Exercices de probabilités élémentaires Exercice 1 Dans chacune de

Exercices de probabilités élémentaires
Exercice 1
Dans chacune de situations décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné.
1.
2.
3.
4.
Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard.
A : « Les deux élèves sont des filles ».
Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne.
B : « La personne est un homme belge ».
Au restaurant, Luc prend un plat et un dessert.
C : « Luc prend une viande et une glace ».
A une loterie, Elise achète 3 billets.
D : « L’un des billets au moins est gagnant » ,
E : « Deux billets au maximum sont gagnants.
Exercice 2
Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. On tire une boule de l’urne. On note :
A : « Tirer une boule blanche ».
B : « Tirer une boule ni blanche ni rouge ».
C : Tirer une boule noire ou une boule rouge ».
1.
2.
3.
A et B sont-ils incompatibles ?
B et C sont-ils incompatibles ?
തതet ത
ത‫ܣ‬
തത
ത
‫ܤ‬
Traduire par une phrase ne comportant pas de négation les événements Exercice 3
Lors d’un jet de deux dés cubiques, on s’intéresse aux événements suivants :
A : « La somme obtenue est au moins égale à 5 ».
B : « La somme obtenue est au plus égale à 5 ».
C : « La somme obtenue est strictement inférieure à 3 ».
1.
2.
3.
4.
A et B sont-ils contraires ?
ത
തതet C sont-ils incompatibles ?
ത
‫ܤ‬
തത .
Traduire par une phrase ത
‫ܥ‬
ത
ത
ത
A et ‫ܥ‬sont-ils incompatibles ?
Exercice 4
Un enfant joue avec des objets de différentes couleurs, répartis de la façon suivante :
Couleur
Nombre d’objets
Tout rouge
6
Tout vert
5
Tout bleu
7
Bleu et rouge
4
Vert et bleu
3
L’enfant prend un objet totalement au hasard.
Il dit que l’objet est rouge s’il est rouge ou s’il contient du rouge; de même pour les autres couleurs.
On se propose de déterminer les probabilités des évènements suivants :
A = " prendre un objet rouge ";
B =" prendre un objet bleu ";
C = " prendre un objet bleu et rouge ";
D = " prendre un objet bleu ou rouge ";
E = " prendre un objet ni rouge, ni bleu ";
F = " prendre un objet qui n’est pas rouge ".
Exercice 5
On dispose de cinq boules numérotées de 1 à 5.
On les place au hasard dans six boites nommées A, B, C, D, E et F. Chaque boite peut recevoir jusqu’à 5 boules.
e
e
e
e
On note ACCBE l’événement : « la 1ere boule est dans la boite A, le 2 et la 3 dans la boite C, la 4 dans la boite B et la 5
dans la boite E »
1.
Soit  l’univers associé à cette expérience aléatoire. Quel est son nombre d’issues ?
2.
Calculer la probabilité que toutes les boules soient dans des boites différentes.
3.
a. Calculer la probabilité qu’aucune boule ne soit dans la boite A
b. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une boule dans la boite A
4.
Calculer la probabilité que les boules numérotées 1 et 2 soient dans la même boite.
5.
Calculer la probabilité que la somme des numéros des boules placées dans la boite A soit égale à 6.
Exercice 6
On lance au hasard un dé équilibré quatre fois de suite et on considère le nombre formé par les quatre numéros pris dans
l'ordre de sortie.  désigne l'ensemble des issues possibles.
Calculer les probabilités des évènements suivants :
A : " Le nombre est 4211 "
B : " Le nombre est formé de quatre chiffres distincts "
C : " Le nombre est formé d'au moins deux chiffres identiques "
P : " Le nombre est pair "
E : " Le nombre est impair et est formé de quatre chiffres distincts "
Exercice 7
On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On définit les événements :
A : "La carte choisie est un pique".
B : "La carte choisie est rouge (cœur ou carreau)".
C : "La carte choisie est une figure (valet, dame, roi)".
1.
Présenter un modèle mathématique décrivant l’expérience aléatoire.
2.
Déterminer les probabilités des évènements‫ܣ‬, ‫ܤ‬, ‫ܥ‬, ‫ܤ ∩ ܣ‬, ‫ܥ ∩ ܤ‬, ‫ܤ ∪ ܣ‬, ‫ܥ ∪ ܣ‬.
3.
Déterminer la probabilité de l'événement D : "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure".
Le corrigé de l’exercice 5
5
1.
card  = 6
En effet, chaque boule peut être placée dans n’importe quelle boîte soit 6 possibilités par boule.
2.
On peut placer la 1ere boule dans n’importe quelle boîte soit 6 possibilités.
e
Pour chaque boule soit dans une boîte différente il ne reste plus que 5 possibilités pour la 2 boule puis 4 pour
e
la 3 boule, etc…
6x5x4x3x2 5
La probabilité cherchée est donc :
=
5
6
54
3.
a. On a 5 possibilités par boule. La probabilité cherchée est donc :
5
b.
5
5.
6
« il y a au moins une boule dans la boite A » est l’événement contraire de « in n’y a aucune boule dans la
5
5
boite A ». La probabilité cherchée est donc de : 1- 5
6
4.
Les boules 1 et 2 sont dans la même boite soit : 6 possibilités
3
Les 3 autres boules sont dispersés au hasard dans les 6 boites soit : 6 possibilités
3
6x6 1
La probabilité cherchée est donc : 5 =
6
6
5.
La somme des numéros des boules placées dans la boite A est égale à 6 si
- on a placé les boules numérotées 1,2 et 3.
Il reste alors 2 boules à placer dans 5 boites soit 25 possibiltés.
- on a placé les boules numérotées 1 et 5
3
Il reste 3 boules à placer dans 5 boites soit 5 possibilités.
- on a placé les boules numérotées 2 et 4.
3
Il reste 3 boules à placer dans 5 boites soit 5 possibilités
3
La probabilité cherchée est donc :
2x5 + 25 275
= 5
5
6
6
Le corrigé de l’exercice 6
On lance au hasard un dé équilibré quatre fois de suite et on considère le nombre formé par les quatre numéros pris dans
l'ordre de sortie.
 désigne l'ensemble des issues possibles.
4
card  = 6 = 1296
Les 1296 issues sont équiprobables.
Calculer les probabilités des évènements suivants :
A : " Le nombre est 4211 "
1
p (A ) =
1296
B : " Le nombre est formé de quatre chiffres distincts "
D'après le principe multiplicatif,
card B = 6  5  4  3 ( on peut utiliser un shéma à cases )
6543 5
p(B)=
=
1296
18
C : " Le nombre est formé d'au moins deux chiffres identiques "

C= B
13

p ( C ) = p (B ) = 1 – p ( B ) =
18
P : " Le nombre est pair "
D'après le principe multiplicatif,
1
card P = 6  6 6 3 et ... p ( P ) =
2
E : " Le nombre est impair et est formé de quatre chiffres distincts "
D'après le principe multiplicatif,
5
card E = 3  5  4  3 et P ( E ) =
36