B - Cjoint

Chapitre I :
L’équilibre du
consommateur
1
I – Les hypothèses de comportement :
• On n’étudiera pas ici le comportement d'un
consommateur "réel" observé dans son milieu.
• On définira les règles de comportement d'un
« homo oeconomicus » . Objectif unique :
maximisation de l'utilité.
=> hypothèses extrêmement lourdes.
2
A – L’indépendance des choix :
• Consommateur influencé par aucun autre agent :
– Ni les autres consommateurs : pas d'effet de
mode ni de démonstration.
– Ni les producteurs : dans la relation offredemande le consommateur est "souverain"
3
B - La rationalité :
• Consommateur supposé parfaitement rationnel
dans tous ses choix
 maximisation de sa fonction d'utilité sous
contrainte de budget
4
B - La rationalité
• problème posé successivement de deux manières
par les premiers marginalistes :
forme cardinale et ordinale.
5
1) L'utilité cardinale :
• Version la plus ancienne : consommateur capable
de fixer une valeur absolue à l'utilité de tous les
biens
• Exemple : pour un consommateur donné une table
aura une utilité de 10 et une chaise une utilité de 5.
6
1) L'utilité cardinale :
• Ces deux nombres doivent être considérés comme
des valeurs absolues
 dans cet exemple, une table est exactement
deux fois plus utile qu'une chaise
ou l'utilité d'une table est équivalente à celle de
deux chaises.
7
1) L'utilité cardinale :
• Fonction mathématique : met en relation l'utilité
que procure à un consommateur n'importe quelle
quantité offerte d'un bien X :
UT = f(x)
UT : utilité totale
x : quantité du bien
8
1) L'utilité cardinale :
• En faisant varier les quantités de x d’une valeur
Δx, on peut en déduire la variation correspondante
de l’utilité totale : ΔUT.
• Le rapport des deux est appelé utilité marginale :
Um = ΔUT/Δx
9
1) L'utilité cardinale :
• Exemple :
soit une série de quantités consommées d’un bien
x : 0, 1, 2, 3, 4, 5
A chaque quantité peut être associée une valeur de
l’utilité totale :
UT : 0, 5, 8, 10, 12, 14
10
1) L'utilité cardinale :
• série des utilités marginales :
x:01
UT : 0 5  Um = 5/1 = 5
x:12
UT: 5 8  Um = 3/1 = 3
x : 2 3
UT : 810  Um = 2/1 = 2
Etc…
11
1) L'utilité cardinale :
• L’utilité marginale : supplément d’utilité procuré
par la consommation supplémentaire d’une unité
du bien
• On note ici l’illustration de la loi de l’utilité
marginale décroissante.
12
1) L'utilité cardinale :
• JEVONS avait forgé un terme désignant une unité
de mesure fictive pour l’utilité : les « utils ».
• Par la suite abandon de cette conception qui posait
problème à deux niveaux :
13
1) L'utilité cardinale :
• capacité de calcul permettant d’affecter une valeur
à l’utilité de chaque bien.
• fixer la valeur absolue de l’utilité d’un bien
indépendamment de tous les autres : biens
complémentaires, biens substituables.
=> autre conception de l’utilité.
14
2) L’utilité ordinale :
• L’ utilité n’est plus quantifiée en valeur absolue
On utilise seulement l’ordre de classement des
différents biens par ordre d’utilité.
• Le consommateur fournit seulement une échelle
de préférence
15
2) L’utilité ordinale :
• Application du calcul ordinal.
Exemple :
On cherche à classer les individus d’une classe par
rang de taille  2 méthodes :
16
2) L’utilité ordinale :
• Méthode « cardinale » :
On dispose d’un instrument de mesure (un mètre),
que l’on utilise pour mesurer les tailles des
individus en valeur absolue.
Puis on constitue le classement
17
2) L’utilité ordinale :
• Méthode « ordinale » :
On compare 2 à 2 tous les individus et on les
classe ainsi du plus grand au plus petit
Chaque individu se voit affecter un n° d’ordre
 résultat identique en terme de classement
18
2) L’utilité ordinale :
• Mais les nombres affectés à chaque individu n’ont
pas la même signification :
• On peut dire qu’un individu de 2 m est 2 fois plus
grand qu’un individu d’1 m : raisonnement
« cardinal » (en val. absolue)
• Mais l’individu de rang 5 n’est pas 2 fois plus
grand que celui de rang 10 : raisonnement
« ordinal » (par rangs de classement)
19
2) L’utilité ordinale :
• De la même façon si un individu affecte au bien x
un niveau d’utilité 5, cela ne signifie pas qu’il est
2 fois moins utile que y qui a un rang d’utilité 10
• Cela signifie uniquement que x est moins utile
que y
20
2) L’utilité ordinale :
• Il est ainsi possible de construire des fonctions
mathématiques intégrant comme variables des
niveaux d’utilité : fonctions d’utilités ordinales :
U = f (x,y,z,…,n) où x,y,z,…,n sont des quantités
de biens et U un niveau d’utilité
21
3) La contrainte de budget
• Le processus de maximisation de l’utilité par le
consommateur ne peut être poursuivi sans
contraintes
• Il est limité par :
– Le revenu disponible : R, donné sous forme
monétaire
– Les prix unitaires des différents biens
22
3) La contrainte de budget
• La dépense totale est obtenue en additionnant les
quantités des biens consommés multipliées par
leurs prix.
Exemple : dépense en bien x :
x . px
avec x : quantité de x ; px : prix unitaire de x
• Cette dépense totale ne peut excéder le revenu
DT ≤ R
23
C – La rareté relative
• Compte tenu des contraintes de prix et de revenu
on postule que les besoins ne sont jamais
globalement saturés
• Conséquence : le consommateur préfèrera toujours
une combinaison de biens qui contient des
quantités supérieures
24
C – La rareté relative
Exemple : Soient 2 paniers de biens A et B :
A = 2x, 3y, 4z
B = 4x, 6y, 8z
On a toujours :
B
A
Se lit : « B est préféré à A »
25
D - L’axiome de totalité
Quels que soient les paniers A et B, le consommateur
doit toujours pouvoir les comparer entre eux, donc :
 A, B on a :
A
B
ou B
A
ou A ~ B
26
E – L’axiome de transitivité
 A, B, C :
Si A
B
A
Et si B
C
C
27
E – L’axiome de transitivité
• Correspond à la cohérence des choix :
– Un individu est toujours capable de classer les
biens (les besoins), par ordre de préférence.
– Ses décisions d’achat sont toujours conformes à
ce classement
28
E – L’axiome de transitivité
• Un même bien ne peut figurer à 2 endroits
différents d’un même classement
29
F – La réflexivité
La relation A
A existe
(A est préféré ou équivalent à A)
30
G – La divisibilité et l’homogénéité
• Les biens sont supposés parfaitement divisibles et
homogènes. Conséquences :
– Un bien peut être décomposé en unités aussi
petites que l’on veut
– Deux unités différentes d’un même bien sont
strictement identiques
31
G – La divisibilité et l’homogénéité
• Ces conditions rendent possible la construction
d’une relation fonctionnelle entre l’utilité et les
quantités consommées des biens:
 x,y  U = f (x,y)
32
G – La divisibilité et l’homogénéité
• Cette fonction peut être dérivée par rapport à x et y :
U’x = f’x (x, y) = δU/δx
U’y =f’y (x, y) = δU/δy
[ δ correspond à delta minuscule. Se lit « d rond ».
Signifie : une variation qui tend vers zéro ]
33
G – La divisibilité et l’homogénéité
• U’x et U’y sont les utilités marginales respectives de x
et de y
• On retrouve ici les résultats du B –
34
G – La divisibilité et l’homogénéité
• Sauf que dans le rapport ΔU/Δx, le symbole Δ (delta
majuscule) représentait une variation d’amplitude
quelconque alors que dans δU/δx le symbole δ (delta
minuscule) représente une variation qui tend vers 0
(différentielle)
35
G – La divisibilité et l’homogénéité
• Le rapport ΔU/Δx (rapport de 2 variations
quelconques), est une approximation du rapport
δU/δx (rapport de 2 différentielles).
• Ce rapport δU/δx se calcule en dérivant la fonction
U par rapport à x, ce qui donne la valeur exacte de
l’utilité marginale.
36
G – La divisibilité et l’homogénéité
Deux manières de calculer les utilités marginales,
donc :
• Une manière approchée, en utilisant les Δ
(mesurées dans un tableau de variations par
exemple).
• Une manière exacte en utilisant les δ (en calculant
les dérivées).
37
H – La substituabilité partielle
• Les biens sont tous substituables entre eux, sans
que cette substituabilité soit parfaite.
• Conséquence : on peut maintenir constante l’utilité
d’un consommateur en consommant plus d’un
bien et moins d’un autre.
38
II – Représentation graphique
• On peut représenter graphiquement les fonctions
d’utilité au moyen de courbes appelées courbes
d’indifférence
39
A – Construction des courbes
• Les fonctions représentées sont du type :
U = f(x, y)
• Trois variables au total :
– Une variable déterminée : U (l’utilité)
– Deux variables déterminantes x et y (les
quantités de 2 biens)
 Diagramme en 3 dimensions
40
U
y
41
x
A – Construction des courbes
• Courbe en 3 dimensions en forme de cloche
• La courbe globale représente la fonction d’utilité
U = f(x, y)
• On a fait figurer 3 coupes horizontales opérées
dans la courbe globale
42
U = f(x, y)
U
U3
U2
y
U1
C3
C1 C2
43
x
A – Construction des courbes
• Les 3 courbes C1, C2 et C3 ont été obtenues en
projetant sur le plan horizontal (x, y) trois coupes
opérées dans la courbe globale d’utilité, aux
niveaux U1, U2 et U3 respectivement.
44
A – Construction des courbes
• On peut ensuite redresser le plan (x, y) pour le
rendre vertical.
• Les 3 courbes (courbes de niveau) C1, C2 et C3
apparaissent ainsi tracées dans un système d’axes
à 2 dimensions.
45
y
yA
A
C3
B
yB
C2
C1
xA
xB
x
46
A – Construction des courbes
• Les 3 courbes C1, C2 et C3 sont appelées courbes
d’indifférence :
le consommateur est indifférent à choisir
n’importe quelle combinaison (x, y) sur chacune
d’entre elles, puisqu’elles lui procurent le même
niveau d’utilité.
47
A – Construction des courbes
• Exemple : sur le graphique les 2 combinaisons
A(xA, yA) et B(xB, yB) fournissent au consommateur
le même niveau d’utilité U1.
• C’est le cas pour tous les autres points de la courbe
C1.
48
Définition :
• Une courbe d’indifférence est le lieu
géométrique de l’ensemble des combinaisons x, y
qui procurent au consommateur le même niveau
d’utilité.
• L’ensemble des courbes d’indifférences d’un
consommateur est appelé carte d’indifférence.
49
y
Carte d’indifférence
Cn
C3
C2
C1
x
50
B – Propriétés des courbes d’indifférence
1) Plus une courbe d’indifférence est éloignée de
l’origine, plus l’utilité atteinte est élevée
51
B – Propriétés
2) Les courbes d’indifférence sont toujours
décroissantes :
Démonstration par l’absurde : on part du cas
inverse : courbe croissante
52
y
I
B
yB
A
yA
xA
xB
x
53
B – Propriétés
• A et B appartiennent à la même courbe I donc :
AB
• Or B contient à la fois plus de x et plus de y que A
 B est strictement préféré à A
 conséquence de l’axiome de non saturation
54
B – Propriétés
• On ne peut avoir en même temps les deux
situations : impossible.
• Conclusion : les courbes d’indifférences ne
peuvent être croissantes
55
B – Propriétés
• Conséquences de la décroissance des courbes :
x et y varient toujours en sens contraire lorsqu’on se
déplace sur une courbe d’indifférence
c. à d. lorsque l’utilité reste constante alors qu’on fait
varier x et y
56
y
A
Δy
B
Δx
x
57
B – Propriétés
• Si x et y varient en sens contraires  Δx et Δy
sont de signes opposés. On a donc :
Δy/Δx < 0
58
B – Propriétés
• On peut poser ce rapport sous forme de
différentielles :
dy/dx < 0
[différentielle : variation qui tend vers zéro]
59
B – Propriétés
• dy/dx : taux auquel le consommateur peut
substituer le bien x au bien y, ou le bien y au bien
x, de manière à conserver son utilité constante.
60
B – Propriétés
• Ce rapport est toujours négatif (x et y varient en
sens inverse), on peut prendre sa valeur absolue
pour éliminer le signe.
61
B – Propriétés
• On obtient ainsi le Taux Marginal de
Substitution, ou TMS :
TMS = |dy / dx| = - dy / dx
62
B – Propriétés
• On peut remplacer les différentielles : d par des
variations quelconques : Δ
• On obtiendra ainsi une valeur approchée du TMS :
TMS ≈ | Δy/Δx| = - Δy/Δx
63
B – Propriétés
3) Deux courbes d’indifférence ne peuvent jamais se
couper :
supposons 2 courbes I et II qui se coupent au
point B
64
y
I
yC
yA
II
C
A
B
xA
xC
x
65
B – Propriétés
• Les combinaisons A et B appartiennent à la même
courbe d’indifférence : I elles sont donc
équivalentes : A  B
• B et C appartiennent à la même courbe : II elles
sont donc équivalentes : B  C
66
B – Propriétés
• Si A  B
et B  C  A  C (transitivité)
• Or on voit sur le graphique que la combinaison C
contient à la fois plus de x et plus de y que la
combinaison A.
• Dans ces conditions C doit être strictement préféré
à A (axiome de non saturation)
67
B – Propriétés
• On ne peut avoir en même temps C équivalent à A
et C strictement préféré à A  situation
impossible, I et II ne peuvent se couper.
68
B – Propriétés
4) Une courbe d’indifférence ne peut couper les axes :
correspond à un axiome de préférence pour la
diversité : si le consommateur a 2 biens à sa
disposition il ne choisira pas de n’en consommer
qu’un seul.
Or l’intersection avec un axe correspond à x ou y = 0
69
B – Propriétés
5) Les courbes d’indifférences sont convexes par
rapport aux axes :
Condition mathématique : la dérivée seconde de la
fonction y = f(x) doit être positive.
Ou encore, la dérivée première est une fonction
croissante de x
70
B – Propriétés
• Or la dérivée première de y = f(x) n’est autre que
dy/dx, soit l’opposée du TMS :
Dérivée = - TMS
• Si dy/dx est une fonction croissante de x, le TMS :
- dy/dx est une fonction décroissante de x
71
B – Propriétés
• Soit un accroissement infinitésimal dx le long
d’une courbe d’indifférence.
• Pour rester sur la courbe il faut que cet
accroissement soit compensé par une diminution
de y
• L’effet total sur l’utilité doit être nul
72
B – Propriétés
• On l’obtient par la différentielle totale de la
fonction d’utilité :
dU = U’x.dx + U’y.dy
73
B – Propriétés
• Même courbe d’indifférence  pas de variation
de U, d’où :
U’x.dx + U’y.dy = 0
 U’x.dx = - U’y.dy
 U’x / U’y = - dy /dx
 U’x / U’y = TMS
74
B – Propriétés
donc : TMS = U’x / U’y
Le TMS est égal au rapport des utilités
marginales
75
B – Propriétés
• Quand x ↑  U’x ↓
en même temps : y ↓ et U’y ↑
d’où U’x / U’y ↓
comme U’x / U’y = TMS
Quand x ↑ le TMS ↓ : le TMS est une fonction
décroissante de x
76
B – Propriétés
• La forme particulière de la courbe correspond à
une propriété particulière des préférences du
consommateur : préférences convexes
77
y
A
B
I
x
78
Convexité :
• Soient 2 combinaisons A et B appartenant à la
même courbe d’indifférence (même niveau
d’utilité),
toute combinaison linéaire de A et B (ici tout point
du segment AB), correspond à une combinaison
préférée à A et B
79
Convexité :
• Condition vérifiée ici : tout point du segment AB
est situé sur une courbe plus éloignée de l’origine
que la courbe I
 utilité supérieure
80
Convexité :
• Cette condition sera en particulier utilisée dans les
problèmes de maximisation de l’utilité :
dispense de vérifier les conditions de second ordre
81
III – La contrainte budgétaire
A – La contrainte de budget :
- Soient x et y les quantités consommées de 2
biens
- Soient px et py leurs prix respectifs
- Soit R le revenu du consommateur
82
A – La contrainte de budget
• Le consommateur ne peut dépenser plus que son
revenu, la contrainte s’écrit donc :
R ≥ DT
(DT : dépense totale)
• Pour 2 biens la dépense totale est la somme de la
dépense en x et en y :
DT = px.x + py.y
(prix unitaires par quantités)
83
A – La contrainte de budget
• La contrainte s’écrit donc :
R ≥ px.x + py.y
ou plus généralement :
R ≥  pxi . xi pour i varie de1 à n
pxi : vecteur des prix (commun)
xi : vecteur des quantités (individuel)
84
A – La contrainte de budget
• Le problème de maximisation sous contrainte peut
être posé sous cette forme
• Mais on le simplifiera en posant une hypothèse
supplémentaire
85
A – La contrainte de budget
• Le consommateur dépense tout son revenu à
l’achat de 2 biens x et y
• Autrement dit la dépense totale en x et y est égale
au revenu :
R = px.x + py.y
86
A – La contrainte de budget
• Cette hypothèse est fondée sur le fait que la
monnaie ne possède aucune utilité en elle-même
 le consommateur rationnel n’a aucun intérêt à
en conserver inactive
 il dépensera tout son revenu
87
B – Représentation graphique
• Partant de : R = px.x + py.y
La contrainte de budget peut se mettre sous la forme :
y.py = R – x.px
y.py = - x.px + R
y = (- x.px +R) / py
y = - px/py . x + R/py
 relation linéaire (du type y = - a.x + b)
droite de pente – px/py et d’ordonnée à l’origine :
R/py
88
y
R/py
pente : -px/py
R/px
x
89
B – Représentation graphique
• La droite de budget est toujours décroissante :
pente – px/py toujours négative, car :
px > 0
py > 0
(des prix négatifs n’ont pas de signification)
90
B – Représentation graphique
• Signification de la pente : sa valeur absolue
correspond au rapport des prix
 elle exprime les prix relatifs : plus x est cher
par rapport à y, plus la pente sera forte en valeur
absolue
91
B – Représentation graphique
• Intersections avec les axes :
Axe des abscisses : y = 0
R = px.x + 0  x = R/px
Axe des ordonnées : x = 0
R = 0 + py.y  y = R/py
92
B – Représentation graphique
• Méthode de construction la plus simple :
Reporter R/px sur l’axe des abscisses
Reporter R/py sur l’axe des ordonnées
Joindre les 2 points
93
B – Représentation graphique
• Signification des aires délimitées par la droite :
trois zones A, B et C
94
y
C
B
A
x
95
B – Représentation graphique
• Zone C : inaccessible : les combinaisons x,y qui
appartiennent à cette zone (au dessus de la droite
de budget) sont trop coûteuses pour le revenu R.
• Zone A : accessible mais ne permet pas de
dépenser tout le revenu : le point d’équilibre
(maximum d’utilité) ne peut pas être dans cette
zone.
96
B – Représentation graphique
• Zone B : constituée par la droite de budget ellemême : elle est accessible et permet de dépenser
tout le revenu : s’il existe un point d’équilibre il
est forcément dans cette zone.
97
C – Variation des paramètres
1) Variation des prix :
Soit une situation initiale avec un revenu R et
des prix px0 et py0
98
y
A = R/Py0
B0 = R/px0
x
99
1) Variation des prix :
• Premier cas : le prix px baisse : il passe de px0 à
px1 avec px1 < px0
 le rapport R/px augmente  le point B se
déplace vers la droite
100
y
A
px1<px0
B1=R/px1
B0=R/px0
x
101
y
A
px1<px0
B1
B0
x
102
1) Variation des prix :
• Les combinaisons qui appartiennent à la zone
grisée deviennent accessibles : il y a augmentation
du pouvoir d’achat, ou revenu réel du
consommateur.
103
1) Variation des prix :
• Deuxième cas : le prix px augmente : il passe de
px0 à px2 avec px2 > px0
 le rapport R/px diminue  le point B se
déplace vers la gauche
104
y
A
px2>px0
B1
B2=R/px2
B0=R/px0
x
105
y
A
px2>px0
B2
B0
x
106
1) Variation des prix :
• Cette fois la zone grisée devient inaccessible : il y
a perte de pouvoir d’achat (diminution du revenu
réel)
107
Variation des prix :
• La variation du prix px provoque un pivotement
de la droite de budget autour du point A
• A reste fixe car R et py sont constants (ordonnée
de A : R/py)
108
2) Variation du revenu nominal
• Si R augmente R/px et R/py augmentent
simultanément : la droite de budget se déplace
vers la droite et vers le haut.
La pente de la droite ne change pas (le rapport des
prix reste identique)  la droite se déplace
parallèlement à elle-même.
109
y
R1/py
R0/py
R1/px
R0/px
x
110
2) Variation du revenu
• La surface située entre les deux droites correspond
ici à une hausse du pouvoir d’achat.
111
2) Variation du revenu
• Si R diminue, R/px et R/py diminuent, la droite de
budget se déplace vers la gauche et vers le bas,
parallèlement à elle-même.
Il y a une baisse du pouvoir d’achat.
112
y
R0/py
R2/py
R2/px
R0/px
x
113
IV – Détermination géométrique de
l’équilibre
A - Définition : le consommateur est en situation
d’équilibre lorsqu’il maximise son utilité tout en
respectant sa contrainte de budget.
114
A - Définition
• Conditions :
– La combinaison x,y choisie doit être située sur
la courbe d’indifférence la plus élevée possible
(la plus éloignée de l’origine)
– Cette combinaison devra se situer sur la droite
de budget (le consommateur dépense tout son
revenu mais pas plus)
115
B – Détermination de l’équilibre
• Soit un consommateur doté d’une carte
d’indifférence composée de 3 courbes I, II et III.
• Son revenu est fixé et égal à R, les prix des 2 biens
sont fixés également et égaux à px et py.
116
y
R/py
•A
•E
I
II
•B
III
R/px
x
117
B – Détermination de l’équilibre
• La courbe I est située entièrement au dessus de la
droite de budget : tous ses points sont
inaccessibles.
• La courbe III a une partie située sous et sur la
droite de budget, elle est donc accessible.
• La zone de la courbe III située sous la droite ne
permet pas de dépenser tout le revenu : le point
d’équilibre ne peut s’y trouver.
118
B – Détermination de l’équilibre
• Les points A et B permettent d’épuiser le revenu
mais ils ne sont pas situés sur la courbe la plus
élevée possible.
• Le point E, en effet est situé sur la courbe II, plus
élevée que III, et il permet d’épuiser le revenu :
c’est ici le point d’équilibre.
119
B – Détermination de l’équilibre
• On voit facilement que E étant le point de
tangence entre la droite et la courbe d’indifférence
II, toute courbe située plus haut que II serait
inaccessible.
• Ce point ne peut appartenir qu’à une seule courbe
d’indifférence puisque celles-ci ne se coupent pas.
120
B – Détermination de l’équilibre
• Conclusion : l’équilibre du consommateur
correspond géométriquement au point de tangence
(quand il existe) entre sa droite de budget et l’une
de ses courbes d’indifférence.
121
B – Détermination de l’équilibre
• Au point d’équilibre E, la tangente à la courbe
d’indifférence se confond avec la droite de budget.
• Or la pente de la droite de budget est égale à –px/py
122
B – Détermination de l’équilibre
• On sait par ailleurs qu’en tout point de la courbe
représentative d’une fonction y = f(x) la pente de la
tangente est égale à dy/dx.
• Autrement dit cette pente est égale à l’opposée du
TMS.
• Donc au point d’équilibre dy/dx = - TMS = - px/py
123
B – Détermination de l’équilibre
TMS = px/py
• A l’équilibre le TMS est égal au rapport des
prix.
 A l’équilibre : Umx/Umy = px/py
124
C – Variation de l’équilibre
• La situation d’équilibre peut varier si on modifie
le revenu ou les prix.
125
C – Variation de l’équilibre
• Cas n°1 : on fait varier le revenu :
R prend les valeurs R1, R2, R3
On détermine qu’à l’équilibre x va prendre
respectivement les valeurs x1, x2, x 3 et y prend les
valeurs y1, y2, y3
La courbe qui joint ces différents points
d’équilibre s’appelle courbe de consommationrevenu.
126
y
R3/py
R2/py
Courbe de consommation-revenu
R1/py
x1 x2 x3
x
127
C – Variation de l’équilibre
• A partir de ces résultats on peut construire un autre
graphique qui, cette fois, met en relation les
différentes valeurs de R avec les valeurs
correspondantes de x à l’équilibre.
• On obtient ainsi la courbe d’Engel du bien x.
128
R
Courbe d’Engel de x
R3
R2
R1
x1
x2
x3
x
129
C – Variation de l’équilibre
• Du nom de l’économiste allemand qui en 1857 a
énoncé les lois d’Engel :
130
C – Variation de l’équilibre
Lorsque dans une population le revenu moyen
augmente :
- la part des dépenses de consommation consacrée
à l’alimentation diminue
- celle consacrée au logement et à l’habillement
reste stable
- celle consacrée à l’éducation, à la santé et aux
déplacements augmente
131
C – Variation de l’équilibre
• La courbe d’Engel est normalement croissante :
lorsque le revenu augmente la consommation de
biens augmente.
• Exception : les biens inférieurs :
Dans ce cas la consommation baisse quand le
revenu augmente.
132
C – Variation de l’équilibre
• Il s’agit de biens de première nécessité qui font
partie du panier de consommation des
consommateurs les moins riches.
• Leur consommation s’impose à ces derniers, mais
ils sont abandonnés lorsque le revenu s’élève.
133
C – Variation de l’équilibre
• Exemple : les pommes de terre, qui constituent la
base de l’alimentation des plus pauvres dans
certains pays.
• Lorsque leurs revenus augmentent ces
consommateurs abandonnent les pommes de terre
et adoptent une alimentation plus diversifiée.
134
C – Variation de l’équilibre
• On dira que pour les biens inférieurs l’effet revenu
est négatif
135
C– Variation de l’équilibre
• Cas n° 2 : on fait varier un prix :
Le prix px diminue, il passe de px1 à px2 puis px3.
 le point d’équilibre se déplace alors vers la
droite. La quantité de x consommée à l’équilibre
prend les valeurs x1, x2 et x3.
136
y
Courbe de prix-consommation
R/px1
x1
x2
x3
R/px2
R/px3
x
137
C – Variation de l’équilibre
• On peut tracer une courbe dans le système d’axes
x,y qui joint les différents points d’équilibre quand
on fait varier le prix px
• Cette courbe est appelée courbe de prixconsommation.
138
C – Variation de l’équilibre
• Cette fois encore on peut utiliser les résultats
obtenus pour tracer un autre graphique qui met en
relation le prix d’un bien avec les quantités
consommées à l’équilibre.
• On obtient ainsi la courbe de demande du bien.
139
px
px1
px2
px3
Courbe de demande de x
x1
x2 x3
x
140
C – Variation de l’équilibre
• Cette courbe est normalement décroissante :
lorsque le prix d’un bien augmente la quantité
consommée diminue.
• Seule exception : biens Giffen
141
D – Effet de revenu et de substitution
• Lorsque le prix d’un bien varie, 2 conséquences sur sa
consommation :
– Le consommateur achète plus du bien dont le prix
relatif a baissé et moins de l’autre : effet de
substitution
– Lorsque le prix baisse, le consommateur gagne du
pouvoir d’achat, lorsque le prix augmente il en
perd : effet de revenu
142
D – Effet de revenu et de substitution
• En cas de variation du prix d’un bien ces 2 effets
se combinent et produisent un effet total.
• Ex. : soit une situation d’équilibre initiale (point
A). On fait diminuer px  la droite de budget
pivote vers le haut et la droite  2ème point
d’équilibre : B
143
y
y1
y2
A
B
II
I
x1
x2
x
144
D – Effet de revenu et de substitution
• En passant de A à B le consommateur achète moins
de y et plus de x, dont le prix relatif a baissé (effet
de substitution).
Par ailleurs la baisse de px permet une augmentation
du revenu réel, ce qui explique l’augmentation du
niveau d’utilité : le consommateur passe de la
courbe I à la II, plus élevée (effet de revenu)
145
D – Effet de revenu et de substitution
• On peut décomposer l’effet total en 2 effets :
revenu et substitution.
• Pour cela on isole l’effet de substitution.
• Le principe consiste à pratiquer une baisse de px et
à examiner la situation obtenue quand on élimine
l’effet de revenu.
146
D – Effet de revenu et de substitution
• Par la méthode géométrique on pose que l’effet
revenu est éliminé quand il n’y a pas de variation
d’utilité :
la baisse du prix px conduit à substituer du bien x
au bien y, mais le consommateur reste sur la
courbe d’indifférence I
147
y
y1
y2
A
B
A’
y’1
II
I
x1
x’1 x2 R/px
R/px1
x
148
D – Effet de revenu et de substitution
• Le déplacement de A vers A’ correspond bien à
une substitution de x à y
• Il se fait sur la même courbe d’indifférence I : pas
d’effet de revenu
• Le point A’ est le point de tangence entre la courbe
I et une droite de budget qui est parallèle à celle de
la situation finale (après variation de px)
149
D – Effet de revenu et de substitution
• Le passage de A à A’ isole bien l’effet de
substitution
• On le quantifie par : Δx = x’1 – x1
et Δy = y’1 – y1
150
D – Effet de revenu et de substitution
• L’effet de revenu correspond lui au passage de A’ à
B:
Δx = x2 – x’1
Δy = y2 – y’1
151
D – Effet de revenu et de substitution
• Ici, pour x l’effet de revenu et de substitution sont
tous les deux positifs.
• Pour y l’effet de substitution est négatif (le
consommateur achète moins de y), l’effet de
revenu est positif (bien normal), mais ne
compense qu’en partie la perte.
152
Compléments mathématiques
• Dérivée d’une fonction à une seule variable :
Soit une fonction U = U(x)
• Ici l’utilité du consommateur dépend de la quantité
consommée d’un seul produit x
• La dérivée première de cette fonction s’écrit :
dU/dx où d signifie différentielle (variation qui tend
vers 0)
153
Compléments mathématiques
• Dérivées d’une fonction à plusieurs variables :
Soit une fonction U = U(x,y)
• L’utilité dépend de la consommation de 2 biens x
et y.
154
Compléments mathématiques
• Deux dérivées partielles :
δU/δx et δU/δy
où δ signifie également différentielle, mais cette
fois, d’une fonction à plusieurs variables.
155
Compléments mathématiques
• Les symboles d et δ ont exactement la même
signification : variation qui tend vers 0
• Mais l’un est utilisé dans les fonctions à une seule
variable (d), l’autre dans les fonctions à plusieurs
variables (δ)
156
Compléments mathématiques
• Dérivation des fonctions à plusieurs variables :
les mêmes méthodes s’appliquent que dans la
dérivation simple
à chaque fois que l’on dérive par rapport à l’une
des variables, on considère les autres comme des
constantes.
157
Compléments mathématiques
• Exemple : soit une fonction U = 2x + 5y + 4
• 1ère dérivée partielle :
δU/δx = 2 (on dérive par rapport à x en
considérant y comme une constante)
• 2ème dérivée partielle :
δU/δy = 5 (on dérive par rapport à y en
considérant x comme une constante)
158
Rappels sur les puissances
• Dans une puissance fractionnaire, le dénominateur
de la fraction signifie racine.
• Ex : x1/2 = x
• Lorsqu’une puissance est négative, on peut la
rendre positive en inversant l’expression :
• Ex: 1 / x-2 = x2
x-3. y = y / x3
159
Rappels sur les puissances
• Quand une variable est multipliée par elle-même
on peut additionner ses puissances.
Ex : x2 . x3 = x5
• Quand une puissance est élevée à une autre
puissance on peut les multiplier.
Ex : (x2)3 = x6
160
Rappels sur les dérivées
•
•
•
•
•
•
•
•
y = ax + b  y’ = a
y = u + v  y’ = u’ + v’
y = u . v  y’ = u’v + uv’
y = c . f(x)  y’ = c . f’(x) avec c constante
y = xa  y’ = a . xa-1
y = 1/x  y’ = -1/x2
ou y = x-1 => y’ = - x-2
y = 1/u  y’ = - u’/u2
y = 1/ un  y = u-n  y’ = -n .u-n-1 . u’
161
Rappels sur les dérivées
• Lorsque la dérivée première d’une fonction y = f(x)
est positive la fonction est croissante : quand x
augmente, y augmente aussi.
• Quand la dérivée est négative la fonction est
décroissante.
• Quand la dérivée est nulle y passe par un extrémum
(maximum ou minimum).
162
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Le problème est généralement posé à partir de 2
types de données :
– La forme mathématique de la fonction d’utilité :
U = U(x,y)
– Les paramètres R, px et py (constantes) qui
permettent de poser la contrainte de budget.
163
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Le problème prend la forme suivante :
Max U = U(x,y)
Sous la contrainte : R = x.px + y.py
• Deux méthodes :
164
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Méthode de Lagrange :
1ère étape : écrire la contrainte sous forme
implicite : R – x.px –y.py = 0
165
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
2ème étape : construire la fonction de Lagrange :
L = U(x,y) + λ(R – x.px – y.py)
λ : multiplicateur de Lagrange
[fonction à maximiser] + λ . [contrainte]
166
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• 3ème étape : calculer les dérivées partielles de la
fonction de Lagrange par rapport à x, y et λ.
• 4ème étape : poser les dérivées égales à 0
(maximisation de la fonction) et résoudre le
système de 3 équations.
167
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
Fonction de Lagrange :
L = U(x,y) + λ(R – x.px – y.py)
Dérivées :
(1) : δL/δx = U’x – λ.px = 0
(2) : δL/δy = U’y – λ.py = 0
(3) : δL/δλ = R – x.px – y.py = 0
Puis résoudre le système
168
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• 2ème méthode : poser qu’à l’équilibre le TMS est
égal au rapport des prix.
• Démonstration :
Max U = U(x,y)
Sous R – x.px –y.py= 0
169
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
Fonction à maximiser :
U = U(x,y)
Deux premières dérivées de la fonction de
Lagrange :
(1) : δL/δx = U’x – λ.px = 0
(2) : δL/δy = U’y – λ.py = 0
170
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
(1)  U’x = λ.px
(2)  U’y = λ.py
(1)/(2)  U’x/U’y = λ.px/λ.py
Umx/Umy = px/py
TMS = px/py
171
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Si on demande de déterminer les quantités de x et
de y consommées à l’équilibre, on peut répondre
en disant qu’à l’équilibre ces quantités doivent
respecter l’égalité :
TMS = rapport des prix
172
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Donc on pose :
Umx/Umy = px/py
• avec Umx = δU/δx
et Umy = δU/δy
• On calcule les 2 dérivées et on pose que leur
rapport est égal à celui des prix. On obtient ainsi
une relation entre x et y.
173
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• A partir de cette relation et de la contrainte de
budget on peut déterminer les valeurs de x et y.
174
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Application numérique :
La fonction d’utilité d’un consommateur s’écrit :
U = 2 x1/2.y1/4
Le revenu du consommateur est fixé à 24, les prix
sont px = 2, py = 4
Calculer les quantités consommées par un
consommateur rationnel.
175
V – Détermination mathématique de
l’équilibre
• Le problème à résoudre peut s’écrire :
Max U = 2 . x1/2 . y1/4
Sous 24 = 2.x + 4.y
176
Application numérique :
• Méthode de Lagrange :
Contrainte : 24 = 2x + 4y
soit (forme implicite) : 24 – 2x - 4y = 0
• Fonction de Lagrange :
L = 2.x1/2. y1/4 + λ(24 – 2x – 4y)
177
Application numérique
L = 2.x1/2. y1/4 + λ(24 – 2x – 4y)
• Dérivées :
(1) δL/δx = 2.1/2.x-1/2.y1/4 - 2λ = 0
(2) δL/δy = 2.1/4.x1/2.y-3/4 - 4λ = 0
(3) δL/δλ = 24 – 2x – 4y = 0
Méthode la plus simple : faire sortir λ des
équations (1) et (2) et égaler les expressions
obtenues
178
Application numérique
• (1)  x-1/2.y1/4 = 2λ  λ = x-1/2.y1/4/2
• (2)  1/2.x1/2.y-3/4 = 4λ  λ = x1/2.y-3/4/8
• (1) = (2)  x-1/2.y1/4/2 = x1/2.y-3/4/8
x-1/2.y1/4 = x1/2.y-3/4/4
4.y1/4/y-3/4 = x1/2/x-1/2
4.y1/4.y 3/4 = x1/2.x1/2
4y = x
179
Application numérique
• Dérivée (3)  24 – 2(4y) – 4y = 0
- 12y = - 24
y = 24/12 = 2  x = 4. 2 = 8
x=8

y=2
180
Application numérique
• Par le TMS :
A l’équilibre U’x/U’y = px/py
U’x = 2.1/2.x-1/2.y1/4 = x-1/2.y1/4
U’y = 2.1/4.x1/2.y-3/4 = 1/2. x1/2.y-3/4
U’x/U’y = 2.x-1/2.y1/4/ x1/2.y-3/4
= 2. y1/4.y3/4/x1/2.x1/2
= 2.y/x
181
Application numérique
• 2.y/x = 2/4 (à l’équilibre TMS = rapport des prix)
2.y = x/2
y = x/4
• Contrainte budgétaire : 24 = 2x +4y
 24 = 2x + 4(x/4)
 3x = 24
 x=8

y=2
182
VI – La fonction de demande
A - Définition et calcul : on appelle fonction de
demande la fonction exprimant les quantités
consommées d’un bien en fonction des prix.
La demande d’un bien dépend toujours de son
propre prix, mais elle peut aussi dépendre du prix
d’autres biens (biens complémentaires et
substituables).
183
VI – La fonction de demande
• On a vu dans le IV – B comment tracer la courbe
représentative de cette fonction (courbe de
demande).
• Pour déterminer la forme mathématique on doit
utiliser l’hypothèse de rationalité du
consommateur : recherche systématique du
maximum d’utilité sous contrainte de budget.
184
VI – La fonction de demande
• Max U = U(x,y)
Sous R = x.px + y.py
 U’x/U’y = px/py
Cette relation permet d’exprimer l’une de
variables en fonction de l’autre et en fonction des
prix, par exemple y en fonction de x, de px et de
py : y = f(x,px,py)
185
VI – La fonction de demande
• Il suffit alors de remplacer y par l’expression
obtenue, dans la contrainte, et on obtiendra une
expression où ne figurent plus que x, px et py. On
obtient ainsi la fonction de demande de x :
x = g(px,py)
186
VI – La fonction de demande
• Concrètement, pour déterminer une fonction de
demande, il faut opérer le calcul de maximisation
sous contrainte par l’une des 2 méthodes
(Lagrange ou TMS) en posant dans la contrainte
de budget un ou les deux prix quelconques (px et
py).
187
VI – La fonction de demande
• Pour déterminer la fonction de demande d’un bien
par rapport à son propre prix, on laisse le prix de
ce bien quelconque et on donne une valeur
numérique à l’autre.
188
VI – La fonction de demande
• Exemple : fonction de demande de x par rapport à
son propre prix, sachant que le revenu est 10 et
que le prix de y est 5.
• On écrit la contrainte :10 = px.x + 5.y
• On détermine la relation entre x et y à l’équilibre
(par la méthode de Lagrange ou celle du TMS), et
on l’utilise dans la contrainte.
189
VI – La fonction de demande
B – Relation prix-quantité :
• Dans le cas d’un bien normal la relation est
inverse : les quantités consommées diminuent
lorsque le prix augmente.
On a : x = f(px)
avec x’ = dx/dpx < 0
190
VI – La fonction de demande
• Cas inverse : la quantité consommée augmente avec
le prix : paradoxe de GIFFEN.
• L’effet de snobisme est exclu : contradictoire avec
l’hypothèse d’indépendance des choix.
191
VI – La fonction de demande
• Bien Giffen :
– Il doit s’agir d’un bien inférieur : sa quantité
consommée baisse quand le revenu augmente.
– L’effet de revenu doit être supérieur à l’effet
de substitution : une baisse du prix du bien
provoque un effet revenu négatif qui dépasse
l’effet de substitution positif.
192
VI – La fonction de demande
• Pour que cette condition soit remplie il faut que le
bien représente une partie importante du revenu du
consommateur.
• Cas des biens de première nécessité pour les
consommateurs à très faibles revenus.
193
VI – La fonction de demande
C – Relations entre les biens :
Peuvent être appréhendées grâce aux fonctions de
demande croisées. Exemple :
x = f(py) : la quantité du bien x est exprimée en
fonction du prix du bien y
194
VI – La fonction de demande
• Si la dérivée première est > 0 : la quantité de x
augmente quand le prix de y augmente : biens
substituables.
• Si la dérivée première est < 0 : la quantité de x
diminue lorsque le prix de y augmente : biens
complémentaires.
195
VII – Les élasticités
A – Définition générale :
On appelle élasticité d’une variable y par rapport à
une variable x, le rapport entre la variation
relative de y et la variation relative de x qui lui a
donné naissance.
196
A – Définition générale :
• Soit une fonction y = f(x)
• Élasticité de y par rapport à x :
dy/y
Ey/x =
dx/x
197
A – Définition générale :
• Si y est fonction de plusieurs variables, on écrit :
δy/y
Ey/x =
δx/x
198
A – Définition générale :
• La variable déterminée est la quantité
consommée d’un bien, la variable déterminante
peut être :
– Le revenu
– Le prix du bien lui-même
– le prix d’un autre bien
199
VII – Les élasticités
B – L’élasticité revenu :
Définition : on appelle élasticité revenu la
variation relative de la quantité consommée d’un
bien, rapportée à la variation relative du revenu du
consommateur.
200
B – L’élasticité revenu :
• Élasticité revenu du bien x :
Pour x = f(R) :
dx/x
Ex/R =
dR/R
dx/dR
= dx/x . R/dR =
x/R
201
B – L’élasticité revenu :
• Le rapport dx/dR (numérateur) est la dérivée de la
fonction x = f (R)
(demande de x fonction du revenu)
• Donc pour calculer l’élasticité, il faut :
– déterminer cette fonction,
– calculer sa dérivée
– diviser cette dérivée par le rapport x/R, pour une
valeur de R donnée.
202
B – L’élasticité revenu :
• Le signe et la valeur absolue de l’élasticité revenu
indiquent la nature du bien x :
• Si Ex/R < 0 : lorsque le revenu augmente, la
quantité consommée diminue, x est un bien
inférieur.
203
B – L’élasticité revenu :
• Si : 0 < Ex/R ≤ 1
sa quantité consommée augmente avec le revenu, mais
pas plus que proportionnellement : bien normal
204
B – L’élasticité revenu :
• Si : Ex/R > 1
sa quantité consommée augmente plus vite que le
revenu : bien supérieur.
205
VII – Les élasticités
C – Les élasticités prix :
Elles mesurent la variation relative de la quantité
d’un bien rapportée à la variation relative de son
propre prix ou du prix d’un autre bien.
206
C – Les élasticités prix :
• Élasticité prix directe :
C’est le rapport de la variation relative de la
quantité d’un bien et de la variation relative de son
propre prix.
• Soit une fonction de demande :
x = f (px, py)
207
Élasticité prix directe
δx/x
Ex/px =
δpx/px
= δx/x . px/δpx =
δx/δpx
x/px
208
Élasticité prix directe
• Le rapport δx/δpx est la dérivée partielle de la
fonction de demande par rapport à px
• Pour obtenir l’élasticité il faut le diviser par x/px,
avec une valeur donnée de px.
209
Élasticité prix directe
• Normalement l’élasticité-prix directe est négative
(la quantité consommée d’un bien varie en sens
inverse de son prix) . Exception : bien GIFFEN,
prix et quantité varient dans le même sens,
élasticité-prix directe positive.
210
C – Les élasticités prix :
• Élasticité prix croisée :
C’est le rapport de la variation relative de la
quantité d’un bien et de la variation relative du
prix d’un autre bien.
• Soit une fonction de demande :
x = f (px, py)
211
Élasticité prix croisée
δx/x
Ex/py =
δpy/py
= δx/x . py/δpy =
δx/δpy
x/py
212
Élasticité prix croisée
• Le rapport δx/δpy est la dérivée partielle de la
fonction de demande par rapport à py
• Pour obtenir l’élasticité il faut le diviser par x/py,
avec une valeur donnée de py.
213
Élasticité prix croisée
• Le signe de l’élasticité prix croisée indique quelle
relation les biens x et y entretiennent l’un avec
l’autre.
214
Élasticité prix croisée
• Si l’élasticité prix croisée est positive :
Lorsque le prix du bien y augmente, la quantité
consommée du bien x augmente aussi : le prix de
y a augmenté, on le remplace par le bien x
 biens substituables
215
Élasticité prix croisée
• Élasticité croisée négative :
Lorsque le prix du bien y augmente, la quantité
consommée de x diminue :
la hausse de py provoque une baisse de sa
consommation, comme la consommation de x est
associée à celle de y, la consommation de x baisse
aussi
 biens complémentaires
216