T S spécialité mathématiques. Devoir surveillé n° 2 Jeudi 29 novembre 2007 1 Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. 2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel. a) Montrer que M et N sont des entiers pairs. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. 3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1. a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N. b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair. c) Démontrer que 81 n2 – 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair. 2 1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1. a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E). b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E') : 91 x + 10 y = 412. c) Résoudre (E'). 2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). 3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296. a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E"). b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer. T S spécialité mathématiques. Devoir surveillé n° 2 Jeudi 29 novembre 2007 1 Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. 2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel. a) Montrer que M et N sont des entiers pairs. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. 3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1. a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N. b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair. c) Démontrer que 81 n2 – 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair. 2 1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1. a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E). b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E') : 91 x + 10 y = 412. c) Résoudre (E'). 2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). 3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296. a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E"). b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer. 1 Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1. 1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul. a) Montrer que M et N sont des entiers impairs. si n 0 mod 2 alors M 9 0 + 1 1 mod 2 alors M est impair. si n 0 mod 2 alors N 9 0 – 1 1 mod 2 alors N est impair. b) En remarquant que N = M + 2, déterminer le PGCD de M et N. d = PGCD (M, N). d divise M et N donc d divise N – M donc d divise 2 donc d = 1 ou d = 2 N est impair donc d 2 donc d = 1. On peut aussi utiliser le lemme d'Euclide. PGCD(M, N) = PGCD(N, 2). 2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l, avec p entier naturel. a) Montrer que M et N sont des entiers pairs. si n = 2 p + 1 alors M 9 (2 p + 1) + 1 = 2 9 p + 9 + 1 = 2 (9 p + 5) alors M est pair. si n = 2 p + 1 alors N 9 (2 p + 1) – 1 = 2 9 p + 9 – 1 = 2 (9 p + 4) alors N est pair. b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N. PGCD(M, N) = PGCD(N, 2) = 2 car N est pair. 3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1. a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N. 81 n2 – 1 = (9 n)2 – 1 = (9 n – 1) (9 n + 1) = M N b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair. Si n est pair alors M et N sont impairs alors M N est impair c) Démontrer que 81 n2 – 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair. Si 81 n2 – 1 divisible par 4 alors 81 n2 – 1 est pair alors n est impair Remarque : on sait que : si n pair alors 81 n2 – 1 impair. La contraposée est alors vraie : si 81 n2 – 1 est pair alors n est impair. « A implique B » ("s'il pleut, alors le sol est mouillé") est équivalent à « non-B implique non-A ». ("si le sol n'est pas mouillé, alors il ne pleut pas") Si n est impair alors M et N sont pairs alors M N sont divisibles par 2 2 Variante : On dissocie les cas. Si n est pair alors N M est impair alors 81 n2 – 1 n'est pas divisible par 4. Si n est impair alors M et N sont pairs alors M N sont divisibles par 2 2 2 On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1. a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E). 91 et 10 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs u et v tels que 91 u + 10 v = 1 donc l'équation 91 x + 10 y admet au moins une solution le couple (u, v) b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation (E') : 91 x + 10 y = 412. 91 – 10 9 = 1 donc (1, – 9) est une solution de (E) 91 412 – 9 412 10 = 412 donc (412, – 9 412) est une solution de (E) c) Résoudre (E'). 91 x + 10 y = 1 91 x + 10 y = 91 412 – 3708 10 10 (y + 3708) = 91 (412 – x) 10 divise 91 (412 – x) et 10 est premier avec 91 donc, d'après le théorème de Gauss, 10 divise 412 – x 412 – x = 10 k x = 412 – 10 k On a alors 10 (y + 3708) = 91 10 k donc y = 91 k – 3708. Les solutions sont donc de la forme (412 – 10 k, 91 k – 3708) où k Z;Z. Réciproquement 91 (412 – 10 k) + 10 (91 k – 3708) = 91 412 – 10 91 k + 10 91 k – 10 3708 = 412. 2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence). Initialisation : 32 0 – 1 = 0 donc A0 divise par 8. Hérédité : si 32 k – 1 divisible par 8 32 k + 2 – 1 = 9 32 k – 1 = 9 32 k – 9 + 9 – 1 = 9 (32 k – 1) + 8. Si 8 divise 32 k – 1 alors 8 divise 9 (32 k – 1) + 8 alors 32 k + 2 – 1 est divisible par 8. Variante : 32 1 modulo 8 donc (32)n 1n modulo 3 donc 32n – 1 0 modulo 3 3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296. a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E"). A3 = 36 – 1 = 728 = 91 8 et A2 = 24 – 1 = 80 = 8 10 et 3296 = 412 8 A3 x + A2 y = 3296 91 8 x + 10 8 y = 412 8 91 x + 10 y = 412. S = {(412 – 10 k, 91 k – 3708)}k Z; Z b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer. Error! Error! Error! car k Error!. Le seul couple d'entiers naturels solution de (E") est donc (412 – 10 41, 91 41 – 3708) c'est à dire (2, 23)