cours : fonction exponentielle

COURS : FONCTION EXPONENTIELLE
A. Exponentielle d’un nombre réel :
La fonction logarithme népérien est dérivable et strictement croissante sur
]0 ; + ∞[.De plus, lim+ 𝑙𝑛𝑥 = −∞ et
lim 𝑙𝑛𝑥 = + ∞ donc lnx décrit tout
𝑥→+∞
𝑥→0
l’ensemble des réels quand x décrit]0 ; + ∞[.
Pour tout nombre réel a , il existe un unique réel b tel que lnb = a .
Définition : pour tout nombre réel a, on appelle exponentielle de a, et on note
exp(a), l’unique réel b tel que ln b=a.
Exemples : exp(0)= _______ car : __________ et exp(1) =_________ car :
_______________.
propriétés : pour tout réel a et tout réel b positif, on a :

__________________________________________

__________________________________________

__________________________________________
B. Notation e x et propriétés algébriques :
L’équation ln(x)=n admet une seule solution : x = exp(n). Or, ln(en)=n ln(e)=n
Donc en est aussi solution de cette équation.
Par unicité de la solution on en déduit que : exp(n)=en .
Propriété : pour tout nombre réel x, on pose exp(x)=ex .
Propriétés :
Pour tout réel a ,et tout réel b strictement positif, on a :

ea >0
 lnb=a <=> __________

ln(ea)=__________
Pour tous réels x et y et tout entier relatif n, on a :
1
ex
ex
ey

ex + y = _____

Exercices : simplifier les expressions suivantes :
e x + ln7 = ____________________________________________________

(ex )3 = __________________________________________________

= _____

=_____

(e x)n =___
C. Résoudre des équations :
Propriétés :
1.
Pour une équation de la forme ex = m , on distingue deux cas :
a. Si m ≤ 0 alors l’équation n’a pas de solution car e x >0.
b. Si m > 0 alors l’équation a une seule solution x = ln m .
2.
Pour tout réel m, une équation de la forme lnx=m a une seule solution : x =
m
e .
2
3.
Exercices : Résoudre chacune des équations suivantes dans R :

2𝑒 𝑥 +5 = 0 :
__________________________________________________________

5+
2
ex
=6:
___________________________________________________________

5lnx = – 3 :
___________________________________________________________
Pour s’entraîner : Résoudre chacune des équations suivantes dans R :
5 – 7 ex = 0
a)
4
ex
b) 3 –
________________
= 0.
c) –
__________________
1
3
ln x + 4 = 0 .
_______________
D. Etude de la fonction exponentielle :
1. Dérivée et sens de variation :
On sait que ln(e x ) = x ; si on dérive les deux membres de cette égalité :
x
x
donc (e )’=e .
(𝑒 𝑥 )′
( ex )
=1
Propriété : La fonction f définie sur R par f(x)=ex est dérivable sur R et, pour
tout réel x, f ’(x) = (ex )’ = ex .
Pour tout réel x , ex est un réel strictement positif donc f ’(x) > 0 et la
fonction exponentielle est strictement croissante sur R .
2. Limites :
 limites en – ∞ :
On pose x = ln y ; comme lim+ lny = −∞
on a :
y→0
lim ex = lim elny = lim y = 0
x→–∞
y→0
y→0
𝑥→–∞
limite en + ∞ :
On pose x = ln y ; comme lim 𝑙𝑛𝑦 = +∞

on a :
Propriété
𝑦→+∞
lim ex = lim elny = lim y = +∞ d’où lim 𝑒 𝑥 = +∞.
x→+∞
:
y→+∞
y→+∞
lim ex = 0
x→–∞
3. Tableau de variation et courbe représentative :
x
d’où lim 𝑒 𝑥 = 0.
–∞
( e x) ’ =e
+∞
+
x
variations
de e x
+∞
0
𝑥→+∞
et
lim ex = +∞.
x→+∞
3
E. Lien entre les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et
exponentielle.
Propriété : dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction
logarithme népérien et celle de la fonction exponentielle sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = x.
La fonction logarithme népérien
ou lnx est en pointillé.
La fonction exponentielle ou e x
est en trait plein.
Les deux fonctions sont
croissantes.
Leurs courbes sont symétriques
par rapport à la droite d’équation
y=x.
(Remarque : les fonctions x² et
√𝑥 ont la même particularité dans
]0 ; + ∞[.)
F. Comparaison du comportement en + ∞ de la fonction exponentielle avec les
fonctions puissantes :
Les fonctions puissances et la fonction exponentielle ont toutes pour limites + ∞
en + ∞ mais en observant les graphiques ; il semble que pour les « grandes »
valeurs de x , ex est très « supérieur » à xn ce qui se traduit par :
Propriété (admise) :
____________________________________________________________
a. Déterminer des limites correspondant à une forme indéterminée :



𝑒 𝑥 + 2015
𝑥
𝑥→+∞
lim
:
_______________________________________
lim ( 𝑒 𝑥 – 𝑥 2013 ):
𝑥 →+∞
𝑥7
3𝑒
𝑥→+∞ 𝑥
lim
:
____________________________________
__________________________________________
4

G.
4 𝑥 3+ 1
𝑒𝑥
𝑥→+∞
lim
: __________________________________________
Enchaînement de fonctions avec la fonction exponentielle : fonctions du type : f(x)=eu(x)
Pour bien étudier ces fonctions, il faut penser à les décomposer.
Propriété : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de ℝ .
1. Si lim 𝑢(𝑥) = −∞ alors : __________________________________________
𝑥→𝑎
2. Si lim 𝑢(𝑥) = +∞ alors : __________________________________________
𝑥→𝑎
3. Si lim 𝑢(𝑥) = 𝑏
𝑥→𝑎
alors : _________________________________________
Exemples : déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble
de définition I :

f(x)=e- 2x+3
I= ℝ :

1
g(x)=e x+2
I=]–2; +∞ [
:
Dérivation : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ, de fonction dérivée
u’ ; alors la fonction e u(x) est dérivable sur ℝ et (e u(x) )’=u’(x) e u(x) .
Exercices : Calculer la dérivée de f(x)=e-2x+3 ; g(x)=4e3x .
Primitive : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ, de fonction dérivée
u’ ; une primitive de la fonction u’(x) e u(x) est la fonction e u(x) .
Exercice : Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)=2x𝑒 𝑥
F de f sur ℝ.
2+ 3
. Déterminer les primitives