Trigonométrie

longueur d’un arc
Trigonométrie
Sur un cercle, l’ensemble de la
circonférence mesure
s=2π R
2π correspond à un tour complet
Si l’on ne veut parcourir qu’un arc,
remplaçons 2π par α dans la longueur
s= α R
On appellera alors α la mesure de
l’angle en radian :
α= s/R
s
α
R
arc= mesure d’un angle
Trigonométrie
Nous travaillerons sur un cercle de rayon R=1,
appelé cercle trigonométrique,
M(α)
nous munissons d’un repère orthonormé avec
l’origine au centre du cercle
et mesurerons les arcs à partir de l’axe des x
vers l’axe des y pour α>0 (sens direct)
M(α) est le point représentant l’angle α
L’arc mesure alors S= α R = α × 1
S= α
On appellera cette valeur α (c’est à dire la
longueur de son arc sur un cercle de rayon
R=1) la mesure de l’angle en radians
α
R=1
angles remarquables
un angle α=0
Est représenté par le même
point qu’un angle α=2π
Trigonométrie
M(π/2)
un angle α=π
un angle α=π/2
M(π)
M(0)
M(2π)
autres angles remarquables
un angle α=π/4 (45°)
un angle α=π/3 (60°)
un angle α=π/6 (30°)
un angle α=2π/3 (120°)
Trigonométrie
M(π/3)
M(π/4)
cos, sin
Trigonométrie
Chaque point M(α) du cercle trigonométrique a :
pour abscisse cos(α)
pour ordonnée sin(α)
M(α)
sin(α)
cos(α)
R=1
cos, sin des angles remarquables
Trigonométrie
On notera les valeurs remarquables de ces fonctions dans le
tableau:
M(π/2)
sin(α)
On parcours d’abord les sinus :
Sinus est une suite croissante
M(π/3)
M(π/4)
M(π/6)
Puis les cosinus :
Cosinus est une suite décroissante
1
2
α
(angle)
sin (α)
cos (α)
tan (α)
π/6
π/4
0
√1 /2
√2 /2 √3 /2
1
1
√3 /2 √2 /2 √1 /2
0
0
1/√3
1
0
1
π/3
√3
π/2
M(0) cos(α)
tangente
Trigonométrie
Traçons la tangente au cercle
Si nous prolongeons le rayon,
quelle est la longueur du segment de
tangente?
M(α)
D’après Thalès, nous avons :
tan(α)
R=1
sin(α)
cos(α) 1
Pythagore
Trigonométrie
D’après le théorème de Pythagore :
cos2 α+ sin2 α = 1
M(α)
R=1
sin(α)
cos(α)
formules
Trigonométrie
On notera que :
cos (-α) = cos (α)
M(α)
sin (-α) = - sin (α)
sin(α)
cos(α)
sin(-α)
M(-α)
formules
Trigonométrie
On notera que :
sin (π/2 -α) = cos (α)
cos(π/2 -α)
M(π/2 -α)
cos (π/2 -α) = sin (α)
sin(π/2 -α)
M(α)
sin(α)
cos(α)