Correction - LPO de Chirongui

Congruences : série 2
22 009 + 2 009 = 210×200+9 + 2 009
200 9
= 210×200 ×29 + 2 009 = 210
×2 + 2 009
Correction 1
1. On remarque les deux congruences suivantes :
61 ≡ 2 (mod. 4) ; 62 = 36 = 9×4 ≡ 0 (mod. 4)
On en déduit les congruences :
Le plus petit entier k recherché a pour valeur k=2.
2. On note Pn la propriété définie par :
(a + 6)n ≡ an + 6·n·an−1 (mod. 4)
50+2 + 3 = 52 + 3 = 28 + 3 = 28
On vient de montrer que la propriété P0 est vraie.
Hérédité :
Supposons que la propriété Pn est vraie pour un entier
naturel n quelconque. C’est à dire qu’on a la relation :
2·un = 5n+2 + 3
La définition des termes de la suite un permet
d’écrire :
2·un+1 = 2· 5·un − 6 = 10·un − 12 = 5· 2·un − 12
D’après la relation de récurrence, on a :
≡a
n
(mod. 4)
2
+ 6·a + 6·n·a + 6
≡ an+1 + 6·an ·(n + 1) + 0
(mod. 11)
Montrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que
la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n.
Initialisation :
Pour n = 0, on a :
2·u0 = 2×14 = 28
Hérédité :
On suppose que la propriété Pn est vraie pour un entier naturel n non-nul quelconque. C’est à dire qu’on
a la congruence suivante :
(a + 6)n ≡ an + 6·n·an−1 (mod. 4)
On a les égalités et congruences suivantes :
(a + 6)n+1 = (a + 6)n ·(a + 6)
n
≡ 13 ≡ 2
1. Considérons la propriété Pn définie pour tout entier naturel n par :
Pn : “2·un = 5n+2 + 3”
a1 + 6×1×a0 = a + 6 ≡ a + 6 (mod. 4)
On vient d’établir l’égalité recherchée au rang 1.
n+1
(mod. 11)
Correction 3
Montrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que
la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel n nonnul :
Initialisation :
Pour n = 1, on a :
(a + 6)1 = a + 6 ≡ a + 6 (mod. 4)
≡ (an + 6·n·an−1 )(a + 6)
≡ 1200 ×6 + 7 ≡ 1200 ×6 + 7
(mod. 4)
En utilisant l’hypothèse par récurrence :
= 5· 5n+2 + 3 − 12 = 5n+2+1 + 15 − 12
= 5 n+1 +2 + 3
On vient de montrer que la propriété Pn+1 .
(mod. 4)
≡ an+1 + 6·an ·(n + 1)
(mod. 4)
On vient d’établir que la propriété Pn+1 est vraie.
Conclusion :
La propriété Pn est initialisée au rang 1 et elle vérifie la
propriété d’hérédité. Le raisonnement par récurrence
permet d’affirmer que la propriété Pn est vraie pour
tout entier naturel n non-nul.
Correction 2
1. A l’aide de la calculatrice, on a la division euclidienne de
2 009 par 11 :
2 009 = 182×11 + 7
On en déduit que :
2 009 ≡ 7 (mod. 11)
2. On a la valeur suivante : 210 = 1 024. La division euclidienne de 210 par 11 donne :
210 = 93×11 + 1
On en déduit que :
210 ≡ 1 (mod. 11)
3. On a les équivalences suivantes :
22 009 + 2 009 = 2200×10+9 + 2 009
200 9
= 2200×10 ×29 + 2 009 = 210
×2 + 2 009
La division euclidienne de 29 par 11 donne la relation :
29 = 46×11 + 6
Ainsi, on a les équivalences suivantes :
Conclusion :
La propriété Pn est initialisée au rang 0 et elle vérifie la propriété d’hérédité. A l’aide d’un raisonnement
par récurrence, on a établi que la propriété Pn est vraie
pour tout entier naturel n.
2.
a. Pour tout entier naturel n, on a la relation :
2·un = 5n+2 + 3
En passant à la congruence modulo 4, cette relation
devient :
≡ 1n+2 + 3 ≡ 1 + 3 (mod. 4)
≡4≡0
(mod. 4)
On en déduit que le nombre 2·un est un multiple de 4.
b. Considérons la propriété Pn définie pour tout entier
naturel n par :
Pn : “2·un ≡ 28 (mod. 100)"
Montrons, à l’aide d’un raisonnement par récurrence,
que la propriété Pn est vraie pour tout entier naturel
n.
Intialisation :
Pour n = 0, on a :
2·u0 = 2×14 = 28 ≡ 28 (mod. 100)
La propriété P0 est vraie.
Hérédité :
Supposons que la propriété Pn est vérifiée pour un
entier naturel n quelconque. C’est à dire qu’on a la
congruence :
2·un ≡ 28 (mod. 100)
La définition des termes de la suite un
d’écrire :
2·un+1 = 2· 5·un − 6 = 10·un − 12
= 5· 2·un − 12
40a = 126c − 3b
40×3 = 126c − 3×4
120 = 126c − 12
132 = 126c
132
c=
126
c n’est pas alors un entier. b=4 n’est pas une solution
à retenir.
On obtient les valeurs : b = 2 ; c = 1
permet
En utilisant l’hypothèse de récurrence :
≡ 5×28 − 12 ≡ 140 − 12 (mod. 100)
≡ 128 ≡ 28
(mod. 100)
On vient de montrer que la propriété Pn+1 est vraie.
Conclusion :
La propriété Pn est initialisée au rang 0 et elle vérifie
la propriété d’hérédité. A l’aide d’un raisonnement
par récurrence, on vient de montrer que cette propriété est vraie pour tout entier naturel n.
1. Un nombre sécrivant aba dans le système de numération
à base huit a une valeur décimale de :
aba = a×82 + b×81 + b×80 = 64a + 8b + a = 65a + 8b
Son écriture dans le système de numération en base 5 est
cabc. Autrement dit :
cabc = c×53 + a×52 + b×51 + c×50
= c×125c + 25a + 5b + c = 126c + 25a + 5b
De l’égalité de ces deux représentation, on en déduit
l’équation suivante :
65a + 8b = 126c + 25a + 5b
65a − 25a = 126c + 5b − 8b
40a = 126c − 3b
a. On a :
126 = 42×3
≡ 42×0 ≡ 0 (mod. 3)
On en déduit que :
40a ≡ 126·c − 3·b ≡ 0×c − 0×b ≡ 0 (mod. 3)
On sait que a est non-nul et est un chiffre dans le système de numérotation en base 5 : il peut prendre les
valeurs de 1 à 4 compris.
Or :
40a ≡ (3×13 + 1)×a ≡ 1×a ≡ a ≡ 0 (mod. 3)
La seule valeur possible est 3 : a = 3.
b. De l’équation :
40a = 126c − 3b
On déduit :
3b = 126c − 40a
Par passage à la congruence modulo 2 :
3b ≡ 126c − 40a
(mod. 2)
≡ 0×c − 0×a ≡ 0 (mod. 2)
b est un nombre non-nul, compris entre 0 et 4 inclus
et divible par 2 : b = 2 ou b = 4. Etudions ces deux
possibilités. L’équation :
40a = 126c − 3b
devient pour b = 2 :
40a = 126·c − 3·b
40×3 = 126·c − 3×2
120 = 126·c − 6
126 = 126·c
c=1
b peut valoir 2 et alors c sera égal à 1.
devient pour b = 4 :
En base cinq :
En base huit :
N = 1321
N = 323
En base dix : N = 65·a + 8·b = 65×3 + 8×2 = 211
Correction 5
1. Considérons un nombre x tel que :
g(x) = x
Correction 4
2.
c.
Ainsi, un tel nombre x doit vérifier :
g(x) = x
4·x + 3 ≡ x
(mod. 27)
4·x − x ≡ −3 (mod. 27)
3·x ≡ 24
(mod. 27)
Puisque x vérifie l’encadrement :
0 6 x 6 26 =⇒ 0 6 3·x 6 78
Ainsi, le nombre x peut vérifier l’une des équations cidessous :
3·x = 24
3x = 51
3x = 78
x=8
x = 17
x = 26
On en déduit que les lettres suivantes sont invariantes
par ce codage :
i ; r ; ?
2. Supposons que x et y sont deux entier naturel de E vérifiant la congruence :
y ≡ 4x + 3
(mod. 27)
7·y ≡ 7· 4x + 3
(mod. 27)
7·y ≡ 28·x + 21
7·y − 21 ≡ x
(mod. 27)
(mod. 27)
x ≡ 7·y − 21 + 27 (mod. 27)
x ≡ 7·y + 6
(mod. 27)
Effectuons un raisonnement par l’absurde : supposons
deux caractès, associée dans le tableau par les nombres x
et x0 , codés par le même caractère associé dans le tableau
par le nombre y Ainsi, on a :
y ≡ 4·x + 3 (mod. 27) ; y ≡ 4·x0 + 3 (mod. 27)
On en déduit l’égalité :
4·x + 3 ≡ 4·x0 + 3 (mod. 27)
4·x + 3 − 4·x0 + 3 ≡ 0
(mod. 27)
4·x − 4·x0 ≡ 0
4· x − x0 ≡ 0
(mod. 27)
(mod. 27)
On vient d’établir que 4· x−x0 est un multiple de 27.
Ainsi :
27 divise 4· x−x0 ;
les entiers 27 et 4 sont premiers entre eux.
D’après le théorème de Gauss, on en déuit que 27 divise
x−x0 . Or, les deux nombres appartenant à E, on en déduit :
0 6 x 6 26
0 6 x0 6 26
−26 6 x0 6 0
On en déduit l’encadrement :
−26 6 x − x0 6 26
Or, 27 divisant x−x0 , on en déduit :
x − x0 = 0 .
x = x0
Ce qui est absurde.
On vient de montrer que si deux lettres acceptent le
même codage alors elles sont égales.
3. Voici la “m’éthode” de décodage :
Premièrement : à chacune des lettres, on associe un
nombre à l’aide du tableau de l’exercice ;
Deuxièmement : à chaque nombre y de E, on associe
le reste de la division euclidienne de 7·y+6 par 27
Troisièmement : le nombre obtenu est remplacé par
une lettre à l’aide du tableau.
4. Appliquons la méthode précédente aux deux lettres du
mot à décoder :
Pour la lettre “v” :
La lettre v est associée au nombre 21.
On a :
7×21 + 6 = 147 + 6 = 153 = 5×27 + 18
≡ 18 (mod. 27)
La lettre associée au nombre 18 est S.
Pour la lettre “f ” :
La lettre f est associée au nombre 5.
On a :
7×5 + 6 = 35 + 6 = 41 = 1×27 + 14
≡ 14 (mod. 27)
La lettre associée au nombre 14 est o.
Ainsi, le mot “vfv” est sos.