Espaces vectoriels euclidiens - Académie de Nancy-Metz

Espaces vectoriels euclidiens
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Plan
1Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales
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On a vu en g´eom´etrie que certaines transformations comme les sym´etries
orthogonales, les rotations conservent les angles (non orient´es pour les
sym´etries), c’est-`a-dire le produit scalaire. Nous allons ´etudier ici les
endomorphismes d’un espace euclidien qui v´erifient cette propri´et´e.
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Automorphismes orthogonaux
D´efinition
Soit E un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme f de E est dit
orthogonal si, et seulement si, il conserve le produit scalaire, c’est-`a-dire si,
et seulement si
∀x,y∈E,(f(x)|f(y)) = (x|y).
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Proposition
Soit E un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme f de E est
orthogonal si, et seulement si, il conserve la norme, c’est-`a-dire si, et
seulement si
∀x∈E,||f(x)|| =||x||.
Remarque: Un endomorphisme orthogonal est donc une isom´etrie
vectorielle .
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