Notes de cours

Les th´ eor` emes fondamentaux de l’analyse et rudiments d’alg` ebre
Tewfik Sari
L1 Math Info

Chapitre 1
Groupes, Anneaux et Corps
1.1 Groupes
D´ efinition 1 Un groupe (G, ∗)est un ensemble Gmuni d’une loi de composition interne ∗, (c’est ` a dire une
application (a, b)∈G×G7→ a∗b∈G) v´ erifiant les propri´ et´ es suivantes :
G1. Associativit´ e : pour tous ´ el´ ements a,b,cde Gona(a∗b)∗c=a∗(b∗c).
G2. Il existe un ´ el´ ement neutre etel que pour tout ade Gon ait a∗e=e∗a=a.
G3. Tout ´ el´ ement admet sym´ etrique, c’est ` a dire que pour tout ade G, il existe a0de Gtel que a∗a0=a0∗a=e.
Le groupe (G, ∗)est dit commutatif si de plus a∗b=b∗apour tous aet bde G.
Exercices
(N,+),(N,×)ne sont pas des groupes.
(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+) sont des groupes commutatifs.
(Z,×),(Q,×),(R,×),(C,×)ne sont pas des groupes.
(Q∗,×),(R∗,×),(C∗,×)sont des groupes commutatifs.
(Z∗,×)n’est pas un groupe.
L’ensemble gl(2,R) =  a b
c d :a, b, c, d ∈Rdes matrices 2×2`
a coefficients r´ eels, muni de l’addition
des matrices a b
c d +a0b0 c0d0=a+a0b+b0 c+c0d+d0
est un groupe commutatif. Muni de la multiplication des matrices,
a b
c d ×a0b0 c0d0=aa0+bc0ab0+bd0 ca0+dc0cb0+dd0
ce n’est pas un groupe.
L’ensemble Gl(2,R) =  a b
c d ∈gl(2,R) : ad −bc 6= 0des matrices 2×2de d´
eterminant non nul,
muni de la multiplication des matrices est un groupe non commutatif.
Proposition 1 Dans un groupe il y a un unique ´ el´ ement neutre. Chaque ´ el´ ement aadmet un unique sym´ etrique,
not´ ea−1. L’ ´ equation a∗x=badmet une unique solution x=a−1∗b. De mˆ eme l’ ´ equation x∗a=badmet
une unique solution x=b∗a−1.
Exercice D´ emontrer cette proposition.
1

CHAPITRE 1. GROUPES, ANNEAUX ET CORPS 2
1.2 Anneaux
D´ efinition 2 Un anneau (A, +,×)est un ensemble Amuni de deux lois de composition interne +et ×v´ erifiant
les propri´ et´ es suivantes :
A1. (A, +) est un groupe commutatrif.
A2. La loi ×est associative.
A3. La loi ×est distributive par rapport ` a la loi +, c’est ` a dire pour tous a,b,cde A,
a×(b+c) = a×b+a×cet (b+c)×a=b×a+c×a.
L’anneau (A, +,×)est dit commutatif si de plus la loi ×est commutative, unitaire si la loi ×poss` ede un
´
element neutre.
Exercices
(Z,+,×),(Q,+,×),(R,+,×),(C,+,×)sont des anneaux commutatifs unitaires.
(gl(2,R),+,×)est un anneau unitaire non commutatif.
Proposition 2 Dans un anneau il y a un unique ´ el´ ement neutre pour la loi +, on le note 0. Dans un anneau
unitaire il y a un unique ´ el´ ement neutre pour la loi ×, on le note 1. Chaque ´ el´ ement aadmet un unique
sym´ etrique pour la loi +, not´ e−a. L’ ´ equation a×b= 0 n’implique pas a= 0 ou b= 0.
Exercice D´ emontrer cette proposition.
1.3 Corps
D´ efinition 3 Un corps (K, +,×)est un ensemble Kmuni de deux lois de composition interne +et ×v´ erifiant
les propri´ et´ es suivantes :
K1. (K, +,×)est un anneau unitaire.
K2. Chaque ´ el´ ement non nul (c’est ` a dire distinct de l’´ el´ ement neutre de la loi +) admet un inverse pour la loi
×.
Si, de plus, la loi ×est commutative, le corps (K, +,×)est dit commutatif.
Exercices
(Z,+,×)n’est pas un corps.
(Q,+,×),(R,+,×),(C,+,×)sont des corps.
(gl(2,R),+,×)n’est pas un corps.
(Gl(2,R),+,×)est-il un corps ?
Proposition 3 Dans un corps chaque ´ el´ ement non nul aadmet un unique sym´ etrique pour la loi ×, not´ ea−1.
L’ ´ equation a×x=b, avec a6= 0 admet une unique solution x=a−1×b. Dans un corps a×b= 0 implique
a= 0 ou b= 0.
Exercice D´ emontrer cette proposition.

Chapitre 2
Rest un corps commutatif totalement
ordonn´ e
2.1 Ensembles ordonn´ es
Soit Eun ensemble. Une relation sur Eest une partie Rde E×E. On note
aRb⇔(a, b)∈ R.
Une relation Rsur Eest dite
1. R´ eflexive si et seulement si pour tout a∈E,aRa.
2. Sym´ etrique si et seulement si pour tout a, b ∈E,aRb⇒bRa.
3. Antisym´ etrique si et seulement si pour tout a, b ∈E,aRbet bRa⇒a=b.
4. Transitive si et seulement si pour tout a, b, c ∈E,aRbet bRc⇒aRc.
D´ efinition 4 Une relation d’´ equivalence sur Eest une relation r´ eflexive, sym´ etrique et transitive. La classe
d’´ equivalence d’un ´ el´ ement de a∈Eest l’ensemble
a={b∈E:aRb}
des ´ el´ ements en relation avec a.
Exercice Montrer que sur N, la relation aRb⇔aet bont le mˆ eme reste dans la division par 5, not´ ee a=
bmod5 est une relation d’´ equivalence sur N. Quelles sont les classes d’´ equivalence?.
Montrer que sur l’ensemble des droites du plan la relation “ˆ etre parall` ele ou confondue” est une relation
d’´ equivalence.
D´ efinition 5 Une relation d’ordre sur Eest une relation r´ eflexive, antisym´ etrique et transitive. L’ordre sur E
est dit total si pour tout a, b ∈Eon a ou bien aRb, ou bien aRb.
Exercice Montrer que la relation aRb⇔adivise b, not´ ee a|best une relation d’ordre sur N. L’ordre est-il
total?
Montrer que la relation aRb⇔a≤best une relation d’ordre sur N. L’ordre est-il total?
Soit Eun ensemble. Montrer que la relation ARB⇔A⊆Best une relation d’ordre sur l’ensemble des
parties de E. L’ordre est-il total?
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CHAPITRE 2. REST UN CORPS COMMUTATIF TOTALEMENT ORDONN ´ E4
2.2 Corps ordonn´ e
Un corps ordonn´ e est un corps (K, +,×)muni d’une relation d’ordre ≤compatible avec les lois +et ×,
c’est ` a dire
1. Pour tous x,yet z∈K,x≤yimplique x+z≤y+z.
2. Pour tous x,y∈K,0≤xet 0≤yimplique 0≤x×y.
Th´ eor` eme 1 Qet Rsont des corps commutatif commutatifs totalement ordonn´ es.
On peut r´ esumer ainsi les propri´ et´ es des nombres r´ eels (le produit x×yest not´ exy) :
1. pour tous x,y,z∈R,x+ (y+z) = (x+y) + z,
2. pour tous x,y∈R,x+y=y+x,
3. pour tout x∈R,0 + x= 0,
4. pour tout x∈R,x+ (−x) = 0,
5. pour tous x,y,z∈R,x(y+z) = xy +xz,
6. pour tous x,y,z∈R,x(yz) = (xy)z,
7. pour tous x,y∈R,xy =yx,
8. pour tous x∈R,1x=x,
9. pour tout x∈R,x6= 0,xx−1= 1.
10. pour tout x∈R,x≤x,
11. pour tous x,y∈R,x≤yet y≤x, implique x=y,
12. pour tous x,y,z∈R,x≤yet y≤zimplique x≤z,
13. pour tous x,y∈R, on a x≤you y≤x,
14. pour tous x,y∈R,x≤yimplique x+z≤y+z,
15. pour tous x,y∈R,0≤xet 0≤yimplique 0≤xy,
Th´ eor` eme 2 Ret aussi archim´ edien, ce qui signifie qu’il satisfait ` a l’ axiome d’Archim` ede :
pour tous x,y∈Rtels que 0< x et 0≤yil existe un entier ntel que y≤nx.