Problèmes du chapitre 3

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Problèmes du chapitre 3
Problème 1 : le crible d’Eratosthène
Problème 2 : reconnaissance d’un nombre premier
Déterminer si un nombre est premier en utilisant un algorithme
Entrée
Entrer N.
Initialisations
D prend la valeur 2
R prend la valeur 1
Traitement
Tant que  ≠ 0 et  < √ faire
R prend la valeur du reste de la division euclidienne de N par D
D prend la valeur D+1
Fin Tant que
Sortie
Si  ≠ 0 afficher «  premier »
sinon afficher «  non premier »
Mettre en œuvre cet algorithme sur votre calculatrice.
Note : Sous Xcas, la fonction est_premier permet de savoir si un nombre est premier. Elle renvoie 1
si le nombre est premier, 0 sinon.
Problème 3 : triplets pythagoriciens et nombres de Gelée
On appelle équation de Pythagore l’équation diophantienne ² + ² = ². Le but est de trouver les
entiers naturels strictement positifs ,  et  tels que ² + ² = ².
Géométriquement, cela revient à trouver des triangles rectangles dont les côtés sont des nombres
entiers.
1. Citer deux triplets pythagoriciens.
Le but de ce problème est de trouver une méthode pour les déterminer.
2. Vérifier que pour tous nombres réels  et , on a : (2)2 + (2 −  2 )2 = (2 +  2 )2.
3. En déduire des triplets pythagoriciens.
4. Soit k un entier naturel. Les nombres (), (2 −  2 ), (2 +  2 ) sont-ils solutions ?
On démontre que tout triplet pythagoricien est de cette forme (voir exercice…)
Les nombres de Gelée
Antoine de Saint-Exupéry disparut le 31 juillet 1944. Quelques jours avant, le 15 juillet, il posa le
problème suivant à son ami le capitaine Max Gelée.
Un parallélipipède rectangle dont la hauteur est égale à la diagonale du rectangle de base est
exactement constitué par des dés cubiques de 1 cm de côté. La surface du rectangle de base est
égale au produit de 311 850 par un nombre premier inconnu.
Calculer la hauteur du parallélipipède.
Problème 4 : Les nombres de Fermat

On appelle nombre de Fermat tout nombre de la forme 22 + 1 avec  ∈ ℕ. On note un tel nombre
 .
1. Calculer 0 , 1 , 2 , 3 . Que constate-t-on ?
2. Les nombres de Fermat sont-ils tous premiers ?
On pourra se servir de Xcas et de la fonction est_premier.
Note : Fermat a cru que tous ces nombres étaient des premiers mais Euler a prouvé le contraire en
montrant que 5 ne l’était pas.
3. Propriétés de ces nombres
a. A l’aide de Xcas, quelle conjecture peut-on faire sur le dernier chiffre de  ?
b. Démontrer que pour tout , +1 = ( − 1)2 + 1 et démontrer la conjecture.
4. Deux nombres de Fermat
Soit  et + deux nombres de Fermat,  ≥ 1.
a. Conjecturer le PGCD de  et + .

−2
b. Déterminer +
.


c. En déduire que  divise + − 2.
d. Démontrer la conjecture.
5. L’ensemble des nombres premiers
a. Si  est un diviseur premier de  et + un diviseur premier de + , que peut-on
dire de  et + ?
b. Que peut-on dire de la suite des nombres de Fermat ?
c. Conclure.
Note : Vers 1920, Georges Polya a démontré de cette manière l’existence d’une infinité de nombres
premiers.
Problème 4 : tester si un nombre est premier
1. Enoncer le petit de théorème de Fermat.
On considère un entier naturel , dont on veut savoir s’il est premier ou non.
Le théorème précédent donne lieu au test de Fermat dont les étapes sont les
suivantes :
a. Choix arbitraire de  ∈ , 1 <  < .
b. Vérifier que (x, n) = 1 et calculer de  −1 []
2. Que peut-on dire si  −1 ≡ 1[] ? si  −1 ≢ 1[] ?
3. Tester, avec Xcas, le nombre 561.
4. 561 est-il premier ?
Note : 561 met en défaut le test de Fermat. Un tel nombre est appelé nombre de
Carmichaël et on démontre le résultat suivant :
Un nombre composé impair  ≥ 3 est un nombre de Carmichael si et seulement si :
(i) il est sans carrés (c’est-à-dire qu’il n’a pas de diviseurs premiers multiples),
(ii) pour tout diviseur premier p de n, p − 1 divise n − 1.
On est alors obligé d’affiner le test de Fermat.
5. Chercher le critère de Miller-Rabin.
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