M2 Math – Topologie Algébrique

M2 Math – Topologie Alg´ebrique
(version du 19 janvier 2009)
2. Complexes de groupes ab´eliens et homologie
Groupes ab´eliens de type fini
Soit f:A→Bun morphisme de groupes ab´eliens (ou homomorphisme). On appelle noyau de fet on note
ker(f) la partie de Aform´ee des ´el´ements atels que f(a) = 0. On appelle image de fet on note im(f) la
partie de Bform´ee des ´elements f(a), ad´ecrivant A. Tous deux sont des sous-groupes ab´eliens de Aet de B
respectivement.
Soit A′un sous-groupe ab´elien de A. On appelle quotient de Apar A′et on note A/A′l’ensemble des parties
de Ade la forme a+A′={a+a′, a′∈A′},ad´erivant A, munie de l’unique structure de groupe telle que la
projection p:A→A/A′,a7→ a+A′soit un homomorphisme. Les ´el´ements de A/A′forment une partition de
A. La somme de a+A′et de b+A′dans A/A′est (a+b) + A′) ; l’´el´ement neutre est 0 + A′=A′.
Ex. Les groupes quotients de Zsont les groupes Z/nZ,nun entier, qu’on notera pour faire court Z/n.
Lemme 2.1 Soit f:A→Bun morphisme de groupes ab´eliens et A′⊂Aun sous-groupe ab´elien de A. Il
existe un homomorphisme g:A/A′→Btel que fsoit la compos´ee g◦psi et seulement si A′est contenu dans
le noyau de f, auquel cas le morphisme gest unique.
Si A′= ker(f) alors l’homomorphisme gci-dessus est unique. On l’appelle l’homomorphisme A/A′→Binduit
par f.
Plus g´en´eralement soient Aun groupe ab´elien et ∼une relation sur les ´el´ements de A. On forme le sous-groupe
Bde Aengendr´e par tous les ´elements qui s’´ecrivent a−a′avec a∼a′. Le groupe quotient A/B v´erifie la
propri´et´e universelle suivante :
Lemme 2.2 Un morphisme de groupes ab´eliens f:A→Cs’´ecrit comme la compos´ee de la projection
A→A/B avec un morphisme A/B →Csi et seulement si on a
∀a, a′∈A, a ∼a′⇒f(a) = f(a′)
(auquel cas le morphisme A/B →Cest unique).
Le quotient A/B s’appelle le groupe quotient de Apar la relation ∼, le morphisme A/B →Cs’appelle le
morphisme induit par f:A→C.
Soit Sun ensemble fini. On note ZSle groupe ab´elien des applications de Sdans Z. Pour chaque s∈Snotons
esl’application S→Zqui vaut 1 en set 0 ailleurs. Toute application f:S→Zs’´ecrit f=Ps∈Sf(s)eset
cette ´ecriture est unique. On dit que ZSest un groupe ab´elien libre et que la famille (es)s∈S, qu’on identifie `a
S, en est une base.
Lemme 2.3 Soit Aun groupe ab´elien et f:S→Aune application (d’ensembles). Alors fs’´etend de fa¸con
unique en un homomorphisme ZS→A.
On dit qu’un groupe ab´elien Aest de type fini s’il existe une partie finie Sde Aqui engendre A,i.e. telle que
tout ´el´ement de As’´ecrive comme combinaison lin´eaire `a coefficients entiers d’´el´ements de S. Il revient au mˆeme
de dire qu’il existe un ensemble fini Set un homomorphisme surjectif ZS→A.
Soit Aun groupe ab´elien de type fini. Une pr´esentation de Aest la donn´ee d’ensembles finis Set S′, d’un
homomorphisme surjectif f:ZS→Aet d’un homomorphisme surjectif de ZS′dans le noyau de f. Comme
cons´equence de la proposition suivante, toute groupe ab´elien de type fini admet une pr´esentation finie :
Prop. 2.4 Soit n > 0 un entier et fun homomorphisme de Zndans un groupe ab´elien A. Alors il existe une
famille (e1,...,en) d’´elements de Znet des entiers positifs d1,...,dntels que didivise di+1 pour 1 ≤i < n,
v´erifiant :
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(i) la famille (ei) est une base de Zn;
(ii) la sous-famille de (diei) form´ee des ´el´ements non nuls est une base du noyau de f. (En particulier le noyau
de fest un groupe ab´elien libre de dimension ≤n.)
On dit que (ei) est une base de Znadapt´ee `a ker(f).
Sommes directes
Soient Aun groupe ab´elien et H, G deux sous-groupes de A. On note H+Gle sous-groupe de Aform´e des
sommes d’un ´el´ement de Havec un ´el´ement de G. Si l’intersection H∩Gne contient que 0 on dit que la somme
de Het de Gest directe et on la note.
Soient Aet Bdeux groupes ab´eliens. On identifie A, respectivement B, avec le sous-groupe de A×Bform´e
des couples (a, 0), ad´ecrivant A, respectivement (0, b), bd´ecrivant B. Alors la somme de Aet de Bdans A×B
est directe, on ´ecrira aussi bien A⊕Bpour A×B.
On dispose des inclusions canoniques A→A⊕Bet B→A⊕Bet des projections A⊕B→A,A⊕B→B.
La donn´ee d’un homomorphisme d’un groupe ab´elien Cdans A⊕B´equivaut `a celle des deux compos´ees
C→A⊕B→Aet C→A⊕B→B. On d´ecrira un tel homorphisme par le couple des morphismes associ´es.
La donn´ee d’un homomorphisme A⊕B→C´equivaut `a celle des deux restrictions A→A⊕B→Cet
B→A⊕B→C. On d´ecrira un tel morphisme par le couple des morphismes associ´es.
Plus g´en´eralement un homorphisme d’une somme directe A1⊕ · · · ⊕ Andans une somme directe B1⊕ · · · ⊕ Bm
se d´ecrit par une matrice `a mlignes et ncolonnes de morphismes Aj→Bi. Lorsque les Ajet les Bisont tous
´egaux `a Zet en notant kl’homomorphisme ‘ultiplication par k”, on retrouve la matrice d’un homomorphisme
Zn→Zm.
Ex. Quels sont les homomorphismes Z/4⊕Z/4→Z/8⊕Z/2 ?
Corolaire 2.5 Avec les hypoth`eses et les conclusions de la proposition 4, finduit un isomorphisme
Z/d1⊕ · · · ⊕ Z/dn→Im(f).
Complexes de groupes ab´eliens et homologie
D´ef. Un complexe de groupes ab´eliens est la donn´ee d’une suite (Cn)n≥0de groupes ab´eliens et d’une suite
(dn:Cn→Cn−1)n≥1d’homomorphismes v´erifiant dn◦dn+1 = 0 pour tout entier n≥1.
On pose C−1={0}et d0= le morphisme nul.
L’application (dn) : ⊕nCn→ ⊕nCn−1est appel´e la diff´erentielle du complexe et ´egalement not´e d. Les
´el´ements du noyau de dnsont appel´es les cycles de Cnet on note, ceux de l’image de dnsont appel´es les bords
de Cn−1. Le complexe (Cn, dn) est aussi not´e C∗ou (C∗, d).
L’homologie d’un tel complexe est la suite des groupes ab´eliens quotient Hn(C) := ker(dn)/im(dn+1), n≥0.
On la note H∗(C).
Ex. ···0→Z(id,id) −−−−→ Z⊕Z2id,−2id −−−−−→ Z→0 o`u le groupe 0 le plus `a droite est en degr´e −1. L’homologie de ce
complexe est 0 en degr´e 2 et 1, Z/2 en degr´e 0.
Un morphisme d’un complexe (de groupes ab´eliens) C∗dans un complexe D∗est une suite d’homomorphismes
fn:Cn→Dn,n≥0, telle que les diagrammes
Cn+1
fn+1
−−−−→ Dn+1
y
dn+1 
y
dn+1
Cn
fn
−−−−→ Dn
commutent pour tout n≥0, i.e. telle que dn+1 ◦fn+1 =fn◦dn+1 pour tout n≥0.
Une telle suite de morphismes transforme les cycles, respectivement bords, de Cnen cycles, respectivement
bords, de Dndonc induit une suite de morphismes Hn(C)→Hn(D), n≥0 : pour chaque entier nla compos´ee
ker(dn:Cn→Cn−1)fn
−→ ker(dn:Dn→Dn−1)→Hn(D) est nulle sur im(dn+1 :Cn+1 →Cn) donc se factorise
via Hn(C).
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