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Le th´eor`eme du corps convexe de Minkowski
1. R´eseaux
Un r´eseau de Rnest un Z-module L⊂Rnengendr´e par les ´el´ements e1, . . . , end’une
base de Rn. On peut d´emontrer (exercice) qu’un r´eseau est un Z-module discret L⊂Rn
de rang maximal. On rappelle que Rnest muni d’un produit scalaire canonique
(x1, . . . , xn)·(y1, . . . , yn) = x1y1+··· +xnyn
Un homomorphisme entre deux r´eseaux L1⊂Rnet L2⊂Rmest une application lin´eaire
ϕ:Rn→Rmtelle que
x·y=ϕ(x)·ϕ(y) et ϕ(L1)⊂L2
En particulier, ϕest injective et donc n≤m. La somme directe (orthogonale) de
deux r´eseaux L1⊂Rnet L2⊂Rmest d´efinie de mani`ere naturelle : c’est le r´eseau
L1⊕L2⊂Rn+m. Etant donn´e un r´eseau L⊂Rnengendr´e par e1, . . . , en, on lui associe sa
matrice de Gram GL= (ei·ej)∈Matn(R). Un r´eseau est entier si sa matrice de Gram
est `a coefficients entiers. On v´erifie facilement que cette d´efinition ne d´epend pas du choix
de la base. Comme pour les espaces bilin´eaires, le d´eterminant det(L) d’un r´eseau Lest
le d´eterminant d’une matrice de Gram associ´ee.
Lemme 1.1. — Soit Lun r´eseau de Rn.
1. Le d´eterminant de Lne d´epend pas du choix de la base.
2. Deux r´eseaux sont isomorphes si et seulement si leurs matrices de Gram sont
congruentes.
3. Si L=L1⊕L2alors det(L) = det(L1) det(L2).
4. Si L0⊂Lest un sous-Z-module d’indice fini alors c’est un r´eseau et
det(L0) = [M:N]2det(L)
Soit L⊂Rnun r´eseau. Un domaine fondamental pour Lest une partie FLde Rn
telle que l’application canonique Fλ→Rn/L soit bijective. En d’autres termes, pour tout
y∈Rn, il existe un et un seul x∈FLtel que x−y∈L.
Exemple 1.2. — Si Lest engendr´e par les vecteurs e1, . . . , enalors on peut consid´erer le
domaine fondamental standard
FL={x1e1+··· +xnen|0≤xi<1∀i= 1, . . . , n}
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2. Volumes
On rappelle que l’espace euclidien Rnest muni de la mesure de Lebesgue
dx =dx1. . . dxn
Si V⊂Rnest mesurable, son volume Vol(V) est d´efini par la relation
Vol(V) = ZV dx =ZRn χVdx
o`u χVest la fonction caract´eristique de T, i.e. χV(x) = 1 si x∈Vet χV(x) = 0 sinon.
Exemple 2.1. — Pour tout r´eel positif r, soit
D(r) = {x= (x1, . . . , xn)∈Rn|x2
1+··· +x2
n≤r2}
la boule ferm´ee de rayon r. On a alors Vol(D(r)) = ωnrnavec
ωn=πn/2
Γ(1 + n/2)rn
o`u Γ(t) d´esigne la fonction gamma d’Euler. De mani`ere plus explicite, on obtient
ωn=
πn/2
(n/2)! si nest pair,
2nπ(n−1)/2((n−1)/2)!
n!sinon.
Soit ϕ:Rn→Rnun diff´eomorphisme. En ´ecrivant ϕ= (ϕ1, . . . , ϕn), la matrice jaco-
bienne Jϕest d´efinie par la relation
Jϕ= (∂ϕi/∂xj)i,j
Soit maintenant V⊂Rnun ensemble mesurable, f:Rn→Rune fonction int´egrable et
posons W=ϕ(V).
Lemme 2.2. — Les notations et hypoth`eses ´etant comme ci-dessus, on a l’identit´e
ZW
fdx =ZV|det(Jϕ)|f◦ϕ dx
Soit maintenant L⊂Rnun r´eseau. Son volume est par d´efinition le volume d’un
domaine fondamental standard de L,
Vol(L) = ZFL dx
Lemme 2.3. — Soit {e1, . . . , en}une base de L. Si B∈Mn(R)est la matrice ayant les
eicomme vecteurs colonne (par rapport `a la base standard de Rn) alors
Vol(L) = |det(B)|
En particulier, Vol(L)2= det(L).

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D´emonstration. — On v´erifie facilement que l’application lin´eaire ϕ:Rn→Rnd´efinie
par
ϕ(x1, . . . , xn) = x1e1+··· +xnen
est un diff´eomorphisme et que B=Jϕ(cf. paragraphe 1). De plus, en posant L0=Zn,
on obtient ϕ(L0) = L. Si F0={(x1, . . . , xn)∈Rn|0≤x1<1}d´esigne le domaine
fondamental de L0, alors F=ϕ(F0) est un domaine fondamental pour L. En appliquant
le lemme 1.3 on ontient alors
Vol(F) = ZF dx =ZF0|det(Jϕ)|dx =|det(B)|Vol(F0) = |det(B)|
La derni`ere ´egalit´e provient de l’identit´e GL=τBB.
Le corollaire suivant est imm´ediat :
Corollaire 2.4. — On a les propri´et´es suivantes :
1. Le volume d’un r´eseau est ind´ependant du choix de la base.
2. Soient L1⊂L2deux r´eseaux de Rn. Alors Vol(L1) = [L2:L1] Vol(L2).
3. Le th´eor`eme du corps convexe
Nous allons commencer par un lemme concernant les ouverts born´es de Rn.
Lemme 3.1. — Soit V⊂Rnun ouvert born´e de volume strictement sup´erieur `a 1. Alors
il existe x, y ∈Vtels que x−y∈Zn.
D´emonstration. — Soit F={(x1, . . . , xn)∈Rn|0≤xi<1}le domaine fondamental
standard associ´e au r´eseau Zn. C’est un ensemble mesurable de Rn. Pour tout g∈Zn, soit
F+gle translat´e de Fpar g. On a clairement (F+g)∩(F+g0) = ∅pour g6=g0et
Rn=∪g(F+g). L’ensemble Vg=V∩(F+g) est mesurable et Vest l’union disjointe
des Vg. De plus, il existe un nombre fini de g∈Zntels que Vg6= 0. On en d´eduit l’identit´e
Vol(V) = X
g∈Zn
Vol(Vg)
Soit finalement V0
g=Vg−g={x∈F|x+g∈V}. Si l’on avait V0 g∩V0
g0=∅pour tout
g6=g0, on obtiendrait
Vol(V) = X
g
Vol(Vg) = X
g
Vol(V0
g)≤1
qui est en contraddiction avec l’in´egalit´e Vol(V)>1. Il existe donc g, g0∈Zn,g6=g0tels
que V0
g∩V0
g06=∅. En d’autres termes, il existe x∈Ftel que u=x+g, v =x+g0∈Vet
u−vest alors un ´el´ement de Zn, ce qui ach`eve la d´emonstration.

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Un sous-ensemble V⊂Rnest convexe s’il est non vide et si pour tout x, y ∈V, le
segment joignant xet yest contenu dans V. En d’autres termes, on a la relation
x, y ∈V⇒tx + (1 −t)y∈V
pour tout 0 ≤t≤1. Un corps convexe est un ouvert born´e convexe V⊂Rn. Un point
O∈Rnest un centre pour Vsi pour tout P∈V, le point P0obtenu par sym´etrie centrale
par rapport `a Oappartient lui aussi `a V.
Th´eor`eme 3.2 (Minkowski). — Soit V⊂Rnun corps convexe ayant l’origine comme
centre. Si Vol(V)>2nalors Vcontient un point `a coordonn´ees enti`eres diff´erent de l’ori-
gine.
D´emonstration. — L’ouvert V0=1
2Vobtenu par homoth´etie de centre l’origine et de
facteur 1/2 est un corps convexe de volume Vol(V0) = 2−nVol(V)>1. On applique alors
le lemme 3.1 pour en d´eduire l’existence de deux ´el´ements distincts x, y ∈V0tels que
g=x−y∈Zn. Par construction, 2x, 2y∈Vet, le corps convexe Vayant l’origine comme
centre, on en d´eduit que −2yappartient `a V. Finalement, toujours par convexit´e, le milieu
du segment joignant 2x`a −2yappartient `a V. Ce dernier ´etant ´egal `a g, le th`eor`eme est
d´emontr´e.
Corollaire 3.3. — Soient Lun r´eseau et Vun corps convexe (ayant l’origine comme
centre) de Rn. Si
Vol(V)>2nVol(L)
alors Vcontient un point de Ldiff´erent de l’origine.
D´emonstration. — Fixons une fois pour toutes une base {e1, . . . , en}de Let consid´erons
l’isomorphisme ϕ:Rn→Rnd´efini par
ϕ(x1, . . . , xn) = x1e1+··· +xnen
On v´erifie facilement que ϕ(Zn) = Let que V0=ϕ−1(V) est un corps convexe de volume
strictement sup´erieur `a 2nayant l’origine comme centre. Le th´eor`eme 4.3 affirme alors que
V0contient un point de Zndiff´erent de l’origine ; limage de ce dernier par ϕest alors un
point de L∩Vdiff´erent de l’origine.
Corollaire 3.4. — Les hypoth`eses ´etant celles du corollaire pr´ec´edent, si
Vol(V)≥2nVol(L)
alors il existe un point de Ldiff´erent de l’origine appartenant `a Vou `a ∂D.
Corollaire 3.5. — Tout r´eseau L⊂Rnposs`ede un point xtel que
0< x ·x≤4(ω−1
nVol(L))2/n
D´emonstration. — Consid´erons la boule ferm´ee D(r) centr´ee en l’origine et de rayon r=
2(ω−1
nVol(L))1/n. Son volume ´etant ´egal `a ωnrn= 2nVol(L), le th´eor`eme du corps convexe
de Minkowski affirme que D(r) contient un point de Ldiff´erent de l’origine.

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Lemme 3.6 (Eisenstein, Hermite). — Soient net ddeux entiers. Alors il existe un
nombre fini de classes d’isomorphisme de r´eseaux entiers de rang net de d´eterminant d.
D´emonstration. — On proc`ede par r´ecurrence sur le rang n. Pour n= 1 le r´esultat est
clair, il existe un seul r´eseau de d´eterminant d(`a isomorphisme pr`es). Soit donc L⊂Rn
un r´eseau de d´eterminant d, de telle sorte que Vol(L) = √d. D’apr`es le corollaire pr´ec´edent,
il existe une constante c=c(n, d) telle que Lcontienne un ´el´ement xavec 0 < N =x·x<c.
Consid´erons le sous-Z-module
L0={y∈L|x·y≡0 (mod x·x)
On a alors la suite exacte
0→L0→L→Z/NZ
En particulier, L0est d’indice fini dans L. C’est donc un r´eseau et, clairement, on obtient
[L:L0]≤c. De plus, on a la d´ecomposition en somme directe orthogonale
L0=Zx⊕(Zx)⊥
En particulier, L0= (Zx)⊥est un r´eseau de Rn−1de d´eterminant
det(L0) = det(L0)/[L0:L0] = [L:L0]2det(L)/[L0:L0]≤c2d
et, par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe un nombre fini de choix pour L0, `a isomorphisme
pr`es, et donc un nombre fini de choix pour L0. Le lemme est d´emontr´e en remarquant que
L⊂1/NL0et qu’un r´eseau admet un nombre fini de sous-r´eseaux d’indice born´e.