On appelle nombre de Fermat tout nombre de la forme avec . On note un tel nombre
.
1. Calculer . Que constate-t-on ?
2. Les nombres de Fermat sont-ils tous premiers ?
On pourra se servir de Xcas et de la fonction est_premier.
Note : Fermat a cru que tous ces nombres étaient des premiers mais Euler a prouvé le contraire en
montrant que ne l’était pas.
3. Propriétés de ces nombres
a. A l’aide de Xcas, quelle conjecture peut-on faire sur le dernier chiffre de
?
b. Démontrer que pour tout ,
et démontrer la conjecture.
4. Deux nombres de Fermat
Soit
et deux nombres de Fermat, .
a. Conjecturer le PGCD de
et .
b. Déterminer
.
c. En déduire que
divise .
d. Démontrer la conjecture.
5. L’ensemble des nombres premiers
a. Si est un diviseur premier de
et un diviseur premier de , que peut-on
dire de et ?
b. Que peut-on dire de la suite des nombres de Fermat ?
c. Conclure.
Note : Vers 1920, Georges Polya a démontré de cette manière l’existence d’une infinité de nombres
premiers.
Problème 4 : tester si un nombre est premier
1. Enoncer le petit de théorème de Fermat.
On considère un entier naturel , dont on veut savoir s’il est premier ou non.
Le théorème précédent donne lieu au test de Fermat dont les étapes sont les
suivantes :
a. Choix arbitraire de ,
b. Vérifier que x, n) = 1 et calculer de
2. Que peut-on dire si ? si ?
3. Tester, avec Xcas, le nombre 561.
4. 561 est-il premier ?
Note : 561 met en défaut le test de Fermat. Un tel nombre est appelé nombre de
Carmichaël et on démontre le résultat suivant :
Un nombre composé impair est un nombre de Carmichael si et seulement si :
(i) il est sans carrés (c’est-à-dire qu’il n’a pas de diviseurs premiers multiples),
(ii) pour tout diviseur premier p de n, p − 1 divise n − 1.
On est alors obligé d’affiner le test de Fermat.
5. Chercher le critère de Miller-Rabin.