La moyenne vue comme "point d’équilibre" 1. Dans la peau d’Archimède, porteur d’eau… Problème 1. Où doit-on placer l’épaule pour équilibrer la perche aux deux bouts de laquelle suspendent deux seaux d’eau de même masse ? Rép. : Très naturellement, au milieu ! Loi 1 : « Des poids égaux s’équilibrent à des distances égales » Problème 2. Quel type de réaction, dans le cas où un seau pèse plus que l’autre ? Rép. : Très naturellement, on décale l’épaule vers le seau le plus lourd ! Loi 2 : « Des poids inégaux s’équilibrent à des distances inégales ; le plus grand étant situé à la plus petite distance » Problème 3. Et donc pour être précis, où mettre l’épaule par exemple si le seau A pèse 3 fois plus que le seau B ? Rép. : Très vite on comprend qu’il faut mettre alors l’épaule trois fois plus près du seau A que du seau B Loi 3, dite Principe des leviers1 : « Des grandeurs quelconques s’équilibrent à des distances inversement proportionnelles à leurs poids » A E I I mA= 3mB B I I I mB m Le principe des leviers signifie EB A 3 , soit finalement EB3EA ; EA mB D’où la découpe en 4 et le placement de E ! 1 Ces lois des leviers sont énoncées pour la première fois dans l’un des mémoires d’Archimède intitulé De l’équilibre des plans. MANGANELLI Stéphan LEGTA « Louis GIRAUD » à CARPENTRAS-SERRES 1/2 ArchiMoyenne.pdf 2. Avec Archimède pour trouver la moyenne… Problème : Trouver avec Archimède le point d’équilibre entre 3, affecté du poids 6, et 11, affecté du poids 2. 5 3 I I I 11 I I I I I I 2 6 On peut écrire grâce au principe des leviers : 11 x 6 x3 2 d’où l’on tire x 63211 (*) 62 soit x5 . Remarques (R1) On retrouve bien l’emplacement du point E précédent ! (R2) On reconnaît bien évidemment en (*) la formule de calcul de la moyenne des valeurs 3 et 11, affectées respectivement des coefficients 6 et 2. (R3) "Rien ne bouge" si l’on remplace 6 et 2 par 3 et 1 ! 3. Du principe des leviers aux vecteurs : généralisation avec le barycentre On peut généraliser ce principe avec la notion (disparue du programme de Première S) de barycentre… Mais l’essentiel, c’est-à-dire donner un sens à l’indicateur statistique de position qu’est la moyenne, est déjà fait ci-dessus… MANGANELLI Stéphan LEGTA « Louis GIRAUD » à CARPENTRAS-SERRES 2/2 ArchiMoyenne.pdf