Outils algébriques et numériques

Outils algébriques et numériques 2nde
Outils algébriques et numériques
2nde
1 Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Propriété 1.
⧫
⧫
⧫
⧫
En cinquième, vous avez appris que la multiplication est distributive par rapport à l’addition :
k×(c+d)=k×c+k×d
Propriété 2.
⧫
⧫
⧫
⧫
Puis en quatrième, vous avez découvert la relation suivante :
(a+b)×(c+d)=ac +ad +bc +bd
Théorème 1.
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆
Enfin en troisième, vous avez appris trois nouvelles relations, appelées identités remarquables :
(a+b)2=a2+2ab +b2
(a−b)2=a2−2ab +b2
(a−b)(a+b)=a2−b2
Cas particulier : suppression des parenthèses précédées d’un plus ou d’un moins
On peut considérer : +(a+b)=+1×(a+b)=a+b
+(a−b)=+1×(a−b)=a−b
−(a+b)=−1×(a+b)=−a−b
−(a−b)=−1×(a−b)=−a+b
D’où :
Propriété 3.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
Pour enlever les parenthèses autour d’une expression précédée d’un signe « +», on recopie telle quelle
l’expression (sans modifier les signes).
Pour enlever les parenthèses autour d’une expression précédée d’un signe « −», on recopie l’expression
en inversant tous les signes (« +» devient « −», et « −» devient « +»).
2 Développement - Factorisation
♠Définition :
♠On appelle expression algébrique, une expression comprenant à la fois des nombres et des inconnues.
Exemple : 2x+5−yet (3x−4)(2x+1)sont des expressions algébriques.
♠Définition :
♠On appelle expression numérique, une expression ne contenant que des nombres.
Roussot 1 2012 / 2013

Outils algébriques et numériques 2nde
Exemple : 2×(3+4)−55et (4−5)×3sont des expressions numériques.
Remarque : Une expression numérique est aussi une expression algébrique.
♠Définition :
♠
♠
♠On appelle somme algébrique, une expression algébrique ne contenant aucune parenthèse et écrite
comme sommes ou différences d’expressions algébriques.
Exemple : 2x3+4x−1 4x5−4 2x2−5x+2sont des sommes algébriques.
♠Définition :
♠
♠
♠
♠●Développer une expression algébrique, c’est la transformer en une somme algébrique.
●Factoriser une expression algébrique, c’est la transformer en un produit de sommes algébriques.
Vocabulaire :
●Réduire une somme algébrique, c’est regrouper ensemble des termes de mêmes « nature », par exemple :
2x2+ab +4x−5x2+7ab =
●Ordonner une somme algébrique qui ne comprend qu’une variable ou d’inconnue (xou bien y, etc.), c’est
ranger les termes (après réduction) par ordre croissant ou décroissant de l’exposant de la variable (ou
inconnue), par exemple : 5x2−3x+6x5+2−x6=
Développement
k×(c+d)=k×c+k×d
(a+b)×(c+d)=ac +ad +bc +bd
(a+b)2=a2+2ab +b2
(a−b)2=a2−2ab +b2
(a−b)(a+b)=a2−b2
Factorisation
3 Exemples
Exemple :
1. Développer et réduire (éventuellement ordonner) chacune des expressions suivantes :
a. (1+3a)2
b. 5(x−y)
c. (2x−3y)(2x+3)
2. Factoriser chacune des expressions suivantes :
a. 10x2+5xy
b. x2−6x+9
c. 8x2−121
Roussot 2 2012 / 2013

Outils algébriques et numériques 2nde
4 Fractions
Remarque : On ne peut jamais avoir 0au dénominateur.
♠Définition :
♠
♠
♠
♠Le trait de fraction séparant le numérateur (au dessus du trait) et le dénominateur (au dessous du
trait) représente la division du numérateur par le dénominateur.
Propriété 4.
⧫
⧫Égalité de fractions (simplification et dénominateur commun) : a
b=a×k b×ket a b=a÷k b÷k
Exemple : 21
24 =6 5=
♠Définition :
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
Une fraction irréductible est une fraction qui ne peut plus se simplifier, c’est à dire qu’il n’existe pas
un nombre entier qui puisse diviser à la fois le numérateur et à la fois le dénominateur.
Je vous rappelle une propriété que vous avez vue en troisième qui est : une fraction est irréductible si et
seulement si le pgcd du numérateur et du dénominateur est égal à 1.
Propriété 5.
⧫
⧫Multiplications de deux fractions : a
b×c d=a×c b×d
Exemple : 3
8×6 5=2a 3×5b 4a=
Remarque : Cas particulier : a×b
c=a 1×b c=a×b 1×c=a×b c, par exemple : 3 4×5=
Propriété 6.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
Additions et soustractions de deux fractions :
1. ayant le même dénominateur : a
c+b c=a+b cet a c−b c=a−b c
2. avec des dénominateurs différents : Pour additionner ou soustraire deux fractions n’ayant pas le
même dénominateur, je commence par les mettre au même dénominateur, puis on applique le 1.
Exemple : 7
6+13 6=7 5−3 5=
2a
11 +6a 11 −15 11 =11 3−5 4=
2+7
5=a 4−a 6=
Propriété 7.
⧫
⧫Inverse d’une fraction : l’inverse de la fraction a
b(avec a≠0et b≠0) est la fraction b a. .
Exemple : L’inverse de 3
11 est
Remarque : Cas particulier : l’inverse de a(a≠0) est la fraction 1
a, par exemple, l’inverse de 5est
Propriété 8.
⧫Diviser par une fraction : revient à multiplier par l’inverse de cette fraction.
Exemple : 5÷3
4=
7
8
5
3=3a
5÷(6a)=
Roussot 3 2012 / 2013

Outils algébriques et numériques 2nde
Remarque : Toutes les propriétés ci-dessus sur les fractions s’appliquent aussi avec des écritures fraction-
naires (c’est à dire quand numérateur ou dénominateur ne sont pas forcément des entiers).
5 Puissances
♠Définition :
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
♠
Soit aun nombre quelconque.
Pour tout entier n≥2, on a : an=a×a×⋅⋅⋅×a
nfacteurs
;ns’appelle l’exposant de an.
Par convention :
●a1=aet a0=1
●pour nentier naturel et a≠0,a−n=1
an
Exemple :
1. 53=
2. a4=
3. 171=
4. 530=
5. 6−2=
6. 2−1=
Propriété 9.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
1. Pour net pdes entiers et aun nombre non nul :
a. an×ap=an+pb. an
ap=an−pc. (an)p=an×p
2. Pour aet bdes nombres non nuls et nun entier :
a. (a×b)n=an×bnb. a
bn=an bn
Exemple :
1. 4210 ×4214 =
2. 895
892=
3. (a≠0)a2
a5=
4. 56134=
5. x3−2=
6. 26×56=
7. (3x)3=
8. b
54=
9. 1
73=
Propriété 10.
⧫
⧫
⧫
⧫
Écriture scientifique : Soit xun nombre décimal non nul.
Alors il existe un nombre décimal acompris entre 1(inclus) et 10 (exclu) (1≤a<10) et un entier relatif
ntels que x=±a×10n.
Exemple :
● −4567,89 =
●54,6926 ×10−8=
●0,02345 =
Roussot 4 2012 / 2013

6 Racines carrées
♠Définition :
♠
♠
♠
♠Pour un nombre apositif, on appelle racine carrée de aet on note √al’unique nombre positif dont
le carré est égal à a.
Exemple : √81 =
Propriété 11.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
●Pour a≥0,
1. √a≥02. √a2=a3. √a2=a
Remarque : Pour a<0,√a2=−a
●Pour a≥0et b≥0,
4. √ab =√a×√b●Pour a≥0et b>0,
5. a
b=√a
√b
Exemple :
1. √36 =
2. 4
9=
3. √18 =
4. 16
27 =
6 Racines carrées
♠Définition :
♠
♠
♠
♠Pour un nombre apositif, on appelle racine carrée de aet on note √al’unique nombre positif dont
le carré est égal à a.
Exemple : √81 =
Propriété 11.
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
⧫
●Pour a≥0,
1. √a≥02. √a2=a3. √a2=a
Remarque : Pour a<0,√a2=−a
●Pour a≥0et b≥0,
4. √ab =√a×√b●Pour a≥0et b>0,
5. a
b=√a
√b
Exemple :
1. √36 =
2. 4
9=
3. √18 =
4. 16
27 =