Exercices Suggérés sur le principe de nids des pigeons

Probl`emes de Pratique-Le Principe de nids de pigeons
1. Montrer que si 7 points sont choisis `a l’int´erieure ou sur le p´erim`etre d’un hexagone r´egulier
de cˆot´e 1, alors au moins deux d’autre eux sont `a une distance inf´erieure ou ´egale `a 1.
2. Un r´eseau est form´e de 6 ordinateurs. Chaque ordinateur est directement li´e `a au moins un
des autres ordinateurs. Montrer qu’il existe au moins deux ordinateurs dans le r´eseau qui sont
li´es au mˆeme nombre d’ordinateurs dans le r´eseau.
3. Combien de personnes faut-il pour qu’au moins deux personnes soient n´ees le mˆeme jour de la
semaine et le mˆeme mois (avec des ann´ees sans doutes diff´erentes)
4. Un paquet de cartes de Baseball contient 20 cartes. Combien de paquets devez-vous acheter
pour vous assurer que deux cartes dans ces paquets sont identiques sachant qu’il y a au total
550 cartes diff´erentes?
5. Montrer que dans un ensemble de 15 entiers naturels, on peut trouver au moins deux entiers
dont la diff´erence est divisible par 14.
6. Si on choisit des entiers naturels au hasard, quel est le nombre minimal de ces entiers qu’on
doit avoir pour ˆetre certain qu’au moins six sont congrus modulo 9 ? (c’est-`a-dire ont le mˆeme
reste dans la division par 9).
7. Chaque c´ertificat de naissance dans la plan`ete ”Joseph” est identifi´e par un num´ero du type
”Chiffre-Lettre-Chiffre-Lettre-Chiffre-Chiffre” tel que la premi`ere lettre n’est jamais un ”H” et
le dernier chiffre n’est jamais un ”3” (par exemple ”0-L-8-U-9-4”). Pour une raison inconnue,
Les autorit´es de la plan`ete (sous la direction du roi ”Joseph”) veulent s’assurer qu’il y a au
moins 26 habitants qui ont le mˆeme num´ero de c´ertificat de naissance. Que doit ˆetre le nombre
minimal des habitants de la plan`ete?
8. Soit A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Pour chaque sous-ensemble Xde A, on d´efinit σ(X) comme
´etant la somme des ´el´ements de X, avec la convention σ(∅) = 0. Par exemple, σ({2,4,9}) =
2 + 4 + 9 = 15. Montrer qu’on peut trouver 6 sous-ensembles Aii= 1,...,6 de Atels que
|Ai| ≤ 3 pour tout i(ici |X|signifie le cardinal de X) et σ(Ai) = σ(Aj) pour tout iet tout j.
9. On place 500 points dans un rectangle de longueur 2m et de largeur 1m. Montrer qu’il existe au
moins 3 points parmi ces 500 points tels que l’aire du triangle qu’ils d´efinissent soit inf´erieure
`a 50cm2.
10. D´emontrer qu’il existe un nombre entier positif contenant seulement le chiffre 1 (comme les
nombres 111111, 11111111,....) qui est divisible par 7777.
(Indication. Consid´erer les entiers 1, 11, 111, 1111,..., ”1 r´ep´et´e 7778 fois” et leurs restes dans
la division par 7777.)
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11. Il y a 30 ´etudiants dans une classe. L’´etudiant Joseph a fait 12 erreurs dans un test et chacun
des autres ´etudiants a fait moins d’erreurs. Prouvez qu’au moins 3 ´etudiants dans la classe
ont fait le mˆeme nombre des erreurs.
12. Soit (xi, yi, zi), i∈ {1,2,...,9}un ensemble de 9 points distincts ayant des coordonn´ees
enti`eres dans l’espace `a trois dimension. Montrer que le point milieu du segment de droite
reliant au moins une paire de ces points a des coordonn´ees enti`eres
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