Fonctions circulaires et hyperboliques inverses - Exo7

Exo7
Fonctions circulaires et hyperboliques inverses
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Fonctions circulaires inverses
Exercice 1
Vérifier
arcsinx+arccosx=π
2et arctanx+arctan 1 x=sgn(x)π 2.
Indication HCorrection HVidéo [000752]
Exercice 2
Une statue de hauteur sest placée sur un piédestal de hauteur p.
1. À quelle distance x0doit se placer un observateur (dont la taille est supposée négligeable) pour voir la
statue sous un angle maximal α0?
2. Vérifier que α0=arctan s
2√p(p+s).
3. Application à la statue de la liberté : haute de 46 mètres avec un piédestal de 47 mètres.
Indication HCorrection HVidéo [000745]
Exercice 3
Écrire sous forme d’expression algébrique
1. sin(arccosx),cos(arcsinx),cos(2arcsinx).
2. sin(arctanx),cos(arctanx),sin(3arctanx).
Indication HCorrection HVidéo [000747]
Exercice 4
Résoudre les équations suivantes :
1. arccosx=2arccos 3
4.
2. arcsinx=arcsin 2
5+arcsin 3 5.
3. arctan2x+arctanx=π
4.
Indication HCorrection HVidéo [000749]
Exercice 5
Montrer que pour tout x>0, on a
arctan1
2x2=arctanx x+1−arctanx−1 x.
En déduire une expression de Sn=
n
∑
k=1
arctan1
2k2et calculer lim
n→+∞Sn.
Indication HCorrection HVidéo [006973]
1

Exercice 6
Soit z=x+iy un nombre complexe, où x=Rezet y=Imz. On sait que si zest non nul, on peut l’écrire de
façon unique sous la forme z=x+iy =reiθ, où θ∈]−π,π]et r=px2+y2.
r
0
z=x+iy
x
y
θ
1. Montrer que si x>0, alors θ=arctan y
x.
2. Montrer que si θ∈]−π,π[, alors θ=2arctansinθ
1+cosθ.
3. En déduire que si zn’est pas réel négatif ou nul, on a l’égalité
θ=2arctan y
x+px2+y2!.
Correction HVidéo [006974]
2 Fonctions hyperboliques
Exercice 7
Simplifier l’expression 2ch2(x)−sh(2x)
x−ln(chx)−ln2 et donner ses limites en −∞et +∞.
Indication HCorrection HVidéo [006975]
Exercice 8
Soit x∈R. On pose t=arctan(shx).
1. Établir les relations
tant=shx1
cost=chxsint=thx
2. Montrer que x=lntant
2+π 4.
Indication HCorrection HVidéo [000764]
Exercice 9
Soit xun réel fixé. Pour n∈N∗, on pose
Cn=
n
∑
k=1
ch(kx)et Sn=
n
∑
k=1
sh(kx).
Calculer Cnet Sn.
Indication HCorrection HVidéo [006976]
Exercice 10
Soit aet bdeux réels positifs tels que a2−b2=1. Résoudre le système
ch(x) + ch(y) = 2a
sh(x) + sh(y) = 2b
2

Indication HCorrection HVidéo [006977]
3 Fonctions hyperboliques inverses
Exercice 11
Simplifier les expressions suivantes :
1. ch(argshx),th(argshx),sh(2argshx).
2. sh(argchx),th(argchx),ch(3argchx).
Correction HVidéo [006978]
Exercice 12
Étudier le domaine de définition de la fonction fdéfinie par
f(x) = argch1
2x+1 x
et simplifier son expression lorsqu’elle a un sens.
Indication HCorrection HVidéo [006979]
Exercice 13
Montrer que l’équation argshx+argchx=1 admet une unique solution, puis la déterminer.
Indication HCorrection HVidéo [006980]
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exercices de maths sur
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3

Indication pour l’exercice 1 N
Faire une étude de fonction. La fonction sgn(x)est la fonction signe : elle vaut +1 si x>0, −1 si x<0 (et 0 si
x=0).
Indication pour l’exercice 2 N
Faire un dessin. Calculer l’angle d’observation αen fonction de la distance xet étudier cette fonction. Pour
simplifier l’expression de α0, calculer tanα0à l’aide de la formule donnant tan(a−b).
Indication pour l’exercice 3 N
Il faut utiliser les identités trigonométriques classiques.
Indication pour l’exercice 4 N
On compose les équations par la bonne fonction (sur le bon domaine de définition), par exemple cosinus pour
la première. Pour la dernière, commencer par étudier la fonction pour montrer qu’il existe une unique solution.
Indication pour l’exercice 5 N
Dériver la différence des deux expressions.
Indication pour l’exercice 7 N
On trouve −1+e−2x
ln(1+e−2x).
Indication pour l’exercice 8 N
Pour la première question calculer 1
cos2t. Pour la seconde question, vérifier que y=lntant
2+π 4est bien
défini et calculer shy.
Indication pour l’exercice 9 N
Commencer par calculer Cn+Snet Cn−Snà l’aide des fonctions ch et sh.
Indication pour l’exercice 10 N
Poser X=exet Y=eyet se ramener à un système d’équations du type somme-produit.
Indication pour l’exercice 12 N
On trouve f(x) = |lnx|pour tout x>0.
Indication pour l’exercice 13 N
Faire le tableau de variations de f:x7→ argshx+argchx.
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Correction de l’exercice 1 N
1. Soit fla fonction définie sur [−1,1]par f(x) = arcsinx+arccosx:fest continue sur l’intervalle
[−1,1], et dérivable sur ]−1,1[. Pour tout x∈]−1,1[,f0(x) = 1
√1−x2+−1 √1−x2=0. Ainsi fest constante
sur ]−1,1[, donc sur [−1,1](car continue aux extrémités). Or f(0) = arcsin0+arccos0 =π
2donc pour
tout x∈[−1,1],f(x) = π
2.
2. Soit g(x) = arctanx+arctan 1
x. Cette fonction est définie sur ]−∞,0[et sur ]0,+∞[(mais pas en 0). On
a
g0(x) = 1
1+x2+−1 x2·1
1+1
x2
=0,
donc gest constante sur chacun de ses intervalles de définition : g(x) = c1sur ]−∞,0[et g(x) = c2sur
]0,+∞[. Sachant arctan1 =π
4, on calcule g(1)et g(−1)on obtient c1=−π 2et c2= +π 2.
Correction de l’exercice 2 N
1. On note xla distance de l’observateur au pied de la statue. On note αl’angle d’observation de la statue
seule, et βl’angle d’observation du piédestal seul.
s
p
x
α
β
Nous avons les relations trigonométriques dans les triangles rectangles :
tan(α+β) = p+s
xet tanβ=p x
On en déduit les deux identités :
α+β=arctanp+s
xet β=arctanp x
à partir desquelles on obtient α=α(x) = arctanp+s
x−arctanp x.
Étudions cette fonction sur ]0,+∞[: elle est dérivable et
α0(x) = −s+p
x2
1+s+p
x2−−p
x2
1+p
x2=s
(x2+p2)(x2+ (s+p)2)p(p+s)−x2
Ainsi α0ne s’annule sur ]0,+∞[qu’en x0=pp(p+s). Par des considérations physiques, à la limite
en 0 et en +∞, l’angle αest nul, alors en x0nous obtenons un angle αmaximum. Donc la distance
optimale de vision est x0=pp(p+s).
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