PROBABILITES DISCRETES

PROBABILITES DISCRETES
I PROBABILITE DISCRETES RAPPELS
b) Définition
Soit  = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. (on travaille ici les probabilités dites "discrètes")
 on définit une loi de probabilité sur  si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que,
pour tout i, 0  pi  1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai}
On note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai).
 pour tout événement A inclus dans , on définit p(E) comme la somme des probabilités des événements
élémentaires qui constituent A.
4° Propriétés des probabilités
Parties de E
A

E
AB=
A
A, B
Vocabulaire des événements
A quelconque
Evénement impossible
Evénement certain
A et B sont incompatibles
A est l’événement contraire de A
A et B quelconques
Propriété
0  p(A)  1
p() = 0
p(E) = 1
p( A  B) = p(A) + p(B)
p( A ) = 1 – p(A)
p(A  B) = p(A) + p(B) – p( A  B)
a) Equiprobabilité
Les expressions suivantes « dé équilibré ou parfait », « boule tirée de l’urne au hasard », « boules
indiscernables » … indiquent que, pour les expériences réalisées, le modèle associé est l’équiprobabilité .
Définition
On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Calculs dans le cas d’équiprobabilité
Dans une situation d’équiprobabilité, si  a n éléments et si E est un événement composé de m événements
élémentaires ( donc m  n) : p(E) = Error! = Error! où card E et card  désignent respectivement le nombre
d’éléments de E et de .
II DES TABLEAUX, DES ARBRES ET DES PATATES
1° Un tableau
On met dans un sac 100 jetons caractérisés par une couleur et une forme : ils sont ronds, carrés ou triangulaires
et de couleurs jaune, bleue et verte.
On sait que 40 sont ronds et 25 carrés ; 60 sont jaunes et il y a autant de bleus que de verts. De plus parmi les
jaunes on a un tiers de ronds, un tiers de carrés, et un tiers de triangulaires. Enfin aucun jeton n'est carré et vert
et 10 sont verts et triangulaires. Une manière de représenter cette situation est d'utiliser un tableau :
bleu jaune vert total
rond
carré
triangle
total
100
Dans ce tableau, chacune des 3 cases de la ligne « total » contient le nombre de jetons ayant la couleur
correspondante et chacune des 3 cases de la colonne « total » contient le nombre de jetons ayant la forme
correspondante.
Chaque autre case contient le nombre de jetons ayant la couleur et la forme correspondantes.
a) Remplir le tableau à l'aide des informations ci-dessus.
Traduction ensembliste : notons B, J, V les ensembles de jetons jaunes, bleus, verts respectivement et R, C, T
les ensembles de jetons carrés, ronds, triangulaires respectivement.
Les cases de la colonne « total » contiennent les effectifs des ensembles R, C, T et les cases de la ligne « total »
contiennent les effectifs des ensembles B, J, V.
Le nombre figurant dans une case de l'intérieur du tableau contient alors l'effectif de l'intersection
correspondante.
On suppose maintenant qu'on extrait un jeton au hasard du sac.
Déterminer les probabilités des événements suivants :
2. Le jeton tiré est vert
3. Le jeton tiré est carré
4. Le jeton tiré est rond ou triangulaire
5. Le jeton tiré est vert et triangulaire
6. Le jeton tiré est vert ou triangulaire
7. Le jeton tiré est rond sachant qu'il est bleu
8. Le jeton tiré est vert sachant qu'il est triangulaire.
Remarque : les effectifs peuvent dans certains cas être remplacés par les fréquences.
2° Un arbre
Considérons maintenant l'expérience suivante : une urne contient 3 boules noires et 5 boules blanches.
On effectue deux tirages successifs d'une boule sans remettre la première boule tirée.
Cette situation peut se schématiser par l'arbre suivant :
1ier tirage.
2ième tirage.
N
N
B
N
B
B
On « pondère » cet arbre, c'est-à-dire qu'on indique sur chaque branche la probabilité correspondante.
a) Lors du premier tirage, quelle est la probabilité d'obtenir une boule noire et quelle est la probabilité d'obtenir
une boule blanche ?
b) Supposons que le premier tirage ait donné une boule noire. Calculer alors la probabilité d'obtenir une boule
noire au deuxième tirage ? d'obtenir une boule blanche ?
c) Même question en supposant que le premier tirage ait donné une boule blanche.
d) Placer les valeurs trouvées sur l'arbre.
3° Des patates
Un centre de loisirs, accueillant 120 personnes, offre la possibilité à ses adhérents de pratiquer le tennis, le canoë et la
voile. Parmi ces 120 adhérents, on dénombre : 70 personnes pratiquant le tennis. 32 pratiquant le canoë. 60 pratiquant la
voile. 23 pratiquant le tennis et la voile. 13 pratiquant le tennis et le canoë. 17 pratiquant la voile et le canoë. 5 pratiquant
la voile, le tennis et le canoë. On suppose qu'on interroge une personne du centre au hasard.
a) Quel est la probabilité que cette personne pratique deux des trois sports ?.
b) Quel est la probabilité que cette personne pratique les trois sports ?.
V
c) Quel est la probabilité que cette personne ne pratique aucun sport ?.
o
Te

Ca
III PROBABILITÉ CONDITIONNELLE
1° Exemples
a) Exemple 1 Deux urnes U1, U2 et U3 indiscernables contiennent :
U1 : 3 boules rouges, 2 boules vertes, Urne U2 : 2 boules rouges, 1 boule verte, U3 contient 3 boules rouges
On choisit une urne au hasard et on tire une boule dans cette urne.
Quelle est la probabilité pour quelle soit rouge
Hommes B Femmes B
b) Exemple 2
Fumeur A
140
40
Le tableau ci contre établit le décompte des fumeurs et non
60
60
Non fumeur A
fumeurs dans une entreprise de 300 personnes.
On choisi une personne parmi les 300 personnes de l’entreprise On cherche la probabilité pour que la personne
choisie soit un fumeur sachant que c’est un homme. PB(A) = P(A/B)= Error! = Error!
2° Définition :
p désigne une probabilité sur un univers fini .
A et B étant deux événements de , B étant de probabilité non nulle.
On appelle probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que B est réalisé le réel noté
Error!
Le réel pA(B) et se lit aussi probabilité de B sachant A.
C'est une nouvelle probabilité, dite « conditionnelle », définie au moyen de la probabilité P définie sur  : elle a
toutes les propriétés d'une probabilité.
Remarque :Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et p(B/A) sont
toutes les deux définies et on a : p(A  B) = pB(A)  p(B) = pA(B)  p(A).
3° Formule des probabilités totales
Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers  constituée d’événements de probabilités non nulles et B un
événement quelconque contenu dans .
Si A1  A2 … An et si les Ai, Aj sont deux à deux incompatibles alors :
:Error!
Error!
Exemple : pour n = 3. B est la réunion de trois événements incompatibles deux à deux.
Donc : p(B) = p(A1  B) + p(A2  B) + p(A3  B)
Illustration par un arbre pondéré :
Univers 
A1
A2
pA1(B)
A3
B
A1
p(A1)
p(A1)
pA1(B)
B
B
A2
B
p(A3)
Evénement B
pA1(B)
B
A3
B
III INDÉPENDANCE
1° Evénements indépendants
a) Définition :
A et B sont 2 événements de probabilité non nulle.
A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.
A et B sont indépendants si et seulement si p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(A).
A et B sont indépendants si et seulement si p(A  B) = p(A)  p(B)
Remarque :
Ne pas confondre événements indépendants et événements incompatibles.
 2 événements A et B sont indépendants si p(A  B)= p(A)  p(B)
 2 événements A et B sont incompatibles si A  B= . et alors p(A  B) = 0.
La notion d’indépendance dépend de la probabilité sur l’univers, celle d’incompatibilité est purement
ensembliste.
2° Exemples
On extrait au hasard un jeton d’un sac contenant six jetons : trois rouges numérotés 1, 2 et 3, deux jaunes
numérotés 1 et 2 , et un bleu numéroté 1.
On désigne respectivement par R, U et D les événements :
« le jeton est rouge », « le numéro est 1 » et « le numéro est 2 ».
Les événements R et U sont-ils indépendants ? Et les événements R et D ?