Classe de terminale S spécialité maths Correction du DM

Classe de terminale S spécialité maths
Correction du DM n°5 : nombres de Fermat
Exercice 133 page 66
Partie A : Nombres premiers de la forme
1
2
−
m
:
Soit x un entier naturel supérieur ou égal à 2.
mm
xxxxxP
2122
...1)( +−−+−=
−
est la somme
des termes d’une suite géométrique de raison x. On a donc
x
x
x
x
xP
mm
+
+
=
−−
−−
=
++
1
1
)(1 )(1
)(
1212
puisque 2m + 1 est impair. On a donc )()1(1
12
xPxx
m
+=+
+
, et comme x est un entier, P(x)
est aussi un entier, x + 1 est donc bien un diviseur de 1
12
+
+m
x .
De même,
2242
...1)(
−
++++=
m
xxxxQ est la somme des termes d’une suite géométrique de
raison x
2
, soit )1)(1( 1
1)(1
)(
2
2
2
xx x
x
x
xP
mm
−+−
=
−
−
=. On a donc
m
xxQxx
2
1)()1)(1( −=−+ , et
comme Q(x) est un entier, x + 1 divise 1
2
−
m
x .
Soit maintenant q un entier impair strictement supérieur à 1, et q’ un entier non nul. On peut
écrire
(
)
1212
''
+=+
q
qqq
, et comme q est impair, il peut se mettre sous la forme 12
+
=
mq .
De plus, q’ n’est pas nul, donc
'
2
q
est un entier supérieur ou égal à 2. D’après la question
précédente,
1
2
'
+
q
divise donc
(
)
12
'
+
q
q
. Comme
1
2
'
+
q
est strictement supérieur à 1 et
différent de
(
)
12
'
+
q
q
(puisque q > 1),
(
)
12
'
+
q
q
a un diviseur propre. Il ne peut être premier.
Par conséquent, si
1
2
+
m
est premier, m ne peut avoir aucun diviseur impair, donc m ne peut
avoir aucun facteur premier impair. m est donc nécessairement une puissance de 2.
Partie B : Primalité des nombres de Fermat.
On vient de voir que pour qu’un nombre de la forme 2
m
+ 1 soit premier, il est nécessaire que
m soit une puissance de 2. Fermat connaissait déjà ce résultat, et il a observé que :
31212
0
2
=+=+ est un nombre premier.
51212
22
1
=+=+ est un nombre premier.
171212
42
1
=+=+ est un nombre premier.
2571212
82
2
=+=+ est un nombre premier.
655371212
162
4
=+=+ est un nombre premier.
Il a donc conjecturé que tous les nombres 12
2
+=
n
n
F était toujours un nombre premier.
Nous allons voir ce qu’Euler a fait.
On constate tout d’abord que
7
641 640 1 5 2 1
= + = × +
et
4 4
641 625 16 5 2
= + = +
.
On peut donc en conclure que
(
)
32 4 28 28 4 4 28
2 5 2 2 2 5 2 641
+ × = + = × est un multiple de 641.
De même,
(
)
(
)
(
)
2 14 7 7 7
5 2 1 5 2 1 5 2 1 641 5 2 1
× − = × − × + = × × −
est un multiple de 641, donc
aussi
(
)
(
)
4 28 2 14 2 14
5 2 1 5 2 1 5 2 1
× − = × − × +
est un multiple de 641.
Il en résulte que
(
)
(
)
32 32 4 28 4 28
2 1 2 5 2 5 2 1
+ = + × − × −
, différence de deux multiples de 641,
est un multiple de 641. Il n’est donc pas premier.
Montrons maintenant par récurrence que pour tout entier n ? 1,
1 2
n
n
+ ≤
:
Initialisation pour n = 1 : n + 1 = 2 et
2 2
n
=
, l’initialisation est vérifiée.

Hérédité : supposons vrai que pour un certain entier n,
1 2
n
n
+ ≤
.
Alors
(
)
1
2 1 2 2 2 2 2
n n
n n
+
+ ≤ × ⇔ + ≤ . Comme n > 0 ,
2 2 2
n n
+ > +
. On a donc bien
1
2 2
n
n
+
+ ≤ et la propriété
1 2
n
n
+ ≤
est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier n ? 1.
Par suite il existe un entier positif a tel que 2 1
n
n a
= + +
, on a donc
2 1 1
2 2 2 2
n
n a n a
+ + +
= = ×
.
2
a
est un entier, donc
1
2
n
+
divise
2
2
n
. Il existe donc un entier λ tel que
2 1
2 2
n
n
λ
+
= × .
En utilisant l’identité
(
)
(
)
( 1) ( 2)
1 1 ... 1
a a a a a
x x x x x
λ λ λ − −
− = − + + + +
(qui s’obtient en
remarquant à nouveau qu’on a une somme de suite géométrique), on obtient, en posant x = 2,
et
1
2
n
a
+
=, que
( )( )
21 1 1 1
22 ( 1)2 ( 2)2 2
2 1 2 1 2 2 ... 2 1
nn n n n
λ λ
+ + + +
  − −
− = − + + + +
. Ce qui est à l’intérieur
de la parenthèse est un entier, donc
1
2
2 1
n+
−
divise
2
2
2 1
n
−
.
D’autre part,
(
)
(
)
(
)
1
2
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
n n n n n+
×
− + = − = − = −
. Comme
2
2 1
n
n
F
+ =
, on obtient
bien que F
n divise
1
2
2 1
n+
−
, donc aussi
2
2
2 1
n
−
.
Enfin,
(
)
2 2 2
2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
n n n
n
F
+
− = − = × − = −
. On a bien montré que F
n divise
2 2
n
F
−
.
Partie C : autres propriétés des nombres de Fermat
n désigne un entier naturel, et m un entier naturel non nul.
(
)
2
2 2 2 2
2 2 1 2 2 1 2 1
m
n m n m n
n m
F
+
×
+
− = + − = − = −
. Or nous avons prouvé à la partie A que pour
tout entier x supérieur ou égal à 2, pour tout entier m non nul, x + 1 divise
2
1
m
x
−
. Ici on
prend
2
2
n
x =, et 2m est bien un nombre pair, on peut donc le mettre sous la forme
2 2
m
p
= :
2
2 1
n
+
divise donc
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1 2 1
m
n n
p
− = −
On a donc bien prouvé que F
n divisait
F
n + m – 2.
Il existe donc un entier k tel que F
n + m – 2 =
k F
n , ce qui peut aussi s’écrire
F
n + m –
k F
n = 2.
Tout diviseur commun à F
n + m et
F
n est donc aussi un diviseur de 2. Comme
F
n et
F
n sont
impairs, ils ne sont pas divisibles par 2. Leur pgcd est donc 1. Deux nombres de Fermat
distincts sont donc premiers entre eux.
Partie D : chiffres des unités des nombres de Fermat
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
[
]
4
2 16 6 10
= ≡ .
Montrons par récurrence que pour tout n ? 2,
[
]
2
2 6 10
n
≡ :
L’initialisation vient d’être vérifiée.
Hérédité : supposons que, pour un certain entier n ,
[
]
2
2 6 10
n
≡ . Alors
(
)
1
2
2 2 2 2
2 2 2
n n n +
×
= = .
Par hypothèse de récurrence,
[
]
2
2 6 10
n
≡ donc
[
]
1
2 2
2 6 10
n+
≡ , soit
[
]
[
]
1
2
2 36 10 6 10
n+
≡ ≡ . La
propriété
[
]
2
2 6 10
n
≡ est donc héréditaire. Elle est vraie pour tout entier n ? 2.
Il en résulte, comme
2
2 1
n
n
F
= +
, que si n ? 2,
[
]
7 10
n
F ≡. Son chiffre des unités est 7.
Montrons de même par récurrence sur l’entier q que
[
]
4 3
2
2 56 100
q+
≡ :
Initialisation pour
q = 0 :
[ ]
3
2 8
2 2 256 56 100
= = ≡ .

Hérédité : supposons que, pour un certain entier q,
[
]
4 3
2
2 56 100
q+
≡.
Alors
(
)
4( 1) 3 4 3 4 4 3
16
2 2 2 2
2 2 2
q q q+ + + +
×
= = . Par hypothèse de récurrence,
[
]
4 3
2
2 56 100
q+
≡, donc,
d’après les propriétés des congruences,
(
)
[ ]
4 3
16
2 16
2 56 100
q+
≡. Comme on nous dit d’admettre
que
[
]
16
56 56 100
≡, on a bien
[
]
4( 1) 3
2
2 56 100
q+ +
≡. La propriété
[
]
4 3
2
2 56 100
q+
≡ est héréditaire,
elle est vraie pour q = 0, donc pour tout entier q. Comme il est équivalent de dire
[
]
3 4
n≡ et
4 3
n q
= +
, on a bien, pour tout n tel que
[
]
3 4
n≡, que
[
]
57 100
n
F≡.
Diverses remarques culturelles
Les nombres de Fermat vérifient la propriété
0 1 1
... 2
n n
F F F F
+
× × × = +
Dans l’état actuel des connaissances mathématiques, les seuls nombres de Fermat premiers
connus sont F
0
, F
1
, F
2
, F
3
et F
4
. On sait que de F
5
à F
32
ils sont tous composés, mais on ne
sait rien de F
33
. On connaît la décomposition en facteurs premiers de F
11
(il y a 5 diviseurs
premiers, le plus grand a 560 chiffres). On ne connaît pas la décomposition en facteurs
premiers de F
12
(on n’en connaît que 5 facteurs). Quand à F
14
, on sait qu’il est composé mais
on n’en connaît aucun diviseur. Le plus grand nombre de Fermat dont on sache qu’il est
composé est F
2478782
qui a environ 10
746000
chiffres.
Le nombre 641 pour la factorisation de F
5
n’est pas le fruit du hasard. On démontre que les
diviseurs premiers de F
n
sont de la forme
1
2 1
n
k
+
× +
. Pour F
5
, on se cantonne donc aux
nombres premiers congrus à 1 modulo 64, ce sont : 193, 257 (mais c’est un nombre de
Fermat, donc il est premier avec F
5
), 449, 577, 641 …
Le « petit théorème de Fermat », que nous allons bientôt voir, affirme que si p est premier,
alors pour tout entier n,
[
]
p
n n p
≡. En revanche, il n’y a pas équivalence. Un nombre p non
premier qui vérifie
[
]
2 2 0
p
p
− ≡ s’appelle nombre 2-pseudo premier. Le plus petit est 341.