CONCOURS COMMUN MINES-PONTS OPTION P` Ce problème est

CONCOURS COMMUN MINES-PONTS 111
2ème coiilposition 1/5
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE
ECOLE POLYTECHNIQUE
(OPTION
TA.)
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
CONCOURS D'ADMISSION 1995
DEUXIÈME ÉPREUVE
OPTION P'
(Durée de l'épreuve : 4 heures)
L,es candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie :
L'émncé de cet& &preuve. particdiin? aux candidats de l'option Po, comporte 5 pages.
MATHEMATIQUES II P'.
Ce problème est consacré à l'étude d'un ensemble G de matrices g carrées d'de 2 d&fmks
1ar la relarion suivante :
)Ù a et 8 sont deux réels ; a est différent de0 : (a, p) E I8*xI8-
Les propriéte% de ces ma& sont utiIisées pour étudier deux applications :
l'une, a,(@, définie dans l'espace des polynômes réels, associe à un polynôme P le polynhe Q
défini par la relation : Q(x) = P(ax + p)
l'autre, Y@), est une application définie dans l'espace des suites réelles.
Le but de cette partie est de montrer la structure de groupe multiplicatif de G et de caractéri-
r les morphismes de ce groupe dans le gro~i multiplicatif (IR *, .).
Io) Démontrer que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe noté (G, .).
Io) Détenniner, pour toute matrice g qui appartient à G et dont le déterminant est différent de 1,
une matrice h appartenant à G, de déterminant égal à 1, telle que la mamce h-'.g.h soit une
matrice diagonale.

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2i3111e composition 2/5
1-3’) Soit g une matrice qui appartient à G et dont le déterminant est égal à 1 ; démontrer que, si
cette mamce est distincte de la matrice unité 12, il existe une unique mamce h diagonale
appartenant
à G telle que la matrice h-l.g.h soit égale à la matrice triangulaire t dont les
éléments valent
O ou 1 :
11
h-1.g.h = t =
) .
1-4’) Soit cp un morphisme du groupe multiplicatif (IR *, .) ; soit det l’application de G dans IR* :
g-det(g). Démontrer que l’application composée u = cpodet est un morphisme du groupe
(G, .) dans le groupe multiplicatif (IR*, .).
1-5’) Soit D le sous-ensemble des matrices diagonales de G. Les matrices de D seront notées :
da = [ O] , OÙ a est un réel distinct de O .
a. Démontrer que
(D, .) est un sous-groupe de (G, .)- Démontrer qu’il est isomorphe au 1
I
groupe multiplicatif (IR*, .). Préciser un isomorphisme J de (IR*, .) sur @, .).
b.
Soit u un morphisme de (D, .) sur (IR*, .). Démontrer que le morphisme u s’exprime à
l’aide de l’application composée cpodet OÙ cp est un morphisme du groupe multiplicatif
(IR*, .) et det l’application : gHdet(g).
1-6’) Soit u un morphisme de (G, .) sur (IR*, .).
a. Démontrer que
la valeur prise par ce morphisme sur une matrice g de G d8 déterminant
différent de
1 est égale à la valeur prise par u sur une matrice diagonale semblable à la
matrice g.
b.
Comparer la valeur prise par ce morphisme u sur une mamce g de G de déterminant égal il
1, distincte de 12, à la valeur prise sur la matrice t, définie à la question 1-3” ; préciser u(t).
En déduire la valeur u(g) pour toute matrice de déterminant égal
à 1.
c. Démontrer
que toute matrice g de G, distincte de 12, est égale au produit d’une mamce de
G dont le déterminant est égal à 1 et d’une mamce diagonale.
d. Démontrer qu’il existe un morphisme
cp de (IR *, .) tel que le morphisme u soit
l’application composée de
cp et de det : <podet.

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2èine coiiipositioii 3/5
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L’objet de cette partie est l’étude d’endomorphismes de l’espace vectoriel des polynômes
dels R[X] définis
à partir de matrices du groupe G. Étant donnée une matrice g de G, associons
àtout polynôme P de R[X], le polynôme O(g)(P), défini par la relation
: x~P(ax+P). Les réels a
et P sont les deux réels qui servent à dsinir la matrice g.
11-1”) Démontrer que l’application O(g) : PoO(g)(P) est un endomorphisme de R[X]. Comparer
pour deux matrices
g et h de G le polynôme O(g.h)(P) et le polynôme O(g)(<D(h)(P)).
Démontrer que l’application
go@@) est un morphisme injectif du groupe (G, .) dans le
groupe linéaire de l’espace vectoriel R[xJ.
II-2”) Soit n un entier supérieur ou égal à 1.
a.
b.
C.
d.
Démontrer que le sous-espace vectoriel Rn[X] des polynômes de degré inférieur ou égal à
n, est stable par O(g). Soit On(@ la restriction de O(g) à Rn[X].
Soit Mn(g) la matrice associée à l’application linéaire On(@ dans la base canonique de
IBn[X]. Donner l’expression de l’élément mp,q de cette matrice en numérotant les lignes et
les colonnes de O à n. Préciser ses valeurs propres. Quelle est la matrice Mn(g), lorsque g
est une matrice diagonale ?
Démontrer, en utilisant les résultats des questions 1-2” et 11-1”’ que si le déterminant de la
matrice
g est différent de 1, l’application linéaire O&) est diagonalisable. Déterminer la
matrice de passage de la base canonique de Rn[X]
à une base de vecteurs propres ; en dé-
duire une base de vecteurs propres.
La matrice g est supposée avoir un dCterminant égala 1 et être différente de la matrice 12.
Déterminer le ou les vecteurs propres de l’application On(@.
Soit
k un entier compris entre 1 et n ; soit Q( le polynôme On(g)(Xk)-Xk. Déterminer le
sous-espace vectoriel engendré par ces polynômes.
Démontrer l’existence d’une suite de polynômes Po, Pl,
. . ., Pn de l’espace Rn[X] qui véri-
fient les relations
:
Préciser le degré et le coefficient du terme dominant de Pk. Démontrer que cette suite de
polynômes est une base de l’espace vectoriel R,[X]. Quelle est la matrice associée
à
l’application an@) dans cette base ?
Po = 1 ; pour tout entier k, 1 I k I n, On(g)(Pk) = Pk + Pk-1 et pk(0) = o.

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2èi11e coiilposition 4/5
Troisièm partie.
Soit Y' l'ensemble des suites réelles :
Y' = { A I A = (anhe N , an E IR 1. Il est admis que
est un espace vectoriel réel. Étant donnée une matrice g de G, associons à toute suite A = (an),,E w,
de l'espace Y la suite Y(g)(A) = (b&e M , définie par les relations :
n
bo = ag ; pour tout entier n , n 2 1 , bn = C C,P arP Pn-P a,.
P=o
Les réels a et P sont les deux réels qui définissent la matrice g. L'objectif final est d'étudier, pour
une suite
A donnée, la convergence de la série entière définie partir de la suite "(@(A).
111-1') Démontrer que l'application Y (g) : AH Y(g>(A) est
un endomorphisme de l'espace
vectoriel Y'.
III-2') Désignons par An et Bn les matrices colonnes d'Cléments ap , Or@ , et b, , Oqm~
An = [;]; ..-(il
Exprimer la matrice M telle que la relation : Bn = M.An ait lieu, en fonction de la matrice
Mn(g). Démontrer, pour deux matrices
g et h quelconques de G, la relation :
En déduire que les applications Y(g), lorsque g varie dans G, sont des automorphismes de
l'espace vectoriel
Y'.
Y(g.h) = Y(h)o'€'(g) .
Ill-3') Exemples :
a. Déterminer la suite Y(da)(A) lorsque la mamce da de
G est diagonale et la suite A est
quelconque dans Y'.
b. La matrice g étant donnée dans G ; dCterminer la suite B = Y(g)(A) lorsque la suite A est
la suite géométrique an = rn , ne N ; r est un réel donné différent de O. DCterminer les
rayons de convergence des séries entières de termes généraux
: an xn , ne N et bn xn , ne N ;
calculer leurs sommes :
00
O0
S(X)= C anx" ; T(x)= C bnxn .
n=O
n=O
Déterminer de même l'image D = Y(g)(C) = (&)ne N, de la suite arithmCtique C de terme
général
Cn = n, ne N. Déteminer les rayons de convergence des séries entières de termes
généraux
Cn xn et dn xn, ne €4, et les sommes de ces deux séries.

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2 ème coiil p osi t i o 11 5 / 5
115
III-40) Dans cette question g est une matrice de G telle que les rr5cls a et p v&ifient les
:
a>o,p 20.
a. Démontrer qu'il existe deux matrices t+ et & appartenant B G dont le produit cp.& est 6g.d
il g : g = cp.&, telles que :
la matrice & est une matrice diagonale de G.
Soit cp la mamce définie ci-dessus ; p un réel tel que : O c p I 1; démontrer que, si A est
une suite convergente de limite 4, la suite B = Y(cp)(A) est convergente et a même limite.
Déduire des résultats précédents que, si la suite A est une suite convergente de limite 4 le
terme général
bn , nE M, de la suite B = Y(g)(A) peut s'écnre :
b.
c,
bll=cnm,
où Cn , nE W, est le terme g6nM d'une suite convergente de limite R et r un réel.
Le but des deux dernières questions est de d6muntrer que, si la série ent2x-e de texme ghhl
a,,xn , nE W, a un rayon de comrergtncx striFtement positif, la série entih de terme g&uW hx*,
RE N, OÙ la suite B = (bn)nc p~ est la suite \fi(g)(A), a, elle aussi, un rayon de convergence se-
ment positif,
UI-5') Soient A = (ankc w une suite de Y', g une matrice de G et xo un réel strictement positif.
Désignons par
U la suite de terme général Un = ~(xo)", nE W. Soit B la suite image par
l'application Y(g) de la Suite A : B= ¶!(@(A) = (b&E w .
a
Démontrer qu'il existe un réel a tel que la suite U soit l'image par l'application Y(Q de
la suite A : U = Y(a(A).
Démontrer qu'il existe une matrice h de G telle que la suite B soit l'image par l'application
Y(h) de la suite
U.
Supposons que les réels a et p de la mamce g vérifient les inégalités : a > O, p 1 O et que
la suite U tende vers O. Soit x un réel strictement positif ; donner une condition suffisante
sur x pour que la suite de terme général b,xn, nc W, tende vers O.
b.
c.
11-6') Soit g une matrice quelconque de G ; dauire des résultats précédents que, si la s6rie entih
de terme général anxn
, ntz Rt, a un rayon de convergence RA strictement positif, la &rie
entière de terme général bxn , ne W, où la suite B = (b,)nE w est la suite Y(g)(A), a, elle
aussi,
un rayon de convergence RB strictement positif ; donner un minorant du rayon de
convergence
RB.