormale est orthonormale et
qu’il suffit que sa matrice dans une base orthonormale donnée soit
orthogonale pour que f soit orthogonal.
Une matrice est orthogonale si et seulement si l’endomorphisme de Rn
canoniquement associé à celle-ci est orthogonal pour le produit scalaire
canonique de Rn .
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Proposition
Soit B une base orthonormée d’un espace vectoriel euclidien E . Une base
B 0 est orthonormée si, et seulement si, la matrice de passage de B à B 0 est
orthogonale.
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Théorème
L’ensemble des matrices orthogonales d’ordre n est un sous-groupe de
GLn (R) pour la multiplication, appelé groupe orthogonal d’ordre n et noté
O(n) :
1
Le neutre pour la multiplication des matrices, la matrice In , est
orthogonale.
2
Le produit de deux matrices orthogonales est une matrice orthogonale.
3
L’inverse d’une matrice orthogonale est une matrice orthogonale.
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Proposition
Le déterminant d’une matrice orthogonale vaut 1 ou −1.
Démonstration. Soit A une matrice orthogonale. On a t AA = In donc
1 = Det(In ) = Det(t AA) = Det(A) Det(t A) = Det(A)2 .
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