Les nombres complexes

Les nombres complexes
Objectifs :
Savoir manipuler des nombres complexes
Savoir utiliser les formes algébrique et
trigonométrique et passer de l’une à l’autre
Calculer les racines nième d’un complexe
Résoudre des équations du second ordre à
coefficients complexes
Introduction
• XIVème siècle : invention des nombres
complexes représentant des racines
carrées de réels négatifs.
• Ces nombres ont permis de résoudre
toutes les équations du 2nd et 3ième degré
• Idée :i un nombre tel que i2=-1
Alors x2=-4 a pour solution 2i ou -2i
I-Définition et opérations dans C
a) Définition
• Définition: Un nombre complexe z peut se présenter comme une
somme
z=a+bi
où a et b sont deux nombres réels, a est appelé partie réelle
b partie imaginaire
et i un nombre particulier tel que i2=-1
L’ensemble des nombres complexes se note C
Notation:
z=a+bi est appelé la forme algébrique de z
si a est un réel, c’est aussi un complexe a=a+0i, noté a
si b est un réel, le complexe 0+bi, noté bi, est appelé imaginaire pur
b) Opérations dans C
Soient z=a+bi et z’=a’+b’i
• Addition
z+z’=a+a’+ (b+b’)i
• Multiplication
zz’= (a+bi)(a’+b’i)=aa’-bb’+ (ab’+a’b)i
Remarque:
i=0+1xi et i2=-1+0xi=-1
Conclusion:
les calculs sur les nombres complexes
sous forme algébrique s’effectuent en
utilisant les mêmes règles de calcul
que celles des réels et en remplaçant i2
par -1
c) Nombre complexe conjugué
• Définition:
On appelle nombre complexe conjugué de
z=a+ib, noté z, le nombre complexe
z=a-ib
• Propriétés: z=z z+z’=z+z’
zz’=z z’
z+z=2a
z-z=2bi
zz=a2+b2
II-Représentation des nombres
complexes
a) Géométrique
Soit le point M d’affixe z=a+ib
Partie
imaginaire
a
partie
réelle
b
M(z)
b) Forme trigonométrique d’un nombre
complexe non nul
Un nombre complexe z non nul est entièrement
y
déterminé par r et Θ
où r est le module
distance (positive) OM
a
O
Θ est l’argument
θ
r
c’est-à-dire
b
La mesure (à 2kπ près)
de l’angle (Ox,OM)
On dit qu’on met z sous forme trigonométrique
z=r(cosθ+isinθ)
x
M(z)
Rappel: théorème de Pythagore et
cosinus, sinus dans le triangle rectangle
– Théorème de Pythagore
a2+b2=r2
– cos(θ) = longueur de côté adjacent / longueur de
l'hypoténuse = a/r.
– sin(θ) = longueur du côté opposé / longueur de
l'hypoténuse = b/r.
a
O
θ
r
b
M(z)
Sinus et cosinus : valeurs
remarquables dans le cercle unité
0
π/6
π/4
π/3
π/2
sin
0
1/2
√2/2
√3/2
1
cos
1
√3/2
√2/2
1/2
0
tan
0
1/√3
1
√3
Non
defini
c)Relations entre forme algébrique et
forme trigonométrique
Soit le nombre complexe z=a+ib
on peut écrire z=r(cosθ+isinθ)
où r, noté aussi |z|, s’appelle le
O
module et θ l’argument.
b
r=√ (a2+b2)
cosθ=a/r
sinθ=b/r
a
θ
r
M(z)
d)Notation ou forme exponentielle
• Définition : On définit eiθ par
eiθ= cosθ+isinθ
un nombre complexe de module r et
d’argument θ s’écrit alors
z=r(cosθ+isinθ)=r eiθ
Propriétés :celles de la fonction
exponentielle
• Proprièté : Deux nombres sous forme
algébrique sont égaux si et seulement si
ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire
a+ib=a’+ib’ a=a’ et b=b’
Deux nombres complexes sous forme
trigonométrique (ou exponentielle) sont
égaux si et seulement si
r eiθ =r’ eiθ’ r=r’ et θ=θ’ (modulo 2π)
Formules importantes
Formule de Euler
cosθ=( eiθ +e-iθ )/2
sinθ=( eiθ-e-iθ)/(2i)
Formule de Moivre
z=r(cosθ+isinθ)=r eiθ
Alors zn=(r eiθ)n
D’où zn =rneinθ= rn(cos(nθ)+isin(nθ))
(cosθ+isinθ)n=cos(nθ)+isin(nθ)
III-Racines nièmes d’un complexe
Cas particulier: racines « carrées » d’un nombre
complexe non nul
Exemple:
On cherche z=a+bi tel que z2=7-24i
a2-b2=7
2ab=-24
a2+b2=25
On trouve a=4 et b=-3 ou a=-4 et b=3
Les racines carrées de7-24i sont donc 4-3i et -4+3i
III-Racines nièmes d’un complexe
• Cas général
zn=Z (avec Z non nul)
Posons z=r eiθ et Z=ρ eiφ
r= ρ 1/n
et
zn=Z
θ = φ /n
+2kπ/n
( k entier relatif)
IV-Résolution des équations du
second degré
• Théorème: Soit (E) l’équation du second degré
ax2+bx+c=0 (a, b et c complexes donnés avec a
non nul).
Soit ∆=b2-4ac le discriminant de l’équation
• Si ∆=0 alors (E) admet une racine double
z=-b/(2a)
• Si ∆≠0 alors (E) admet deux racines distinctes
z1=(-b+δ)/(2a) et z2=(-b-δ)/(2a)
où δ2= ∆