nombres de mersenne et de fermat

TP NOMBRES DE MERSENNE ET DE FERMAT FICHE 13
La recherche des nombres parfaits amène à se poser la question : à quelle condition le nombre
12 
n
est-il premier ?
Définition
On appelle nombres de Mersenne les nombres de la forme
12  n
n
M
,
1n
.
Ex 13.1 Parmi les nombres
1
M
,
2
M
,
3
M
,
4
M
,
5
M
,
6
M
,
7
M
,
8
M
,
9
M
,
10
M
, quels sont
ceux qui sont premiers ?
Ex 13.2 Montrer que si
n
M
est premier, alors n est premier.
En considérant
11n
, montrer que la réciproque est fausse.
Le plus grand nombre premier connu en juin 1999 était un nombre de Mersenne, à savoir le
nombre
12 5939726 
.
Fermat s'est intéressé, lui, aux entiers premiers de la forme
12 
n
.
Si n n'est pas un nombre de la forme
k
2
,
12 
n
ne peut pas être premier.En effet, on a vu dans
l'exercice 2.13 que si m est un nombre impair
ba
divise
mm ba 
. En particulier, si n est écrit
sous la forme
k
m2
avec m impair, en utilisant la décomposition de n en produit de facteurs
premiers,
1212 2  m
nk
est divisible par
122
k
.
Si m est différent de 1,
12 
n
ne peut pas être premier.
Définition
On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme
122 k
k
F
,
0k
.
Fermat pensait que tous ces nombres étaient premiers. C'est bien le cas pour
3
0F
,
5
1F
,
17
2F
,
257
3F
,
53765
4F
. Mais
2979672944
5F
est divisible par 641 et les nombres
qui suivent sont tous composés.
Ex 13.3 Soit m et n deux entiers naturels tels que
mn 0
.
Démontrer que
2
m
F
est divisible par
n
F
.
En déduire que si m et n sont deux entiers naturels distincts,
n
F
et
m
F
sont premiers entre eux.
(C’est-à-dire qu’ils n’ont pas de diviseur commun autres que 1 ou –1 : cette notion sera étudiée
en détail dans la fiche 19. Pour cet exercice, on pourra utiliser les résultats de l'exercice 2.13).