RTF

Chapitre 4 : Circuits résonnants
Notions de filtrage
On a vu que des réseaux comportant bobines et/ou condensateurs ont des impédances
qui sont dépendante de la fréquence
Z=U/I
Donc à U fixé, I = f(w)
à I fixé, U = f(w)
On s'intéresse à présent à la réponse en fréquence de U ou de I
I - Réponse d'un circuit R,L
Ur = R U / R + iLw
-> Ar = Ur / U (coefficient d'atténuation ou gain aux bornes de la résistance)
Ar = R / R + iLw
Ar = R / ( R² + L²w² )
arc Ar = 0 - arctan Lw / R
arc Ar = déphasage entre Ur et U
= - arctan Lw / R
Ul = iLw U / R + iLw
Al = iLw / R + iLw
-> Al = Lw / sqr(R² + L²w²)
arg Al = + /2 - arctg Lw / R
Pour tout w
Ur + Ul = U
<=> Ar + Al = 1
II - Réponse en fréquence d'un circuit RLC série à U fixé
1) Comportement de l'impédance (Z)
Z = R + iLw -i / cw
Z = ( R² + (L w - 1/cw)² )
arg Z =  = I>, U>
= arctan ( (Lw - 1/cw ) / R)
Quand :
w -> 0,
Z-> 
et arg Z -> -  / 2
w -> ,
Z -> 
et arg Z -> +  / 2
Z est minimale pour Lw - 1/cw = 0
<=> w = w0 = 1/Lc
pulsation propre
I=U/Z
I = U / Z à U fixé, I passe par un maximum (U/R) pour w=w0
Il y a résonance d'intensité
Remarque : à I fixé, U passe par un minimum pour w=w0. C'est l'anti-résonance
2) Réponse aux bornes de R
Ur = RU / Z
-> Ur = RU / Z
= RU / (R² + (Lw-1/cw)²)
=RI
P = RI² = Ur² / R
P est maximale pour w=w0. Alors Pmax = U² / R
Inversemment, on a atténuation pour P < Pmax / 2
On définit 10 log P exprimé en décibels (dB).
On cherche le domaine de fréquence pour lequel la puissance aux bornes de la résistance
supérieur à Pmax / 2
10 log P >= 10 log Pmax - 10 log 2
= 0.3
On cherche donc l'atténuation à - 3 dB
10 log Ur² / R >= 10 log U²/R - 3
<=> 20 log Ur - 10 log R >= 20 log U - 10 log R - 3
<=> 20 log Ur >= 20 log U - 3
P >= Pmax / 2
<=>
Ur² / R >= U² / 2R
<=>
Ur >= U / 2
<=>
RU / sqr( R² + (Lw - 1/cw)²) >= U / 2
<=>
1 / sqr( 1 + (Lw / R - 1 / Rcw)² ) >= 1 / 2
<=>
1 + (Lw / R - 1 / Rcw)² <= 2
<=>
(Lw / R - 1 / Rcw ) <= 1
w
= w2 - w1
= bande passante
et w1 et w1 sont les pulsations de coupure à -3 dB
On pose x = w / w0 (on cherche donc x1 = w1 / w0 et x2 = w2 / w0 )
On définit Q
= Lw0 / R
= 1 / RCw0
= facteur de qualité (ou de surtension)
On calcule w1 et w2 par les valeurs positives tirées de
(Lw / R - 1 / Rcw)² = 1
( Qx - Q / x)² = 1
<=>
(x - 1/x)² = 1/Q²
=>
x - 1/x
= ± 1/ Q
=  / Q (avec
x² + x / Q - 1 = 0
= ² / Q² + 4
= 1 / Q² + 4

x1,2 = -
 / Q ± (/ 2 )
*
=+1
*
=-1
w
x1 = - 1 / 2Q + ( (1 / 4Q²) + 1) = w1 / w0
x2 = 1 / 2Q + ( (1/ 4 Q²) + 1) = w2 / w0
= w1 – w2 = w0 / Q
Plus Q est élevé, plus le circuit est sélectif
Aux bornes de R on a donc un filtre passe bande
3) Réponse aux bornes de C
Uc
= ( Zc U )/ Z
= U / ( icw [ R + i (Lw - 1/cw) ] )
= U / ( iRcw + 1 - Lcw² )
Uc = U / sqr( (1 - Lcw² )² + R²L²w² )
w->0
w = w0
w -> + 
Uc ->U
Uc -> Q U
Uc -> 0
On étudie Uc = f(w)
Uc
= U / sqr((1- w² / w0²)² + (w² / Q²w0²) )
 = ± 1)
= U / sqr ( (1 - x²)² + x²/Q² )
Calcul de d Uc / dx
= (- U / 2) ( [ 2(1 - x²)(-2x) + 2x / Q² ] / [ (1-x²)² + x² / Q² ]3/2
= - Ux ( 1/Q² - 2 + 2x²)
/
[......]3/2
D Uc / dx = 0 pour x = 0
pour x² = 1 - (1 / 2Q²)
si 1 - (1/ 2Q²) > 0
<=> 1 / 2Q² < 1
<=> Q > 1 / 2
Pour Q >> 1
Ucmax pour w  w0
Alors Ucmax = QU
| facteur de surtension
On retrouverait le même type de phénomène aux bornes de L
En particulier, à la résonance (w = w0 et quand Q>>0)
Ur = U = Ul + Uc = 0
On aura donc également surtension de QU aux bornes de L (déphasé de  par rapport à
Uc)
III - Conclusion
Les composants RLC sont utilisés pour filtrer des fréquences.
Il existe des filtres :
- Passe bas : aux bornes de R laisse passer les fréquences de 0 à f0 = 2/w0
- Passe haut : aux bornes de R laisse passer les fréquence de f0 = 2/w0 à 
* Retour sur RL : Ur/U = R / (R² + L²w²) Ul/U = Lw / ( r² + L²w²)
Les valeurs max Ur = Ul = U
La pulsation de coupure à - 3 dB s'obtient pas Ur = Umax / 2
Pour Ur = U / ( 1 + L²w² / R²)
pour 1 + L²w² / R²=2
Pour Ul = U / ( 1 + R² / L²w²)
=> w² = R² / L² = w0²
- Passe bande
- Coupe bande (ou réjecteur de fréquence)