nombres complexes - Philippe DEPRESLE

NOMBRES COMPLEXES
Ph DEPRESLE
11 janvier 2016
Table des matières
1 Les nombres complexes-Forme algébrique d’un nombre complexe 2
2 Opérations dans l’ensemble C2
2.1 Addition dans C.......................................... 2
2.2 Multiplication dans C....................................... 2
3 Les nombres complexes conjugués 3
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.2 Conjugaison et opérations .................................... 3
4 Résolution dans Cde l’équation az2+bz +c=0(a,b,c∈R,a6=0) 3
4.1 Résolution de l’équation z2=a a ∈R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 Résolution de l’équation az2+bz +c=0 (a,b,c∈R,a6=0) ................. 4
5 Représentations géométriques des nombres complexes 4
6 Module d’un nombre complexe 5
7 Argument d’un nombre complexe-Forme trigonométrique 5
7.1 Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
7.2 Forme trigonométrique ...................................... 6
7.3 Arguments et produit ........................................ 7
8 Notation exponentielle des nombres complexes 7
9 QCM 9
10 EXERCICES : Les exercices de base 10
11 EXERCICES : Les exercices de base ( corrigés) 12
1

Chapitre : Nombres complexes Terminale S
1 Les nombres complexes-Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition 1. On appelle nombre complexe, un nombre qui s’écrit de façon unique sous la forme z =
a+i b dans lequel a et b sont des réels et i un élément vérifiant i2= −1.
a est appelé la partie réelle de z et b la partie imaginaire de z.
Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
L’ensemble des nombres complexes est noté C.
On notera indifféremment a +i b ou a +bi
Notation :a=Re(z) et b=Im(z)
Exemple : 1−2i;p2−3isont des nombres complexes.
Re(1 −2i)=1 et I m(1−2i)=−2.
Remarques :
•Re(z) et Im(z) sont des nombres réels.
•Parmi les complexes il y a les réels (qui s’écrivent a + i ×0).
donc R⊂Cet de plus ; z∈R⇐⇒ Im(z)=0
•Parmi les complexes il y a les imaginaires purs (qui s’écrivent 0 + i ×b).
zimaginaire pur ⇐⇒ Re(z)=0
•0 est à la fois réel et imaginaire pur.
•Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie
imaginaire.
2 Opérations dans l’ensemble C
On définit sur Cune addition et une multiplication ayant les mêmes propriétés que celles des nombres
réels.
2.1 Addition dans C
Soient z=a+i b et z′=a′+i b′(a,b,a′,b′réels) on pose :
z+z′=(a+i b)+(a′+i b′)=(a+a′)+i(b+b′) . On additionne les parties réelles d’une part et les parties
imaginaires d’autre part.
z−z′=(a+i b)−(a′+i b′)=(a−a′)+i(b−b′) .
Exemple : 2 + 5i + 8 - 3i = 10 + 2i
2.2 Multiplication dans C
On utilise les règles de R, la distributivité et i2=−1.
z.z′=(a+i b)(a′+i b′)=aa′+i2bb′+i(ab′+ba′)
z.z′=(a+i b)(a′+i b′)=aa′−bb′+i(ab′+ba′)
Exemples
1. z=1+3i;z′=2−i;zz′=5+5i.
2. z=4i;z′=2−p2i;zz′=4p2+8i.
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Chapitre : Nombres complexes Terminale S
Identités remarquables : (a+i b)2=a2−b2+2i ab
(a−i b)2=a2−b2−2i ab avec a,b∈R
(a+i b)(a−i b)=a2+b2∈R+
Exemple de calcul : Mettre sous forme algébrique le nombre complexe : 2+5i
8−3i
2+5i
8−3i=(2+5i)(8+3i) (8−3i)(8+3i)=1+46i 64+9=1 73+46 73i.
3 Les nombres complexes conjugués
3.1 Définition
Définition 2. Soit z =a+i b (a,b réels) un nombre complexe, on appelle nombre conjugué du nombre
z, et on note z, le nombre complexe z =a−i b.
Remarques :
•¡z¢=a−i b =a+i b =z.
Le conjugué de zest z. On dit que zet zsont conjugués.
¡z¢=z
•½z=a+i b
z=a−i b ⇐⇒ ½z+z=2a
z−z=2i b
∀z∈C
Re(z)=z+z
2Im(z)=z−z 2i
zréel ⇐⇒ z=z
zimaginaire pur ⇐⇒ z=−z
3.2 Conjugaison et opérations
Propriétés 1. Quels que soient les nombres complexes z,z′:
1. z+z′=z+z′
2. z.z′=z.z′
3. Si z′est non nul, (1
z′)=1
z′et (z
z′)=z
z′
4. z.z=a2+b2∈R+
4 Résolution dans Cde l’équation az2+bz +c=0(a,b,c∈R,a6=0)
4.1 Résolution de l’équation z2=a a ∈R
– Si a>0, z2=aadmet 2 racines réelles opposées paet −pa
– Si a=0, z2=0 admet 1 seule racine z=0.
– Si a<0, z2=aadmet 2 racines imaginaires pures conjuguées ip|a|et −ip|a|
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Chapitre : Nombres complexes Terminale S
4.2 Résolution de l’équation az2+bz +c=0(a,b,c∈R,a6=0)
Propriétés 2. Si z0est solution de l’équation, z0est aussi solution.
Exemple : Résoudre dans Cl’équation : z2+3z+4=0
Solution :
On calcule le discriminant ∆=9−16 =−7=(ip7)2.
L’équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :
z1=−3+ip7
2et z2=−3−ip7 2
5 Représentations géométriques des nombres complexes
Le plan est rapporté à un repère orthonormé(O;−→ u,−→ v) ;
z=a+i b est représenté par le point M(a,b).
a,b∈R
On dit que Mest l’image de z
zest l’affixe de M¶on note M(z).
De même, si #» west un vecteur, −→ w=a−→ u+b−→ v
On dit que −→
west l’image de z
zest l’affixe de −→ w¶on note −→
w(z).
M(z)
~
w(z)
~
u
~
v
M′′(z)
M’(-z)
axe imaginaire
axe réel
O
Propriétés 3. 1. Les images de z et −z sont symétriques par rapport à O.
2. Les images de z et z sont symétriques par rapport à l’axe des réels.
3. Si
# »
W et si
# »
W′ont comme affixes respectives z et z′, alors
# »
W+
# »
W′a pour affixe z +z′.
4. Si λ∈Ret si #» w a pour affixe z, alors λ
# »
W a pour affixe λz.
5. Si A et B ont pour affixes respectives zAet zB, alors
# »
AB =
# »
OB −
# »
OA a pour affixe zB−zA.
6. Si A et B ont pour affixes respectives zAet zB, alors le milieu de [AB]a pour affixe zA+zB
2.
Exercice : Trouver l’ensemble des points Md’affixe ztel que Z=5z−2
z−1soit un imaginaire pur.
Zimaginaire pur ⇔Z=−Zet z6=1
⇔5z−2
z−1=−5z−2 z−1et z6=1
⇔(5z−2)(z−1) =−(z−1)(5z−2) et z6=1
⇔10zz−7(z+z)+4=0 et z6=1
⇔10(x2+y2)−14x+4=0 et (x,y)6=(1,0) avec z=x+i y,x,y∈R
⇔x2+y2−7
5x+2 5=0 et (x,y)6=(1,0)
⇔Ãx−7
10!2
+y2=9
100 et (x,y)6=(1,0)
C’est le cercle de centre Ωd’affixe 7
10 et de rayon 3 10 privé du point A d’affixe 1.
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Chapitre : Nombres complexes Terminale S
0.25
0.25
0.25 0.50 0.75 1.00
ΩA
6 Module d’un nombre complexe
Définition 3. Soit z =a+i b, avec a et b réels. Le module de z est le réel : |z|= zz =pa2+b2.
Théorème 1. Soit z un nombre complexe et M et #» w ses images dans le plan muni d’un repère ortho-
normé (O,#» u,#» v).
Alors OM =|z|et k#» wk=|z|.
O−→
u
−→
v
M
b
a
Propriétés 4. Les nombres z et z′sont des nombres complexes quelconques :
1. Un nombre complexe est nul si, et seulement si, son module est nul, c’est à-dire :
z=0équivaut à |z|=0.
2. Le module d’un nombre complexe est égal au module de son conjugué |z| =|z|
3. Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules : |z.z′|=
|z|.|z′|
4. Le module de l’inverse d’un nombre complexe non nul est l’inverse de son module et le module
du quotient de deux nombres complexes est le quotient de leurs modules.
pour z′6=0 : |1
z′|= 1 |z′|et |z z′|= |z| |z′|
5. Inégalité triangulaire : Le module d’une somme de deux nombres complexes est inférieur ou égal
à la somme de leurs modules : |z+z′|É |z|+|z′|
6. Pour tout naturel n, on a |zn|= |z|n.
7 Argument d’un nombre complexe-Forme trigonométrique
7.1 Argument
Définition 4. Soit z un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe muni du
repère orthonormal direct (0; #» u,#» v).
On appelle argument du complexe z, noté Ar g (z)toute mesure de l’angle orienté (#» u,# » OM).
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