Exercices Suggérés sur le principe de nids des pigeons

Problèmes de Pratique-Le Principe de nids de pigeons
1. Montrer que si 7 points sont choisis à l’intérieure ou sur le périmètre d’un hexagone régulier
de côté 1, alors au moins deux d’autre eux sont à une distance inférieure ou égale à 1.
2. Un réseau est formé de 6 ordinateurs. Chaque ordinateur est directement lié à au moins un
des autres ordinateurs. Montrer qu’il existe au moins deux ordinateurs dans le réseau qui sont
liés au même nombre d’ordinateurs dans le réseau.
3. Combien de personnes faut-il pour qu’au moins deux personnes soient nées le même jour de la
semaine et le même mois (avec des années sans doutes différentes)
4. Un paquet de cartes de Baseball contient 20 cartes. Combien de paquets devez-vous acheter
pour vous assurer que deux cartes dans ces paquets sont identiques sachant qu’il y a au total
550 cartes différentes?
5. Montrer que dans un ensemble de 15 entiers naturels, on peut trouver au moins deux entiers
dont la différence est divisible par 14.
6. Si on choisit des entiers naturels au hasard, quel est le nombre minimal de ces entiers qu’on
doit avoir pour être certain qu’au moins six sont congrus modulo 9 ? (c’est-à-dire ont le même
reste dans la division par 9).
7. Chaque cértificat de naissance dans la planète ”Joseph” est identifié par un numéro du type
”Chiffre-Lettre-Chiffre-Lettre-Chiffre-Chiffre” tel que la première lettre n’est jamais un ”H” et
le dernier chiffre n’est jamais un ”3” (par exemple ”0-L-8-U-9-4”). Pour une raison inconnue,
Les autorités de la planète (sous la direction du roi ”Joseph”) veulent s’assurer qu’il y a au
moins 26 habitants qui ont le même numéro de cértificat de naissance. Que doit être le nombre
minimal des habitants de la planète?
8. Soit A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Pour chaque sous-ensemble X de A, on définit σ (X) comme
étant la somme des éléments de X, avec la convention σ (∅) = 0. Par exemple, σ ({2, 4, 9}) =
2 + 4 + 9 = 15. Montrer qu’on peut trouver 6 sous-ensembles Ai i = 1, . . . , 6 de A tels que
|Ai | ≤ 3 pour tout i (ici |X| signifie le cardinal de X) et σ (Ai ) = σ (Aj ) pour tout i et tout j.
9. On place 500 points dans un rectangle de longueur 2m et de largeur 1m. Montrer qu’il existe au
moins 3 points parmi ces 500 points tels que l’aire du triangle qu’ils définissent soit inférieure
à 50cm2 .
10. Démontrer qu’il existe un nombre entier positif contenant seulement le chiffre 1 (comme les
nombres 111111, 11111111,....) qui est divisible par 7777.
(Indication. Considérer les entiers 1, 11, 111, 1111,..., ”1 répété 7778 fois” et leurs restes dans
la division par 7777.)
1
11. Il y a 30 étudiants dans une classe. L’étudiant Joseph a fait 12 erreurs dans un test et chacun
des autres étudiants a fait moins d’erreurs. Prouvez qu’au moins 3 étudiants dans la classe
ont fait le même nombre des erreurs.
12. Soit (xi , yi , zi ), i ∈ {1, 2, . . . , 9} un ensemble de 9 points distincts ayant des coordonnées
entières dans l’espace à trois dimension. Montrer que le point milieu du segment de droite
reliant au moins une paire de ces points a des coordonnées entières
2