CONCOURS COMMUN MINES-PONTS OPTION P` Ce problème est

CONCOURS COMMUN MINES-PONTS
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2ème coiilposition 1/5
ÉCOLE NATIONALE DES PONTSET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,DES MINES DE SAINT-ETIENNE,DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONSDE BRETAGNE
ECOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION TA.)
CONCOURS D'ADMISSION 1995
DEUXIÈMEÉPREUVE
OPTION P'
(Durée de l'épreuve :4 heures)
L,es candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
MATHEMATIQUES II P'.
L'émncé de cet& &preuve.particdiin? aux candidats de l'option Po,comporte 5 pages.
Ce problème est consacré à l'étude d'un ensemble G de matrices g carrées d ' d e 2 d&fmks
1ar la relarion suivante :
)Ù a et
8 sont deux réels ;a est différent d e 0 :(a,p) E I8*xI8-
Les propriéte%de ces ma&
sont utiIisées pour étudier deux applications :
l'une, a,(@,
définie dans l'espace des polynômes réels, associe à un polynôme P le polynhe Q
défini par la relation : Q(x) = P(ax + p)
l'autre, Y@),est une application définie dans l'espace des suites réelles.
Le but de cette partie est de montrer la structure de groupe multiplicatif de G et de caractérir les morphismes de ce groupe dans le g r o ~multiplicatif
i
(IR *, .).
Io) Démontrer que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe noté (G, .).
Io) Détenniner, pour toute matrice g qui appartient à G et dont le déterminant est différent de 1,
une matrice h appartenant à G , de déterminant égal à 1, telle que la mamce h-'.g.h soit une
matrice diagonale.
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2i3111e composition 2/5
1-3’) Soit g une matrice qui appartient à G et dont le déterminant est égal à 1 ; démontrer que, si
cette mamce est distincte de la matrice unité 12, il existe une unique mamce h diagonale
appartenant à G telle que la matrice h-l.g.h soit égale à la matrice triangulaire t dont les
éléments valent O ou 1 :
11
h-1.g.h = t =
)
.
1-4’) Soit cp un morphisme du groupe multiplicatif (IR *, .) ; soit det l’application de G dans IR* :
g-det(g).
Démontrer que l’application composée u = cpodet est un morphisme du groupe
(G, .) dans le groupe multiplicatif
(IR*, .).
1-5’) Soit D le sous-ensemble des matrices diagonales de G. Les matrices de D seront notées :
da =
[ O]
,OÙ a est un réel distinct de O .
1
a.
Démontrer que (D, .) est un sous-groupe de (G, .)- Démontrer qu’il est isomorphe au
I
groupe multiplicatif (IR*,.). Préciser un isomorphisme J de (IR*, .) sur @, .).
b.
Soit u un morphisme de (D, .) sur (IR*, .). Démontrer que le morphisme u s’exprime à
l’aide de l’application composée cpodet OÙ cp est un morphisme du groupe multiplicatif
(IR*, .) et det l’application : gHdet(g).
1-6’) Soit u un morphisme de (G, .) sur (IR*, .).
a.
Démontrer que la valeur prise par ce morphisme sur une matrice g de G d8 déterminant
différent de 1 est égale à la valeur prise par u sur une matrice diagonale semblable à la
matrice g.
b.
Comparer la valeur prise par ce morphisme u sur une mamce g de G de déterminant égal il
1, distincte de 12, à la valeur prise sur la matrice t, définie à la question 1-3” ;préciser u(t).
En déduire la valeur u(g) pour toute matrice de déterminant égal à 1.
c.
Démontrer que toute matrice g de G, distincte de 12, est égale au produit d’une mamce de
G dont le déterminant est égal à 1 et d’une mamce diagonale.
d.
Démontrer qu’il existe un morphisme cp de (IR
l’application composée de cp et de det : <podet.
*,
.) tel que le morphisme u soit
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2èine coiiipositioii 3/5
L’objet de cette partie est l’étude d’endomorphismes de l’espace vectoriel des polynômes
dels R[X] définis à partir de matrices du groupe G. Étant donnée une matrice g de G, associons
àtout polynôme P de R[X], le polynôme O(g)(P), défini par la relation : x ~ P ( a x + P ) Les
. réels a
et P sont les deux réels qui servent à dsinir la matrice g.
11-1”) Démontrer que l’application O(g) : PoO(g)(P) est un endomorphisme de R[X]. Comparer
pour deux matrices g et h de G le polynôme O(g.h)(P) et le polynôme O(g)(<D(h)(P)).
Démontrer que l’application g o @ @ ) est un morphisme injectif du groupe (G, .) dans le
groupe linéaire de l’espace vectoriel R[xJ.
II-2”)Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
Démontrer que le sous-espace vectoriel Rn[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à
a.
n, est stable par O(g).Soit On(@ la restriction de O(g)à Rn[X].
b.
Soit Mn(g) la matrice associée à l’application linéaire On(@ dans la base canonique de
IBn[X]. Donner l’expression de l’élément mp,q de cette matrice en numérotant les lignes et
les colonnes de O à n. Préciser ses valeurs propres. Quelle est la matrice Mn(g), lorsque g
est une matrice diagonale ?
C.
Démontrer, en utilisant les résultats des questions 1-2”et 11-1”’ que si le déterminant de la
matrice g est différent de 1, l’application linéaire O&) est diagonalisable. Déterminer la
matrice de passage de la base canonique de Rn[X] à une base de vecteurs propres ; en déduire une base de vecteurs propres.
d.
La matrice g est supposée avoir un dCterminant égala 1 et être différente de la matrice 12.
Déterminer le ou les vecteurs propres de l’application On(@.
Soit k un entier compris entre 1 et n ; soit Q( le polynôme On(g)(Xk)-Xk. Déterminer le
sous-espace vectoriel engendré par ces polynômes.
Démontrer l’existence d’une suite de polynômes Po, Pl, ..., Pn de l’espace Rn[X] qui vérifient les relations :
Po = 1 ; pour tout entier k, 1 Ik In, On(g)(Pk) = Pk + Pk-1 et pk(0) = o.
Préciser le degré et le coefficient du terme dominant de Pk. Démontrer que cette suite de
polynômes est une base de l’espace vectoriel R,[X]. Quelle est la matrice associée à
l’application an@) dans cette base ?
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2èi11e coiilposition 4/5
Troisièm partie.
Soit Y' l'ensemble des suites réelles : Y' = { A I A = (anhe N ,an E IR 1. Il est admis que
est un espace vectoriel réel. Étant donnée une matrice g de G, associons à toute suite A = (an),,Ew,
de l'espace Y la suite Y(g)(A) = (b&e M , définie par les relations :
n
bo = ag ; pour tout entier n ,n 2 1 ,
bn =
C C,ParP Pn-P a,.
P=o
Les réels a et P sont les deux réels qui définissent la matrice g. L'objectif final est d'étudier, pour
une suite A donnée, la convergence de la série entière définie partir de la suite "(@(A).
111-1') Démontrer que l'application Y (g) : A H Y(g>(A) est un endomorphisme de l'espace
vectoriel Y'.
III-2') Désignons par An et Bn les matrices colonnes d'Cléments ap ,Or@ ,et b, ,Oqm~
An =
[;]; ..-(il
Exprimer la matrice M telle que la relation : Bn = M.An ait lieu, en fonction de la matrice
Mn(g). Démontrer, pour deux matrices g et h quelconques de G, la relation :
Y(g.h) = Y(h)o'€'(g) .
En déduire que les applications Y(g), lorsque g varie dans G, sont des automorphismes de
l'espace vectoriel Y'.
Ill-3') Exemples :
Déterminer la suite Y(da)(A) lorsque la mamce da de G est diagonale et la suite A est
a.
quelconque dans Y'.
b.
La matrice g étant donnée dans G ; dCterminer la suite B = Y(g)(A) lorsque la suite A est
la suite géométrique an = rn , ne N ; r est un réel donné différent de O. DCterminer les
rayons de convergence des séries entières de termes généraux : an xn ,ne N et bn xn ,ne N ;
calculer leurs sommes :
O0
00
S(X)=
C anx"
n=O
;
T(x)=
C bnxn
.
n=O
Déterminer de même l'image D = Y(g)(C) = (&)ne N, de la suite arithmCtique C de terme
général C n = n, ne N. Déteminer les rayons de convergence des séries entières de termes
généraux Cn xn et dn xn, ne €4, et les sommes de ces deux séries.
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2 ème coiil p osi t i o 11 5 / 5
:
III-40)Dans cette question g est une matrice de G telle que les rr5cls a et p v&ifient les
a > o , p 20.
a. Démontrer qu'il existe deux matrices t+ et & appartenant B G dont le produit cp.& est 6g.d
il g : g = cp.&, telles que :
b.
c,
la matrice & est une matrice diagonale de G.
Soit cp la mamce définie ci-dessus ; p un réel tel que : O c p I1; démontrer que, si A est
une suite convergente de limite 4, la suite B = Y(cp)(A)est convergente et a même limite.
Déduire des résultats précédents que, si la suite A est une suite convergente de limite 4le
terme général bn , nE M, de la suite B = Y(g)(A) peut s'écnre :
bll=cnm,
où Cn , nE W, est le terme g 6 n M d'une suite convergente de limite R et r un réel.
Le but des deux dernières questions est de d6muntrer que, si la série ent2x-e de texme g h h l
a,,xn ,nE W, a un rayon de comrergtncx striFtement positif, la série e n t i h de terme g&uW hx*,
REN, OÙ la suite B = (bn)nc p~ est la suite \fi(g)(A), a, elle aussi, un rayon de convergence s e ment positif,
UI-5') Soient A = (ankc w une suite de Y', g une matrice de G et xo un réel strictement positif.
Désignons par U la suite de terme général U n = ~ ( x o ) " ,nE W. Soit B la suite image par
l'application Y(g) de la Suite A :B= ¶!(@(A) = (b&E w .
a
b.
c.
Démontrer qu'il existe un réel a tel que la suite U soit l'image par l'application Y(Q de
la suite A : U = Y ( a ( A ) .
Démontrer qu'il existe une matrice h de G telle que la suite B soit l'image par l'application
Y(h) de la suite U.
Supposons que les réels a et p de la mamce g vérifient les inégalités : a > O, p 1 O et que
la suite U tende vers O. Soit x un réel strictement positif ; donner une condition suffisante
sur x pour que la suite de terme général b,xn, nc W, tende vers O.
11-6') Soit g une matrice quelconque de G ;dauire des résultats précédents que, si la s6rie e n t i h
de terme général anxn , ntz Rt, a un rayon de convergence RA strictement positif, la &rie
entière de terme général b x n ,n e W, où la suite B = (b,)nE w est la suite Y(g)(A), a, elle
aussi, un rayon de convergence RB strictement positif ; donner un minorant du rayon de
convergence RB.