1.2. SUITES 5
D´emonstration. Si A⊂Rest non vide et minor´ee, alors −Aest major´ee,
admet une borne sup´erieure met −mconvient.
Proposition 1.3. Soit Aune partie non vide major´ee de Ret mun majorant
de A. Les assertions suivantes sont ´equivalentes.
i. Le nombre r´eel mest la borne sup´erieure de A.
ii. Pour tout ε > 0, il existe a∈Atel que m−ε<a.
D´emonstration. On d´emontre (i)⇒(ii). En effet (ii) revient `a dire que
m0=m−εn’est pas une majorant de A. Admettons en raisonnant par
l’absurde que m0est un majorant de A. On a m≥m0car εest positif.
D’autre part, grˆace `a (i), on a m≤m0. Par cons´equence m=m0, ce qui
entraine ε= 0, une contradiction.
On d´emontre (ii)⇒(i). On raisonne par l’absurde et on admet qu’il
existe m0, majorant de A, tel que m0< m. Soit ε=m−m0>0, alors il
existe a∈Atel que m0=m−ε < a. Ainsi, A3a > m0, ce qui contredit le
fait que m0est un majorant.
1.2 Suites
D´efinition. Une suite r´eelle est la donn´ee d’une fonction u:N→R. On
emploie souvent la notation (un)n∈N, ou bien simplement (un), ou encore
un=u(n).
D´efinition. Une suite r´eelle (un) converge vers msi la condition suivante
est satisfaite : ∀ε > 0, ∃n0≥0∀n≥n0, un∈]m−ε, m +ε[.
On ´ecrit
lim
n→∞ un=m.
La proposition pr´ec´edente admet une formulation en terme de suites.
Proposition 1.4 (caract´erisation s´equentielle de la borne sup´erieure).Soit
Aune partie non vide major´ee de Ret mun majorant de A. Les assertions
suivantes sont ´equivalentes.
i. Le nombre r´eel mest la borne sup´erieure de A.
ii’. Il existe une suite (an)d’´el´ements de Aqui converge vers m.
D´emonstration. Grˆace `a la proposition pr´ec´edente on peut remplacer la condi-
tion (i) par la condition suivante.
ii. Pour tout ε > 0, il existe a∈Atel que m−ε < a.