La moyenne vue comme "point d`équilibre" 1. Dans la peau d

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La moyenne vue comme "point d’équilibre"
1. Dans la peau d’Archimède, porteur d’eau…
Problème 1. Où doit-on placer l’épaule pour équilibrer la perche aux deux bouts de
laquelle suspendent deux seaux d’eau de même masse ?
Rép. : Très naturellement, au milieu !
Loi 1 : « Des poids égaux s’équilibrent à des distances égales »
Problème 2. Quel type de réaction, dans le cas où un seau pèse plus que l’autre ?
Rép. : Très naturellement, on décale l’épaule vers le seau le plus lourd !
Loi 2 : « Des poids inégaux s’équilibrent à des distances inégales ; le plus grand
étant situé à la plus petite distance »
Problème 3. Et donc pour être précis, où mettre l’épaule par exemple si le seau A pèse 3
fois plus que le seau B ?
Rép. : Très vite on comprend qu’il faut mettre alors l’épaule trois fois plus près du
seau A que du seau B
Loi 3, dite Principe des leviers1 : « Des grandeurs quelconques s’équilibrent à des
distances inversement proportionnelles à leurs poids »
A E B
I I I I I
Le principe des leviers signifie
3
B
A
m
m
EA
EB
, soit finalement
EAEB 3
;
D’où la découpe en 4 et le placement de E !
1 Ces lois des leviers sont énoncées pour la première fois dans l’un des mémoires d’Archimède intitulé De l’équilibre des plans.
mA= 3mB
mB

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2. Avec Archimède pour trouver la moyenne…
Problème : Trouver avec Archimède le point d’équilibre entre 3, affecté du poids 6, et
11, affecté du poids 2.
3 5 11
I I I I I I I I I
On peut écrire grâce au principe des leviers :
2
6
3
11 
xx
d’où l’on tire
26 11236 
x
(*)
soit
5x
.
Remarques
(R1) On retrouve bien l’emplacement du point E précédent !
(R2) On reconnaît bien évidemment en (*) la formule de calcul de la moyenne des
valeurs 3 et 11, affectées respectivement des coefficients 6 et 2.
(R3) "Rien ne bouge" si l’on remplace 6 et 2 par 3 et 1 !
3. Du principe des leviers aux vecteurs : généralisation avec le barycentre
On peut généraliser ce principe avec la notion (disparue du programme de Première S) de
barycentre…
Mais l’essentiel, c’est-à-dire donner un sens à l’indicateur statistique de position qu’est la
moyenne, est déjà fait ci-dessus…
6
2