Applications linéaires 1) Applications linéaires Def : Soient E et F

Applications linéaires
1) Applications linéaires
Def : Soient Eet Fdeux K-espaces vectoriels.
On dit que uest linéaire ssi 8(x; y)2E2,u(x +y) = u(x) + u(y):
Def équivalente :u(x) = u(x)et u(x+y) = u(x) + u(y):
Remarque : On a a fortiori u(0) = 0:
Important : Ainsi, u(Pn
i=1 ixi) = Pn i=1 iu(xi).
Autrement dit, l’image d’une combinaison linéaire par une application linéaire est la combinaison linéaire des images.
Exemples :
u:K[X]!K[X]P7! XP 0:
':C0([a; b];R)!Rf7! Rb
af(t)dt:
Remarque : L’ensemble L(E; F )des applications linéaires u:E!Fest un K-espace vectoriel.
2) Image et image réciproque d’un sev, noyau et image
a) Image et image réciproque d’un sev.
Prop : Si u2 L(E; F ),E0sev de Eet F0sev de F, alors u(E)sev de Fet u1(F0)sev de E.
b) Noyau et image.
Soit u2 L(E; F ). On considère Ker u=fx2Eju(x) = 0get Im u=u(E) = fy2Fj 9 x2E,y=u(x)g:
Alors Ker uest un sev de Eet Im uest un sev de F.
Remarque :Im u=fu(x),x2Eg, c’est-à-dire Im uest l’ensemble des u(x)lorsque xdécrit E.
c) Caractérisation des applications surjectives.
L’application uest surjective ssi Im u=F.
d) Caractérisation des applications linéaires injectives.
Propriété fondamentale : Soit u2 L(E; F ). Alors u(x) = u(y)ssi xy2Ker u :
Prop :uest injective ssi Ker u=f0g.
e) Equation linéaire
Soient u2 L(E; F )et b2F. Considérons Sl’ensemble des solutions de l’équation linéaire u(x) = b:
Sest non vide ssi b2Im u.
Dans ce cas, si x02Sest une solution particulière, alors S=x0+ Ker u=fx0+z,z2Ker ug:
Exemple : Les solutions de (E) : y00 +ay0+by =g(t)s’obteniennent en ajoutant à une solution particulière la solution
générale de (H) : y00 +ay0+by = 0:Ici, uest l’application linéaire y7! y00 +ay0+by.
3) Théorème fondamental de l’algèbre linéaire
a) Th : Soit u2 L(E; F ), et Sun supplémentaire de Ker udans E, c’est-à-dire SKer u=E.

Alors uinduit un isomorphisme de Ssur Im u:
Autrement dit, l’application v:S!Im u x 7! u(x)est un isomorphisme (= application linéaire bijective).
Preuve :vest bien dé…nie et linéaire (comme restriction de u).
vest injective : Si x2Ker v, alors x2Set u(x) = 0, donc x2S\Ker u=f0g, c’est-à-dire x= 0.
vest surjective : Soit y2Im u. Il existe x2Etel que u(x) = y:
Comme E=SKer u, alors il existe (x0; z)2SKer utel que x=x0+z:
Donc y=u(x) = u(x0) + u(z) = u(x0), donc y=u(x0), car x02S. Donc vest surjective.
b) Corollaire (théorème du rang) : Supposons Eet Fde dimension …nie. Alors rg u= dim Edim Ker u:
Preuve : On a rg u= dim(Im u), et par a), on a dim(Im u) = dim S= dim Edim Ker u.
4) Détermination d’une application linéaire par l’image d’une base (ici en dimension …nie)
a) Prop : Soit B= (e1; :::; en)une base de E.
Une application linéaire u:E!Fest entièrement déterminée par (u(e1); :::; u(en)), notée souvent u(B):
Autrement dit, pour toute famille (y1; :::; yn)2Fn, il existe une unique application linéaire u:E!Ftelle que
8j2 f1;2; :::; ng,u(ej) = yj
Remarque : Cette propriété fondamentale conduit au codage des applications linéaires par des matrices.
En e¤et, soient B= (e1; :::; en)une base de Eet C= (f1; :::; fp)une base de F.
Alors uest entièrement déterminée par les npcoordonnées des u(ej)dans la base C:
b) Caractérisation des isomorphismes.
Soient B= (e1; :::; en)une base de Eet u:E!Flinéaire. Alors :
-uest injective ssi (u(e1); :::; u(en)) est libre.
-Im u= Vect(u(e1); :::; u(en)):En particulier, uest surjective ssi (u(e1); :::; u(en)) est génératrice dans F.
-uest bijective ssi (u(e1); :::; u(en)) est une base de F.
c) Détermination d’une application linéaire par les restrictions à des sev supplémentaires.
Prop : On suppose E=E1E2:Soient u1:E1!Fet u2:E2!Fdeux applications linéaires.
Il existe une unique linéaire u:E!Ftelle que (la restriction de uàE1est u1
la restriction de uàE2est u2
Remarque : Cette application linéaire est dé…nie par u(x) = u1(x1) + u2(x2), où x=x1+x22E1E2=E.
Exemple : Supposons E=FG.
La projection psur Fparallèlement à Gest l’unique endomorphisme u:E!Etelle que
8x2F,u(x) = xet 8x2G,u(x) = 0
5) Anneau des endomorphismes L(E)et groupe linéaire GL(E)
a) Composée d’applications linéaires.

Une composée d’applications linéaires est linéaire : Si u2 L(E; F )et v2 L(F; g), alors uv:E!Gest linéaire.
b) Anneau des endomorphismes.
On note L(E)l’ensemble des endomorphismes de E, c’est-à-dire des applications linéaires de Edans E.
Alors L(E)muni des lois +et (et de la loi externe :), est un anneau.
On a en particulier la propriété de distributivité, c’est-à-dire (u(v+!) = uv+uw
(v+!)u=vu+wu
L’élément neutre pour est l’application identité Id : E!E x 7! x:
Notation : On note uk=uu::: u(kfois). En particulier, u0= Id.
Attention : L’anneau L(E)n’est pas commutatif (pour dim E2). Il existe uet vtels que uv6=vu:
Remarque : Si uet vcommutent, c’est-à-dire si uv=vu, alors la formule du binôme est véri…ée.
En particulier, on a (u+Id)n=Pn
k=0 n
knkuk:
c) Groupe linéaire GL(E).
On note GL(E)l’ensemble des endomorphismes bijectifs (= isomorphismes).
Remarque : Ce sont les éléments inversibles de l’anneau L(E):uest bijective ssi 9v2 L(E),uv=vu= Id :
Alors GL(E)muni de est un groupe (loi associative, élément neutre, et tout élément admet un inverse).
En particulier :
- La réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme : Si u2GL(E), alors u1est aussi linéaire bijective.
- La composée d’isomorphismes est un isomorphisme.
Si uet vsont des applications linéaires bijectives, alors uvest bijective, et (uv)1=v1u1:
Plus généralement, si u1; :::; ursont bijectives, alors (u1u2:::ur)1=u1
r:::u1
2u1 1:
6) Formes linéaires et hyperplans
a) Formes linéaires
Def : Une forme linéaire sur un espace vectoriel Eest une application linéaire 'de Edans K.
Remarque : L’image de 'est un sev de K, donc est f0gou K.
En particulier, si 'n’est pas identiquement nulle, alors '(E) = K.
Remarque : On note E=L(E; K)le K-espace vectoriel des formes linéaires, appelé dual de E.
Exemple : Si E=K[X], l’application ':E!K P 7! P(1) + P0(0) est une forme linéaire.
Exemple : Si E=C0([a; b];R)et !2E, l’application ':E!Rf7! Rb
af(t)!(t)dt est linéaire.
b) Formes linéaires dans un espace Emuni d’un produit scalaire
Soit Eun R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire h;i.
Alors, pour tout a2E, l’application ':E!Rx7! ha; xiest une forme linéaire.
Remarque : En dimension …nie (c’est-à-dire Eeuclidien), on obtient ainsi toutes les formes linéaires : Autrement
dit, toute forme linéaire 'sur un espace euclidien s’écrit (de façon unique) sous la forme x7! ha; xi, où a2E.

Exemple : Les hyperplans de E=R3sont les H:ax +by +cz = 0, avec (a; b; c)6= (0;0;0):
Plus généralement, les hyperplans de E=Rnsont les H:a1x1+a2x2+::: +anxn= 0, avec les ainon tous nuls.
c) Hyperplans
Prop : Soit Hun sev de E. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) Hest le noyau d’une forme linéaire non nulle : il existe '2 L(E; K)non nulle telle que H= Ker '
ii) Il existe une droite vectorielle Dsupplémentaire de H, c’est-à-dire telle que DH=E
iii) dim H=n1(en supposant ici Ede dimension …nie n).
Preuve :
i) implique ii) : Considérons '2 L(E; K)non nulle telle que H= Ker ':
Comme 'n’est pas (identiquement) nulle, il existe x02Etel que '(x0)6= 0:
Montrons que la droite D=Kx0est un supplémentaire de Hdans E.
Supposons x2D\H. Alors x=x0, donc '(x) = '(x0) = 0 (car x2H), donc = 0. Donc x= 0:
On en déduit que D\H=f0g, c’est-à-dire Det Hen somme directe.
Soit y2E. On cherche x=x02Det z2Htel que y=x0+z. On a nécessairement '(y) = '(x0):
Ainsi, en prenant ='(y)
'(x0)et en posant z=xx0, on a bien '(z) = 0, c’est-à-dire z2H. Donc D+H=E.
ii) implique i) Supposons DH=E, avec D=Kx0. On considère '(x) = , où x=x0+z2DH:
On véri…e aisément que ':E!Kest linéaire. D’autre part, x2Ker 'ssi = 0, donc ssi x2H.
iii) équivaut à i) et ii) : Résulte du théorème du rang appliqué à ':E!K, puisque rg '= 1 ('non nulle).
d) Equations d’un hyperplan.
Prop : Soient 'et deux formes linéaires sur E. Alors Ker '= Ker ssi il existe 2Ktel que =':
Preuve : Le sens réciproque est immédiat.
Supposons Ker '= Ker . On peut supposer 'et non identiquement nulles. Considérons x0tel que '(x0)6= 0:
Alors (x0)6= 0. Posons = (x0)
'(x0):Posons f(x) = (x)'(x). On a f(x0) = 0:
Or, on a aussi f(z) = 0 pour tout z2H, car '(z) = (z) = 0
Ainsi, fest nulle sur Het sur la droite D=Kx0, donc sur E=D+H. On en déduit que fest nulle. Donc =':
Corollaire : Tout hyperplan ademt une équation unique, à proportionnalité près.