Topologie des espaces métriques, 2011/12.

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Topologie des espaces m´etriques, 2011/12.

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Chapitre 1
Pr´eliminaires sur R
1.1 Caract´erisation de R
Nous rappelons la caract´erisation fondamentale de Ret nous explicitons
par la suite les notions en jeu dans cet ´enonc´e.
Th´eor`eme 1.1. Il existe un unique corps totalement ordonn´e dans lequel
toute partie non vide major´ee admet une borne sup´erieure.
Ce corps, not´e R, contient le corps des nombres rationnels Q.
On dit que Ra la propri´et´e de la borne sup´erieure. On rappelle les nom-
breuses notions impliqu´es dans cet ´enonc´e : corps, relation d’ordre, relation
d’ordre totale, ensemble major´e, et borne sup´erieure.
Informellement, un corps est un ensemble muni de deux lois (+,×) avec
les propri´et´es usuelles de l’addition et de la multiplication (cela sera vu tr`es
en d´etail dans le cours d’alg`ebre).
D´efinition. Une relation d’ordre ≺sur un ensemble Xest une relation bi-
naire, c’est-`a-dire la donn´ee d’une partie Vde X×Xo`u x≺y⇐⇒ (x, y)∈
V, v´erifiant les axiomes suivants :
R´eflexivit´e. Pout tout x∈X,x≺x.
Antisym´etrie. Pour tous x, y ∈X, si x≺yet y≺xalors x=y.
Transitivit´e. Pour tous x, y, z ∈X, si x≺yet y≺zalors x≺z.
L’ordre est dit total si la condition suivante est satisfaite :
Pour tous x, y ∈X, on a x≺you y≺x.
Le couple (X, ≺) est appel´e ensemble ordonn´e. On dira ensemble totale-
ment ordonn´e si la relation ≺est une relation d’ordre totale ; on dira par-
tialement ordonn´e si la relation d’ordre n’est pas totale. Par exemple, (N,≤)
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4CHAPITRE 1. PR ´ ELIMINAIRES SUR R
et (R,≤) sont totalement ordonn´es. D’autre part (X=P(E),⊂), l’ensemble
des parties d’un ensemble Emuni de la relation d’inclusion, est un ensemble
partialement ordonn´e. (Dans ce texte ⊂et ⊆signifient “est inclus dans”,
tandis que (signifie “est inclus strictement dans”.)
D´efinition. Soit A⊂Xune parte non vide. Soit (X, ≺) un ensemble or-
donn´e. On dit que m∈Xest un majorant de A(resp. minorant de A)
si
(A1) Pour tout a∈A,a≺m(resp. m≺a)
On dit que m∈Xest la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) de Asi c’est un
majorant (resp. minorant) de Aet si de plus
(A2) Pour tout majorant m0de A, on a m≺m0(resp. pour tout minorant
m0de A, on a m0≺m).
Notation. Une partie non vide Aest dite major´ee (resp. minor´ee) si elle
admet un majorant (resp. minorant). Quand elle existe, la borne sup´erieure
(resp. inf´erieure) est not´ee sup A(resp. inf A).
Remarques.
– Une partie major´ee n’admet pas forc´ement de borne sup´erieure.
– La borne sup´erieure d’une partie An’est pas forc´ement dans A.
– La borne sup´erieure est le plus petit des majorants : si Mest l’ensemble
des majorants de A, alors mest la borne sup´erieure de Asi et seule-
ment si m∈Met mest un minorant de M. On voit ici que la borne
sup´erieur est unique.
Exemple. La partie A=] − ∞,0[ n’admet pas de borne sup´erieure dans
(R∗,≤) et admet 0 comme borne sup´erieure dans (R,≤). Il est bien connu que
(Q,≤) n’a pas la propri´et´e de la borne sup´erieure : il existe dans Qdes parties
non vides major´ees sans borne sup´erieure, par exemple {x∈Q|x2≤2}.
Remarque. Dans le th´eor`eme 1.1, on suppose les op´erations (+,×) compa-
tibles avec l’ordre, dans le sens suivant. On a
a≤b⇒a+c≤b+c
et
(a≤bet λ≥0) ⇒λa ≤λb.
Corollaire 1.2. Toute partie non vide minor´ee de Radmet une borne
inf´erieure.

1.2. SUITES 5
D´emonstration. Si A⊂Rest non vide et minor´ee, alors −Aest major´ee,
admet une borne sup´erieure met −mconvient.
Proposition 1.3. Soit Aune partie non vide major´ee de Ret mun majorant
de A. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
i. Le nombre r´eel mest la borne sup´erieure de A.
ii. Pour tout ε > 0, il existe a∈Atel que m−ε<a.
D´emonstration. On d´emontre (i)⇒(ii). En effet (ii) revient `a dire que
m0=m−εn’est pas une majorant de A. Admettons en raisonnant par
l’absurde que m0est un majorant de A. On a m≥m0car εest positif.
D’autre part, grˆace `a (i), on a m≤m0. Par cons´equence m=m0, ce qui
entraine ε= 0, une contradiction.
On d´emontre (ii)⇒(i). On raisonne par l’absurde et on admet qu’il
existe m0, majorant de A, tel que m0< m. Soit ε=m−m0>0, alors il
existe a∈Atel que m0=m−ε < a. Ainsi, A3a > m0, ce qui contredit le
fait que m0est un majorant.
1.2 Suites
D´efinition. Une suite r´eelle est la donn´ee d’une fonction u:N→R. On
emploie souvent la notation (un)n∈N, ou bien simplement (un), ou encore
un=u(n).
D´efinition. Une suite r´eelle (un) converge vers msi la condition suivante
est satisfaite : ∀ε > 0, ∃n0≥0∀n≥n0, un∈]m−ε, m +ε[.
On ´ecrit
lim
n→∞ un=m.
La proposition pr´ec´edente admet une formulation en terme de suites.
Proposition 1.4 (caract´erisation s´equentielle de la borne sup´erieure).Soit
Aune partie non vide major´ee de Ret mun majorant de A. Les assertions
suivantes sont ´equivalentes.
i. Le nombre r´eel mest la borne sup´erieure de A.
ii’. Il existe une suite (an)d’´el´ements de Aqui converge vers m.
D´emonstration. Grˆace `a la proposition pr´ec´edente on peut remplacer la condi-
tion (i) par la condition suivante.
ii. Pour tout ε > 0, il existe a∈Atel que m−ε < a.