1 (sous-)espaces vectoriels et combinaisons linéaires 2 familles

STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
1
(SOUS-)ESPACES
VECTORIELS
————————————–
ET COMBINAISONS LINÉAIRES
6
1
1) Dans R3 , (5, 5, 1) est-il combinaison linéaire de
(2, 3, 0) et (3, 2, 0) ?
2) Dans R[X ], 16X 3 − 7X 2 + 21X − 4 est-il combinaison linéaire de 8X 3 − 5X 2 + 1 et X 2 + 7X − 2 ?
3) Dans RR , x 7−→ cos2 x est-il combinaison linéaire
de x 7−→ 1 et x 7−→ cos(2x) ?
4) Dans RR , x 7−→ sin(2x) est-elle combinaison linéaire de sinus et cosinus ?
Montrer que les ensembles
suivants sont des sous¦
espaces affines : 1)
(x, y, z) ∈ R3 / x − y + z = 2
©
et 2x + y + 2z = 1 .
¦
©
2)
M ∈ Mn (K)/ tr(M ) = 1 .
¦
©
3)
P ∈ R[X ]/ X 2 P ′′ − 3X P ′ + 4P = 4 − X .
¦
©
4)
f ∈ C (R, R)/ f (0) = 2 et f (1) = −3 .
¦
©
2
5)
y ∈ C 1 (R, R)/ ∀x ∈ R, e x y ′ (x)+ y(x) = 1 .
————————————–
————————————–
Montrer par des opérations sur les Vect l’égalité :
€
Š
R2 [X ] = Vect (X − 1)2 , (X − 1)(X + 1), (X + 1)2 .
7
2
2
Montrer que pour tout A ∈ M2 (K), A est combinaison linéaire de I2 et A.
————————————–
————————————–
3
Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces
vectoriels¦?
©
1)
(x, y) ∈ R2+ / x = y .
¦
©
2)
(x, y) ∈ R2 / 2x − 5 y − 1 = 0 .
¦
©
3)
(x, 2x, 3x)
.
x∈R
¦
©
4)
(x, y, z) ∈ R3 / y = 0 .
¦
©
5)
(x, y) ∈ R2 / x 3 + x + y 2 = 0 .
¦
©
6)
(x, y, z) ∈ R3 / x = y et 3 y − 2z = 0 .
¦
©
7)
P ∈ R[X ]/ ∂ ◦ P ¾ 2 .
¦
©
8)
P ∈ R[X ]/ P X 2 = P ′ + X 4 P .
¦
©
9)
f ∈ C 1 (R, R)/ f (0) + f (1) = f ′ (0) .
8
————————————–
9
0¶k¶n
.
————————————–
2
10
FAMILLES
LIBRES ET BASES
Montrer que les fonctions x 7−→ sin x, x 7−→ cos x,
x 7−→ x sin x et x 7−→ x cos x sont linéairement indépendantes dans RR .
————————————–
1) Montrer que l’ensemble des fonctions 1-périodiques
de R dans R est un sous-espace vectoriel de RR .
2) L’ensemble des fonctions croissantes de R dans
R est-il un sous-espace vectoriel de RR ? Et l’ensemble des fonctions monotones de R dans R ?
Et l’ensemble des fonctions de R dans R qui sont
la somme d’une fonction croissante et d’une fonction décroissante ?
3) L’ensemble des fonctions majorées de R dans R
est-il un sous-espace vectoriel de RR ? Et l’ensemble des fonctions bornées de R dans R ?
11
On note f la fonction x 7−→ e x , g la fonction
2
x 7−→ e2x et h la fonction x 7−→ e x sur R. Montrer
de deux manières différentes que la famille ( f , g, h) est
libre :
1) par une technique d’évaluation.
2) par une étude asymptotique en +∞.
————————————–
12
————————————–
5
Montrer que pour tout n ∈ N :
€
Š
€
Š
Vect x 7−→ cos(k x)
= Vect x 7−→ cosk x
0¶k¶n
————————————–
4
Soit a ∈ R. On pose : u = (1, −1, 1) et v = (0, 1, a).
À quelle condition nécessaire et suffisante sur a le vecteur (1, 1, 2) appartient-il à Vect(u, v) ?
Montrer de
deux manières différentes que les
suites (1)n∈N , n2 n∈N et (2n )n∈N forment une famille
libre de RN .
————————————–
Montrer que les suites nk n∈N , k décrivant N,
13
sont linéairement indépendantes dans RN .
Soit E un K-espace vectoriel.
1) Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel
de E si et seulement si : F ⊂ G ou G ⊂ F .
2) Soit (Fi )i∈I une suite filtrante de sous-espaces
vectoriels de E, i.e. telle que :
————————————–
14
∀i, j ∈ I , ∃ k ∈ I / Fi ∪ F j ⊂ Fk .
[
Fi est un sous-espace vectoriel
Montrer que
On pose :
P0 = 1
et pour tout k ∈ N∗ :
Pk = X (X − 1)(X − 2) . . . (X − k + 1).
Montrer de deux manières différentes que la famille
(Pk )k∈N est libre dans R[X ].
i∈I
de E.
1
STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
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3
————————————–
15
Soient E un K-espace vectoriel et u1 , . . . , un ∈ E.
Pour tout k ∈ ¹1, nº, on pose : vk = u1 + . . . + uk .
1) Montrer que la famille (u1 , . . . , un ) est libre si et
seulement si la famille (v1 , . . . , vn ) l’est.
2) Montrer que (u1 , . . . , un ) engendre E si et seulement si (v1 , . . . , vn ) engendre E.
22
X 3 − X 2 + X , X 3 + 2X + 1
Soit A ∈ Mn (C) une matrice à diagonale
X domi17
|ai j | < |aii |.
nante, i.e. telle que pour tout i ∈ ¹1, nº :
est une base de R3 [X ] et déterminer les coordonnées de X 2 dans cette base.
1¶ j¶n
j6=i
On note C1 , . . . , Cn les colonnes de A. Soient x 1 , . . . , x n ∈ C.
On suppose que
¦ : x 1 C1 +.©. .+ x n Cn = 0. Montrer, en
utilisant max |x 1 |, . . . , |x n | , que : x 1 = . . . = x n = 0.
Qu’en déduit-on sur A ?
————————————–
23
————————————–
24
k=0
Montrer pour tout n ∈ N que la famille :
€
Š
1 + X , X + X 2 , . . . X n−1 + X n , X n
est une base de Rn [X ].
————————————–
λk k p = 0.
k=0
25
2) Conclure en convoquant certains polynômes de
Lagrange.
Soient n ∈ N et A, B ∈ K[X ] non€ constants
Š et
premiers entre eux. Montrer que la famille Ak B n−k
est une base de Kn [X ].
————————————–
Š
€
Montrer que la famille x 7−→ eλx
de C (R, R) est
19
λ∈R
libre :
en s’intéressant au comportement asymp1)
totique des exponentielles.
en convoquant certains polynômes de
2)
Lagrange.
0¶k¶n
————————————–
26
λ∈R∗+
de C (R, R) est libre en convoquant certains polynômes
de Lagrange.
Déterminer une base de chacun des sous-espaces
vectoriels¦suivants :
©
1)
(x, y, z) ∈ R3 / x + 2 y + z = 0 .

‹
¦
©
1 2
2)
M ∈ M2 (R)/ AM = 0 avec : A =
.
2 4
¦
©
3)
P ∈ R3 [X ]/ P X 2 = X 3 + 1 P .
¦
4)
(x, y, z, t) ∈ R4 / x + y = 0
©
et 2x − z + t = 0 .
¦
©
5)
P ∈ R4 [X ]/ P(0) = P(1) = P(2) .
————————————–

‹
3 −1
On note A la matrice
et C l’ensemble
7 1
27
des matrices de M2 (R) qui commutent à A. Montrer que
C est un sous-espace vectoriel de M2 (R) et en déterminer une base.
————————————–
21
uk = k, k − 1, . . . , 2, 1, 0, . . . , 0 ∈ Rn .
————————————–
1) Montrer que pour tout p ∈ ¹0, nº :
n
X
a)
λk (X + k) p = 0.
20
Pour tout k ∈ ¹1, nº, on pose :
Montrer que la famille (u1 , . . . , un ) est une base de Rn .
Š Soit n ∈ N. On veut montrer que la famille
18 €
(X +k)n
de R[X ] est libre. Soit (λk )0¶k¶n ∈ Rn+1 .
0¶k¶n
n
X
On suppose que :
λk (X + k)n = 0.
————————————–
€
Š
Montrer que la famille x 7−→ sin(λx)
€
Š
1) Montrer que (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1) est
X3 + X2 − X − 1 , X3 − X2 + 1 ,
————————————–
b)
ET DIMENSION
une base de R3 et déterminer les coordonnées du
vecteur (8, 4,€2) dans cette base. Š
2) Montrer que (X −1)2 , X 2 , (X +1)2 est une base
de R2 [X ] et déterminer les coordonnées du polynôme X 2 + X + 1 dans cette base.
3) Montrer que la famille :
————————————–
€
Š
Montrer que la famille x 7−→ |x − λ|
de
λ∈R
16
C (R, R) est libre.
k=0
n
X
BASES
On rappelle que Q est un corps et que R, en
tant que R-espace vectoriel, peut être vu aussi comme
un Q-espace vectoriel.
1) Montrer que la famille (ln p) p∈P est une famille
libre du Q-espace vectoriel R.
2) En déduire que ln p est rationnel pour au plus
un nombre premier p. On peut montrer
que ln r
est irrationnel pour tout r ∈ Q∗+ \ 1 , mais c’est
autrement plus compliqué.
————————————–
28
————————————–
2
On note E l’ensemble des matrices de trace nulle
de Mn (K). Montrer que E est un sous-espace vectoriel
de Mn (K) et déterminer sa dimension.
STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
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————————————–
36
On note E l’ensemble des fonctions :
29
x 7−→ Asin(x + ϕ),
A et ϕ décrivant R.
————————————–
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de C (R, R)
et déterminer sa dimension.
37
————————————–
Soit M ∈ Mn (K).
1) Déterminer un entier d ∈ N pour lequel la famille I n , M , M 2 , . . . , M d est liée.
2) En déduire que M possède un polynôme annulateur non nul à coefficients dans K.
30
————————————–
5
38
Soient E un K-espace vectoriel, x 1 , . . . , x n ∈ E et
y1 , . . . , yn ∈ E. On suppose que les vecteurs x 1 + y1 , . . .,
x n + yn sont linéairement indépendants. Montrer l’inégalité : rg(x 1 , . . . , x n , y1 , . . . , yn ) ¾ n.
39
40
est libre et la compléter
€ en une base de R4 [XŠ ].
2) Montrer que la famille (8, 4, 1, 2), (1, 3, 0, 5) est
libre et la compléter en une base de R4 .
3) Soient E un R-espace vectoriel de dimension 3
et (e1 , e2 , e3 ) une base de E. On pose :
et
41
ǫ2 = e2 − e3 .
x+ y+z = 0 et
©
y−z+t = 0
————————————–
Déterminer la dimension de :
€
Š
Vect (1, 2, 1, 0), (4, −2, 1, 1), (7, 2, 4, 2), (11, 4, 1, 3) .
42
————————————–
MATRICE D’UNE
On pose :
¦
F = (x, y, z, t) ∈ R4 /
€
Š
et G = Vect (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0) . Montrer que F
et G sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
de R4 .
————————————–
4
On pose : a = (0, 0, 1, 0), b = (1, 1, 0, −1),
u = (1, 0, 1, 0), v = (0, 1, −1, 0) et w = (1, 1, 1, 1),
ainsi que : F = Vect(a, b) et G = Vect(u, v, w).
Déterminer les dimensions de F , G, F + G et F ∩ G.
————————————–
Montrer que (ǫ1 , ǫ2 ) est libre et la compléter en
une base de E.
Soit λ ∈ R. À quelle condition nécessaire
€ et sufŠ
fisante sur λ les sous-espaces vectoriels Vect (λ, λ, 1)
€
Š
et Vect (1, λ, 1), (2, 1, 1) sont-ils supplémentaires dans
R3 ?
FAMILLE
————————————–
DE VECTEURS DANS UNE BASE
43
35
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie
et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On suppose
que : dim F + dim G > dim E. Montrer que F et G
ont au moins un vecteur non nul en commun.
————————————–
X 3 + X + 1, X 3 − 2X + 2, X 2 + 3X
34
Soient E un K-espace vectoriel et F et G deux
sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que : F ∪ G = F + G si et seulement si :
F ⊂ G ou G ⊂ F .
1) Montrer que la famille :
ǫ1 = e1 + 2e2 + e3
DE DEUX SOUS -ESPACES
————————————–
————————————–
33
SOMME
VECTORIELS
Soient a, b, c ∈ R. Montrer que les fonctions
x 7−→ sin(x + a), x 7−→ sin(x + b) et x 7−→ sin(x + c)
sont linéairement dépendantes dans RR .
————————————–
32
Soient E un K-espace vectoriel et (u1 , . . . , u2n+1 )
une famille libre de E. Montrer par une technique matricielle que la famille :
u1 + u2 , u2 + u3 , . . . , u2n + u2n+1 , u2n+1 + u1
est également libre.
————————————–
31
Soient P0 , . . . , Pn ∈ K[X ]. On suppose que pour
tout i ∈ ¹0, nº : ∂ ◦ Pi = i. Montrer par une technique matricielle que la famille (Pi )0¶i¶n est une base
de Kn [X ]. Comment montrer ce résultat sans matrices ?
Les €familles suivantes sont-elles
Š des bases ?
1)
(2, 0, α), (2, α, 2), (α, 0, 2)
(α ∈ R).
€
Š
2)
(1, 0, 2, 1), (0, 1, 1, 2), (2, 0, 1, 1), (2, 1, 0, 1) .
On note F l’ensemble des fonctions constantes
sur [0, 1] et on pose :
«
¨
Z1
f (t) dt = 0 .
G = f ∈ C [0, 1], R /
0
Montrer que F et G sont deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires de C [0, 1], R .
————————————–
3
STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI
————————————–
¦
©
Montrer que P ∈ R3 [X ]/ P X 2 = X 2 P(X )
44
¦
©
et P ∈ R3 [X ]/ P(1) = P(2) sont supplémentaires
dans R3 [X ].
————————————–
45
On note P l’ensemble des fonctions paires de
R dans R et I l’ensemble des fonctions impaires de R
dans R. Montrer que P et I sont deux sous-espaces
vectoriels supplémentaires de RR .
————————————–
46
Soient E un K-espace vectoriel et F1 , F2 et G trois
sous-espaces vectoriels de E.
1) Si F1 et F2 sont en somme directe, montrer que
F1 ∩ G et F2 ∩ G le sont aussi.
2) Si F1 et F2 sont supplémentaires dans E, F1 ∩ G
et F2 ∩ G le sont-ils dans G ?
————————————–
47
Déterminer un supplémentaire des sous-espaces
vectoriels suivants — on admet que ce sont bien des
sous-espaces
€ vectoriels :
Š
1) Vect (1, 2, 1, 1), (2, 2, 1, 1), (0, 2, 1, 1) dans R4 .
¦
2) (x, y, z, t) ∈ R4 / x + y + 2z − t = 0
©
et y − z + t = 0 dans R4 .
¦
©
3) P ∈ R4 [X ]/ P(−X ) = P(X ) dans R4 [X ].
¦
©
4) a) P ∈ R3 [X ]/ P(0) = P ′ (0) = 0 dans R3 [X ].
¦
©
f ∈ D(R, R)/ f (0) = f ′ (0) = 0
b)
dans D(R, R).
5) dans R3 [X ] :
¦
©
P ∈ R3 [X ]/ P ′ +3P = P(0)X 3 +P(1)X +P(1) .
————————————–
48
Soient x 1 , . . . , x n ∈ R distincts. On pose :
¦
©
F = f ∈ C (R, R)/ ∀k ∈ ¹1, nº, f (x k ) = 0 .
Montrer que F est un sous-espace vectoriel
de C (R, R).
2)
Déterminer un supplémentaire de F
dans C (R, R).
1)
————————————–
4