TP NOMBRES DE MERSENNE ET DE FERMAT FICHE 13 La recherche des nombres parfaits amène à se poser la question : à quelle condition le nombre 2 n 1 est-il premier ? Définition On appelle nombres de Mersenne les nombres de la forme M n 2 n 1 , n 1. Ex 13.1 Parmi les nombres M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 , M 6 , M 7 , M 8 , M 9 , M10 , quels sont ceux qui sont premiers ? Ex 13.2 Montrer que si M n est premier, alors n est premier. En considérant n 11, montrer que la réciproque est fausse. Le plus grand nombre premier connu en juin 1999 était un nombre de Mersenne, à savoir le nombre 2 6 972 593 1 . Fermat s'est intéressé, lui, aux entiers premiers de la forme 2 n 1. Si n n'est pas un nombre de la forme 2 k , 2 n 1 ne peut pas être premier.En effet, on a vu dans l'exercice 2.13 que si m est un nombre impair a b divise a m b m . En particulier, si n est écrit sous la forme m2 k avec m impair, en utilisant la décomposition de n en produit de facteurs m k k premiers, 2 n 1 2 2 1 est divisible par 2 2 1 . Si m est différent de 1, 2 n 1 ne peut pas être premier. Définition k On appelle nombres de Fermat les nombres de la forme Fk 2 2 1 , k 0 . Fermat pensait que tous ces nombres étaient premiers. C'est bien le cas pour F0 3 , F1 5 , F2 17 , F3 257 , F4 65 537 . Mais F5 4 294 967 297 est divisible par 641 et les nombres qui suivent sont tous composés. Ex 13.3 Soit m et n deux entiers naturels tels que 0 n m . Démontrer que Fm 2 est divisible par Fn . En déduire que si m et n sont deux entiers naturels distincts, Fn et Fm sont premiers entre eux. (C’est-à-dire qu’ils n’ont pas de diviseur commun autres que 1 ou –1 : cette notion sera étudiée en détail dans la fiche 19. Pour cet exercice, on pourra utiliser les résultats de l'exercice 2.13).