1 (sous-)espaces vectoriels et combinaisons linéaires 2 familles

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI STRUCTURE D’ESPACE VECTORIEL
1 (SOUS-)ESPACES VECTORIELS
ET COMBINAISONS LINÉAIRES
11) Dans R3,(5,5,1)est-il combinaison linéaire de
(2,3, 0)et (3,2,0)?
2) Dans R[X], 16X3−7X2+21X−4 est-il combi-
naison linéaire de 8X3−5X2+1 et X2+7X−2 ?
3) Dans RR,x7−→ cos2xest-il combinaison linéaire
de x7−→ 1 et x7−→ cos(2x)?
4) Dans RR,x7−→ sin(2x)est-elle combinaison li-
néaire de sinus et cosinus ?
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2Montrer que pour tout A∈ M2(K),A2est combi-
naison linéaire de I2et A.
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3Les ensembles suivants sont-ils des sous-espaces
vectoriels ?
1) ¦(x,y)∈R2
+/x=y©.
2) ¦(x,y)∈R2/2x−5y−1=0©.
3) ¦(x,2x,3x)©x∈R.
4) ¦(x,y,z)∈R3/y=0©.
5) ¦(x,y)∈R2/x3+x+y2=0©.
6) ¦(x,y,z)∈R3/x=yet 3y−2z=0©.
7) ¦P∈R[X]/ ∂ ◦P¾2©.
8) ¦P∈R[X]/PX2=P′+X4P©.
9) ¦f∈ C 1(R,R)/f(0) + f(1) = f′(0)©.
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41) Montrer que l’ensemble des fonctions 1-périodiques
de Rdans Rest un sous-espace vectoriel de RR.
2) L’ensemble des fonctions croissantes de Rdans
Rest-il un sous-espace vectoriel de RR? Et l’en-
semble des fonctions monotones de Rdans R?
Et l’ensemble des fonctions de Rdans Rqui sont
la somme d’une fonction croissante et d’une fonc-
tion décroissante ?
3) L’ensemble des fonctions majorées de Rdans R
est-il un sous-espace vectoriel de RR? Et l’en-
semble des fonctions bornées de Rdans R?
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5Soit Eun K-espace vectoriel.
1) Soient Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel
de Esi et seulement si : F⊂Gou G⊂F.
2) Soit (Fi)i∈Iune suite filtrante de sous-espaces
vectoriels de E, i.e. telle que :
∀i,j∈I,∃k∈I/Fi∪Fj⊂Fk.
Montrer que [
i∈I
Fiest un sous-espace vectoriel
de E.
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6Montrer que les ensembles suivants sont des sous-
espaces affines : 1) ¦(x,y,z)∈R3/x−y+z=2
et 2x+y+2z=1©.
2) ¦M∈ Mn(K)/tr(M) = 1©.
3) ¦P∈R[X]/X2P′′ −3X P′+4P=4−X©.
4) ¦f∈ C (R,R)/f(0) = 2 et f(1) = −3©.
5) ¦y∈ C 1(R,R)/∀x∈R, ex2y′(x)+ y(x) = 1©.
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7Montrer par des opérations sur les Vect l’égalité :
R2[X] = Vect(X−1)2,(X−1)(X+1),(X+1)2.
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8Soit a∈R. On pose : u= (1,−1, 1)et v= (0,1, a).
À quelle condition nécessaire et suffisante sur ale vec-
teur (1,1, 2)appartient-il à Vect(u,v)?
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9Montrer que pour tout n∈N:
Vectx7−→ cos(kx)0¶k¶n=Vectx7−→ coskx0¶k¶n.
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2 FAMILLES LIBRES ET BASES
10 Montrer que les fonctions x7−→ sin x,x7−→ cos x,
x7−→ xsin xet x7−→ xcos xsont linéairement indé-
pendantes dans RR.
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11 On note fla fonction x7−→ ex,gla fonction
x7−→ e2xet hla fonction x7−→ ex2sur R. Montrer
de deux manières différentes que la famille (f,g,h)est
libre :
1) par une technique d’évaluation.
2) par une étude asymptotique en +∞.
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12 Montrer de deux manières différentes que les
suites (1)n∈N,n2n∈Net (2n)n∈Nforment une famille
libre de RN.
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13 Montrer que les suites nkn∈N,kdécrivant N,
sont linéairement indépendantes dans RN.
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14 On pose : P0=1 et pour tout k∈N∗:
Pk=X(X−1)(X−2)...(X−k+1).
Montrer de deux manières différentes que la famille
(Pk)k∈Nest libre dans R[X].
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15 Soient Eun K-espace vectoriel et u1,...,un∈E.
Pour tout k∈¹1, nº, on pose : vk=u1+...+uk.
1) Montrer que la famille (u1,...,un)est libre si et
seulement si la famille (v1,...,vn)l’est.
2) Montrer que (u1,...,un)engendre Esi et seule-
ment si (v1,...,vn)engendre E.
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16 Montrer que la famille x7−→ |x−λ|λ∈Rde
C(R,R)est libre.
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17 Soit A∈ Mn(C)une matrice à diagonale domi-
nante, i.e. telle que pour tout i∈¹1, nº:X
1¶j¶n
j6=i
|ai j |<|aii |.
On note C1,...,Cnles colonnes de A. Soient x1,...,xn∈C.
On suppose que : x1C1+...+xnCn=0. Montrer, en
utilisant max ¦|x1|,...,|xn|©, que : x1=...=xn=0.
Qu’en déduit-on sur A?
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18 Soit n∈N. On veut montrer que la famille
(X+k)n0¶k¶nde R[X]est libre. Soit (λk)0¶k¶n∈Rn+1.
On suppose que :
n
X
k=0
λk(X+k)n=0.
1) Montrer que pour tout p∈¹0, nº:
a)
n
X
k=0
λk(X+k)p=0.
b)
n
X
k=0
λkkp=0.
2) Conclure en convoquant certains polynômes de
Lagrange.
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19 Montrer que la famille x7−→ eλxλ∈Rde C(R,R)est
libre :
1) en s’intéressant au comportement asymp-
totique des exponentielles.
2) en convoquant certains polynômes de
Lagrange.
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20 Montrer que la famille x7−→ sin(λx)λ∈R∗
+
de C(R,R)est libre en convoquant certains polynômes
de Lagrange.
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21 On rappelle que Qest un corps et que R, en
tant que R-espace vectoriel, peut être vu aussi comme
un Q-espace vectoriel.
1) Montrer que la famille (ln p)p∈Pest une famille
libre du Q-espace vectoriel R.
2) En déduire que ln pest rationnel pour au plus
un nombre premier p. On peut montrer que ln r
est irrationnel pour tout r∈Q∗
+\1, mais c’est
autrement plus compliqué.
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3 BASES ET DIMENSION
22 1) Montrer que (−1,1,1),(1,−1,1),(1,1,−1)est
une base de R3et déterminer les coordonnées du
vecteur (8,4, 2)dans cette base.
2) Montrer que (X−1)2,X2,(X+1)2est une base
de R2[X]et déterminer les coordonnées du po-
lynôme X2+X+1 dans cette base.
3) Montrer que la famille :
X3+X2−X−1 , X3−X2+1 ,
X3−X2+X,X3+2X+1
est une base de R3[X]et déterminer les coor-
données de X2dans cette base.
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23 Pour tout k∈¹1, nº, on pose :
uk=k,k−1, .. . , 2,1, 0,. . . , 0∈Rn.
Montrer que la famille (u1,...,un)est une base de Rn.
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24 Montrer pour tout n∈Nque la famille :
1+X,X+X2,...Xn−1+Xn,Xn
est une base de Rn[X].
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25 Soient n∈Net A,B∈K[X]non constants et
premiers entre eux. Montrer que la famille AkBn−k0¶k¶n
est une base de Kn[X].
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26 Déterminer une base de chacun des sous-espaces
vectoriels suivants :
1) ¦(x,y,z)∈R3/x+2y+z=0©.
2) ¦M∈ M2(R)/AM =0©avec : A=1 2
2 4.
3) ¦P∈R3[X]/PX2=X3+1P©.
4) ¦(x,y,z,t)∈R4/x+y=0
et 2x−z+t=0©.
5) ¦P∈R4[X]/P(0) = P(1) = P(2)©.
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27 On note Ala matrice 3−1
7 1 et Cl’ensemble
des matrices de M2(R)qui commutent à A. Montrer que
Cest un sous-espace vectoriel de M2(R)et en déter-
miner une base.
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28 On note El’ensemble des matrices de trace nulle
de Mn(K). Montrer que Eest un sous-espace vectoriel
de Mn(K)et déterminer sa dimension.
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29 On note El’ensemble des fonctions :
x7−→ Asin(x+ϕ),Aet ϕdécrivant R.
Montrer que Eest un sous-espace vectoriel de C(R,R)
et déterminer sa dimension.
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30 Soit M∈ Mn(K).
1) Déterminer un entier d∈Npour lequel la fa-
mille In,M,M2,...,Mdest liée.
2) En déduire que Mpossède un polynôme annu-
lateur non nul à coefficients dans K.
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31 Soient a,b,c∈R. Montrer que les fonctions
x7−→ sin(x+a),x7−→ sin(x+b)et x7−→ sin(x+c)
sont linéairement dépendantes dans RR.
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32 Soient Eun K-espace vectoriel, x1,...,xn∈Eet
y1,...,yn∈E. On suppose que les vecteurs x1+y1,...,
xn+ynsont linéairement indépendants. Montrer l’in-
égalité : rg(x1,...,xn,y1,..., yn)¾n.
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33 1) Montrer que la famille :
X3+X+1, X3−2X+2, X2+3X
est libre et la compléter en une base de R4[X].
2) Montrer que la famille (8,4,1,2),(1,3, 0,5)est
libre et la compléter en une base de R4.
3) Soient Eun R-espace vectoriel de dimension 3
et (e1,e2,e3)une base de E. On pose :
ǫ1=e1+2e2+e3et ǫ2=e2−e3.
Montrer que (ǫ1,ǫ2)est libre et la compléter en
une base de E.
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34 Déterminer la dimension de :
Vect(1,2,1, 0),(4,−2,1, 1),(7, 2, 4,2),(11, 4, 1, 3).
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4 MATRICE D’UNE FAMILLE
DE VECTEURS DANS UNE BASE
35 Les familles suivantes sont-elles des bases ?
1) (2,0,α),(2, α,2),(α, 0,2)(α∈R).
2) (1,0,2, 1),(0,1, 1,2),(2,0,1,1),(2, 1, 0,1).
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36 Soient P0,...,Pn∈K[X]. On suppose que pour
tout i∈¹0, nº:∂◦Pi=i. Montrer par une tech-
nique matricielle que la famille (Pi)0¶i¶nest une base
de Kn[X]. Comment montrer ce résultat sans matrices ?
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37 Soient Eun K-espace vectoriel et (u1,...,u2n+1)
une famille libre de E. Montrer par une technique ma-
tricielle que la famille :
u1+u2,u2+u3,...,u2n+u2n+1,u2n+1+u1
est également libre.
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5 SOMME DE DEUX SOUS-ESPACES
VECTORIELS
38 Soient Eun K-espace vectoriel et Fet Gdeux
sous-espaces vectoriels de E.
Montrer que : F∪G=F+Gsi et seulement si :
F⊂Gou G⊂F.
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39 Soient Eun K-espace vectoriel de dimension finie
et Fet Gdeux sous-espaces vectoriels de E. On suppose
que : dim F+dim G>dim E. Montrer que Fet G
ont au moins un vecteur non nul en commun.
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40 On pose : a= (0,0, 1,0),b= (1,1,0, −1),
u= (1,0, 1,0),v= (0,1,−1,0)et w= (1,1,1, 1),
ainsi que : F=Vect(a,b)et G=Vect(u,v,w).
Déterminer les dimensions de F,G,F+Get F∩G.
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41 On pose :
F=¦(x,y,z,t)∈R4/x+y+z=0 et y−z+t=0©
et G=Vect(1,0, 0,1),(0,1,1, 0). Montrer que F
et Gsont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
de R4.
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42 Soit λ∈R. À quelle condition nécessaire et suf-
fisante sur λles sous-espaces vectoriels Vect(λ,λ,1)
et Vect(1,λ, 1),(2,1, 1)sont-ils supplémentaires dans
R3?
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43 On note Fl’ensemble des fonctions constantes
sur [0,1]et on pose :
G=¨f∈ C [0, 1],R/Z1
0
f(t)dt=0«.
Montrer que Fet Gsont deux sous-espaces vectoriels
supplémentaires de C[0,1],R.
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44 Montrer que ¦P∈R3[X]/PX2=X2P(X)©
et ¦P∈R3[X]/P(1) = P(2)©sont supplémentaires
dans R3[X].
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45 On note Pl’ensemble des fonctions paires de
Rdans Ret Il’ensemble des fonctions impaires de R
dans R. Montrer que Pet Isont deux sous-espaces
vectoriels supplémentaires de RR.
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46 Soient Eun K-espace vectoriel et F1,F2et Gtrois
sous-espaces vectoriels de E.
1) Si F1et F2sont en somme directe, montrer que
F1∩Get F2∩Gle sont aussi.
2) Si F1et F2sont supplémentaires dans E,F1∩G
et F2∩Gle sont-ils dans G?
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47 Déterminer un supplémentaire des sous-espaces
vectoriels suivants — on admet que ce sont bien des
sous-espaces vectoriels :
1) Vect(1,2, 1,1),(2,2,1, 1),(0, 2, 1,1)dans R4.
2) ¦(x,y,z,t)∈R4/x+y+2z−t=0
et y−z+t=0©dans R4.
3) ¦P∈R4[X]/P(−X) = P(X)©dans R4[X].
4) a) ¦P∈R3[X]/P(0) = P′(0) = 0©dans R3[X].
b) ¦f∈ D(R,R)/f(0) = f′(0) = 0©
dans D(R,R).
5) dans R3[X]:
¦P∈R3[X]/P′+3P=P(0)X3+P(1)X+P(1)©.
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48 Soient x1,...,xn∈Rdistincts. On pose :
F=¦f∈ C (R,R)/∀k∈¹1, nº,f(xk) = 0©.
1) Montrer que Fest un sous-espace vectoriel
de C(R,R).
2) Déterminer un supplémentaire de F
dans C(R,R).
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