Chapitre_2_fonctions_continues_et_reciproques

Chapitre 2
Fonctions d’une variable réelle
I
Fonction continue sur un intervalle de IR
A]
Définition
Définition :

Une fonction f est dite continue en x0 SSI f est définie au voisinage de x0 et
lim;
f(x) = f(x0).
x  x0

On dit que f est continue à droite en x0 si lim;
f(x) = f(x0).
x  x0+

On dit que f est continue à gauche en x0 si lim;
f(x) = f(x0).
x  x0 –

On dit que f est continue en x0 SSI lim;
f(x) = lim;
f(x) = f(x0).
x  x0+
x  x0 –

On dit que f est continue sur I SSI elle est continue en tout point de I.
Interprétation graphique :
Cela signifie que l’on peut aller d’un point à un autre de la courbe Cf sans lever le crayon.
Exemples :
*
La fonction inverse est continue sur IR+*, mais pas sur IR*.
*
La fonction d’Heaviside n’est pas continue en 0, mais seulement à droite en 0 ; sur le
reste de IR elle est continue.
B]
Continuité et dérivabilité
1)
Rappels
Définition :
On dit que f est dérivable en x0 et de dérivée f ‘(x0) si on a :
f ‘ (x0) = lim;
Error! = Error! Error!.
x  x0
Interprétation graphique :
La tangente à la courbe Cf au point d’abscisse x0 a pour coefficient directeur en f ‘(x0).
Faire un graphique.
2)
Propriété
Théorème :
Toute fonction dérivable en x0 est continue en x0.
Démonstration :
ADMIS
Remarque :
La réciproque est fausse ; il existe des fonctions continues qui ne sont pas dérivables. ( Cf la
fonction valeur absolue ).
Exemples :
Les fonctions avec des points anguleux et les fonctions a tangente verticale ( cf la fonction racine
carrée en 0).
Exercices 11, 12, 14 et 16p42.
Exercice 17p43.
-1-
Chapitre 2 : BTS 2 électrotechnique
Exercice 26p45.
3)
Différentielle d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de IR contenant x0 ; on appelle différentielle de la
fonction f en x0, la fonction linéaire : h Error! f ‘(x0)h.
On note df(x0)(h) = f ‘ (x0)  h ou df = f ‘(x0)dx.
Exemple :
Soit f(x) = x3 + x + 2. Ainsi f ‘(x) = 3x2 + 1. Donc df = (3x2 + 1)dx.
Ainsi en x0 = 2, on a df = 13 dx.
Propriété :
Les propriétés de la dérivée donnent des propriétés analogues pour la différentielle.
Ainsi on a :

d(f+g) = df + dg.

d(fg) = gdf + fdg.

dError! = Error!.
4)
Image d’un intervalle par une fonction continue
Théorème :
L’image d’un intervalle I de IR par une fonction f continue est un intervalle J. I et J ne sont pas
forcément de même nature, mais si I est fermé, alors J est aussi fermé.
On peut aussi formuler cela de la manière suivante :
Pour tout k  J, il existe au moins un x tel que f(x) = k.
Démonstration :
ADMIS
Faire une figure.
Théorème : Théorème de la bijection
Si f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I de IR, alors f réalise une
bijection de I sur J = f(I).
On peut aussi formuler cela de la manière suivante :
Pour tout k  J, il existe un unique x  I tel que f(x) = k.
Démonstration :
ADMIS
Faire une figure.
II
Fonction réciproque
A]
Définition
Définition :
Si f est une bijection de I sur J, alors il existe une unique fonction notée f –1 tel f Error!f –1 = idJ et
f –1 Error!f=idI. La fonction f–1 est appelée fonction réciproque de f.
Exemples :
*
la fonction carrée sur IR+ et la fonction racine carrée sur IR+.
*
La fonction logarithme sur IR+* et la fonction exponentielle sur IR.
-2-
Chapitre 2 : BTS 2 électrotechnique
f(x)=x2
-1
f (x)=e
x
e
f -1(x)= x
f(x)=ln x
1
1
1
e
1
-2 -1
-1
e
0
1
-2
Exercices 18 et 19p43.
B]
Propriétés
Propriété :
Les fonctions f et f –1 ont les mêmes variations.
Représentation graphique :
Dans un repère orthonormal les courbes Cf et Cf–1 sont symétrique par rapport à la première
bissectrice d’équation y = x.
C]
FONCTIONS RECIPROQUES DES FONCTIONS CIRCULAIRES
Fonction  arcsinus 
La fonction f (x )  sin x est définie et dérivable sur IR.
Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place sur
1)


l’intervalle I   ;  .
 2 2
Ainsi sur cet intervalle f réalise une bijection de Error! sur
Error!.
f(x)=sinx 

2

2

Définition :
La fonction réciproque de la fonction sinus est la fonction arcsinus définie sur l’intervalle
[  1; 1 ] par : sin y = x SSI y = arcsin x.

2
Propriété :
La fonction g(x)  arcsin x est dérivable sur l’intervalle ]1; 1 [
de dérivée arcsin'( x ) 
1
1 x2
g(x)=arcsin x
.

Démonstration :
ADMIS
Propriété :
La fonction arcsin est strictement croissante sur [  1; 1 ].
Exercice 32p47.
-3-


2
Chapitre 2 : BTS 2 électrotechnique
2)
Fonction  arccosinus 
La fonction g(x) = cos x est définie et dérivable sur IR.
Pour obtenir une fonction strictement monotone on se place sur
l’intervalle I   0;   .
La fonction g réalise alors une bijection de Error! sur [  1; 1 ].

f(x)=cos x

2

Définition :
La fonction réciproque de la fonction cosinus est la fonction arccosinus définie sur l’intervalle
[  1; 1 ] par : y  arccosx  x  cosy
Propriété :
La fonction g(x )  arccos x est dérivable sur
l’intervalle ]1; 1 [
et de dérivée arccos'( x ) 

g(x)=arccos x
1
1 x 2 .

2
Démonstration :
ADMIS


Propriété :
La fonction arcos est strictement décroissante de
Error! sur Error!.
Propriété :
Pour tout x Error!, on a arcsin x + arccos x = Error!.
Démonstration :
Posons f(x) = arcsin x + arccos x qui est définie et dérivable sur] –1 ; 1 [ ; comme somme de deux
fonctions définies et dérivables sur] –1 ; 1 [. Or f ‘ (x) = Error! – Error! = 0. Donc f est une
fonction constante sur ] –1 ; 1 [. Or f(0) = arccos 0 + arcsin 0 = Error! + 0 = Error!.
Ainsi on conclut que f(x) = arcsin x + arccos x = Error!.
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Chapitre 2 : BTS 2 électrotechnique

3)
Fonction  arctangente 
La fonction h(x) = tan x est définie et dérivable
sur IR / {

2
f(x)=tan x
 k ; k  Z }.
Pour obtenir une fonction strictement monotone on


se place sur l’intervalle I   ; 
 2 2.

2
Définition :
La fonction réciproque de la fonction tangente est la fonction arctangente définie sur IR par :
y  arctan x  x  tan y
Propriété :
La fonction h(x) = arctan x est dérivable sur IR de dérivée (arctan) ‘ x = Error!.
Propriété :
La fonction arctan est strictement croissante de IR sur Error!.
g(x)=arctan x

2

2
Exercice 30p47.
III Fonction d’une variable réelle à valeurs complexes
A]
Définition
-5-
Chapitre 2 : BTS 2 électrotechnique

2
Définition :
Soient f et g deux fonctions de IR dans IR définies sur un intervalle I. On définit une fonction z de
IR dans I;C par z(t) = f(t) + i g(t) pour tout t  I. La fonction z est une fonction de la variable réelle t
à valeurs complexes.
Exemple :
z(t) = eit. Alors f(t) = cos t et g(t) sin t.
B]
Propriétés
Propriété :
Si f et g sont toutes les deux dérivables sur I, alors z est elle aussi dérivable sur I et z ‘(t) =f ‘(t) +
ig‘(t).
Démonstration :
Evidente.
Théorème :
Soit a  I;C.
Si f(t) = eat, alors f est dérivable sur IR et f ‘(t) = a eat pour tout t  IR.
TP : Décomposition en éléments simples des fonctions rationneles.
Exercice 25p44.
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Chapitre 2 : BTS 2 électrotechnique