Chapitre 11

Chapitre 11 : TRIGONOMETRIE
A – Sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu
B
a) Côtés d’un triangle rectangle
[BC] s'appelle l'hypoténuse
Pour l'angle ̂
B,
[BA] est le côté adjacent et
A
C
|AC] est le côté opposé
B
̂,
Pour l'angle C
[CA] est le côté adjacent et
[AB] est le côté opposé
A
C
b) Définitions
E
Côté adjacent
FD
Cosinus ̂
F =
=
Hypoténuse
FE
Sinus F̂ =
D
F
On note en général cos F̂
Côté opposé
Hypoténuse
=
ED
FE
Côté opposé
ED
Tangente F̂ =
=
côté adjacent
FD
sin F̂ et tan F̂
Repère 1 --------------------------------------------------------------------------------------------- Repère 1
B- APPLICATIONS
R
I. On connaît l’hypoténuse et un angle aigu :
on peut retrouver un des petits côtés.
S
47°
T
5 cm
RST = 47°.
On considère le triangle RST rectangle en R tel que ST = 5 cm et ̂
1°) Calcul de RS
2°) Calcul de RT
(côté adjacent -> utilisat° du cosinus) ( côté opposé -> utilisation du sinus)
Dans le triangle RST rectangle en R , on
a:
cos 
RST =
Donc cos 47° =
d’où SR =
RS
ST
Dans le triangle RST rectangle en R , on
a:
RS
5
sin 
RST =
Donc sin 47° =
RT
ST
RT
5
d’où RT = 5 × sin 47°
5 × cos 47°
La calculatrice donne SR » 3,4 cm
La calculatrice donne RT » 3,7 cm
II. Calculer l’hypoténuse en utilisant le cosinus ou le sinus
A
On donne le triangle AFL ci-contre rectangle en L tel que
AFL = 34°. Déterminer FA à 1 mm près.
AL = 3cm et 
F
34°
L
Réponse :
Dans le triangle AFL rectangle en L , on a :
sin 34° =
On obtient : AF =
sin 
AFL =
AL
AF
3
FA
3
sin 34 °
La calculatrice donne AF » 5,3 cm
Remarque :On pourrait retrouver de la même façon FA si on connaissait la longueur FL (côté
adjacent) en utilisant le cosinus
III. Utilisation de la TANGENTE (retrouver un des petits côtés)
F
On considère un triangle EFG rectangle en E
GFE = 55°.
tel que EF = 4 cm et 
55°
Calculer EG à 1 mm près.
4 cm
Réponse :
E
Dans le triangle EFG rectangle en E , on a :
EG
EF
tan 
GFE =
tan 55° =
EG
4
d’où EG = 4 × tan 55°
Donc EG ≈ 5,7 cm
IV- Calcul d'un angle
B
Calculer la mesure de l'angle ̂
ABC .
5
3
Dans le triangle ABC rectangle en A :
C
A
Cos ̂
ABC =
AB
BC
Cos ̂
ABC =
3
5
3
donc ̂
ABC = arccos ( )
5
̂
ABC ≈53°
E
Calculer la mesure de l'angle ̂
EFD .
5
4
D
Dans le triangle EDF rectangle en D :
F
sin ̂
EFD =
ED
EF
sin ̂
EFD =
4
5
4
donc ̂
EFD = arcsin ( )
5
̂
EFD ≈ 53°
G
Calculer la mesure de l'angle ̂
IGH .
G
Dans le triangle GHI rectangle en I :
tan ̂
IGH =
5
I
6
H
tan ̂
IGH =
HI
GI
6
5
6
donc ̂
IGH = arctan ( )
5
̂
IGH ≈ 50°