Fonctions trigonométriques et réciproques

Fonctions trigonométriques et réciproques
Fonction sinus et réciproque
La fonction sinus
 Df = 
 Fonction impaire :  x  Df, sin(-x) = – sin(x)
 Périodicité de 2π :  x  Df, sin(x + 2π) = sin(x)
 Maximum pour sin
 = 1 [2π]
Minimum pour sin
 = -1 [2π]
 Pas de limites car varies en -1 et 1
 Racines : Sin(x) = 0  x = 0 [π]
 sin’(x) = cos(x)
La fonction est croissante sur 
 et décroissante sur 
La réciproque de la fonction sinus
La restriction de la fonction sinus sur 
 est bijective (pour une valeur de y, on a une
seule valeur x).
On peut définir sa réciproque notée sin-1 ou plutôt Arcsin ou asin.
sin(Arcsin x) = x
sin o Arcsin(x) = identité
sin(x) = y  x = Arcsin(y) [2π]
Dérivons sin(Arcsin x) = x.
Arcsin’(x) × cos(Arcsin x) = 1
Arcsin’(x)    = 1
Arcsin’(x) = 
Fonction cosinus et réciproque
La fonction cosinus
 Df = 
 Fonction paire :  x  Df, cos(-x) = cos(x)
 Périodicité de 2π :  x  Df, cos(x + 2π) = cos(x)
 Maximum pour cos(0) = 1 [2π]
Minimum pour cos(π) = -1 [2π]
 Pas de limites car varies en -1 et 1
 Racines : cos(x) = 0  x = 
 [π]
 cos’(x) = -sin(x)
La fonction est croissante sur [-π ; 0] et décroissante sur [0 ; π]

La réciproque de la fonction cosinus
La restriction de la fonction cosinus sur [0 ; π] est bijective (pour une valeur de y, on a une
seule valeur de x).
On peut définir sa réciproque notée cos-1 ou plutôt Arccos ou acos.
cos (Arccos x) = x
cos o Arccos(x) = identité
cos x = y  x = Arccos(y) [2π]
Dérivons cos (Arccos x) = x.
Arccos’(x) × (–sin(Arccos x)) = 1
– Arccos’(x)    = 1
Arccos’(x) = 
Fonction tangente et réciproque
La fonction tangente
 Df = \{π [π]}
 Fonction impaire :  x  Df, tan(-x) = – tan(x)
 Périodicité de 2π :  x  Df, tan(x + 2π) = sin(x)
 Maximum 
   [2π]
Minimum 
  [2π]
 Pas de limites car varies entre  et 
 Racines : tan(x) = 0  x = 0 [2π]
 tan’(x) = 
La fonction est strictement croissante sur ]-π ; π[
La réciproque de la fonction tangente
La restriction de la fonction tangente sur ]-π ; π[ est bijective (pour une valeur de y, on a une
seule valeur de x).
On peut définir sa réciproque notée tan-1 ou plutôt Arctan ou atan.
tan(Arctan x) = x
tan o Arctan(x) = identité
Dérivons la fonction tan(Arctan x) = x.
Arctan’(x) × (1 + tan²(Arctan x)) = 1
Arctan’(x) × (1 + x²) = 1
Arctan’(x) = 