cours : fonction exponentielle

COURS : FONCTION EXPONENTIELLE
A. Exponentielle d’un nombre réel :
La fonction logarithme népérien est dérivable et strictement croissante sur
.De plus, 
   et 
    donc lnx décrit tout
l’ensemble des réels quand x décrit.
Pour tout nombre réel a , il existe un unique réel b tel que lnb = a .
Définition : pour tout nombre réel a, on appelle exponentielle de a, et on note
exp(a), l’unique réel b tel que ln b=a.
Exemples : exp(0)= _______ car : __________ et exp(1) =_________ car :
_______________.
propriétés : pour tout réel a et tout réel b positif, on a :
 __________________________________________
 __________________________________________
 __________________________________________
B. Notation e x et propriétés algébriques :
L’équation ln(x)=n admet une seule solution : x = exp(n). Or, ln(en)=n ln(e)=n
Donc en est aussi solution de cette équation.
Par unicité de la solution on en déduit que : exp(n)=en .
Propriété : pour tout nombre réel x, on pose exp(x)=ex .
Propriétés :
Pour tout réel a ,et tout réel b strictement positif, on a :
 ea >0
 lnb=a  
 ln(ea)=__________
Pour tous réels x et y et tout entier relatif n, on a :
 ex + y = _____
 1
ex = _____
 ex
ey =_____
 (e x)n =___
Exercices : simplifier les expressions suivantes :
 e x + ln7 = ____________________________________________________
 (ex )3 = __________________________________________________
C. Résoudre des équations :
Propriétés :
1. Pour une équation de la forme ex = m , on distingue deux cas :
a. Si m  0 alors l’équation n’a pas de solution car e x >0.
b. Si m > 0 alors l’équation a une seule solution x = ln m .
2. Pour tout réel m, une équation de la forme lnx=m a une seule solution : x =
e m .

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3. Exercices : Résoudre chacune des équations suivantes dans R :
 2+5 = 0 :
__________________________________________________________
 5 + 2
ex = 6 :
___________________________________________________________
 5lnx = – 3 :
___________________________________________________________
Pour s’entraîner : Résoudre chacune des équations suivantes dans R :
a) 5 – 7 ex = 0 b) 3 – 4
ex = 0. c) –   ln x + 4 = 0 .
________________ __________________ _______________
D. Etude de la fonction exponentielle :
1. Dérivée et sens de variation :
On sait que ln(e x ) = x ; si on dérive les deux membres de cette égalité : 
 = 1
donc (e x )’=e x .
Propriété : La fonction f définie sur R par f(x)=ex est dérivable sur R et, pour
tout réel x, f ’(x) = (ex )’ = ex .
Pour tout réel x , ex est un réel strictement positif donc f ’(x) > 0 et la
fonction exponentielle est strictement croissante sur R .
2. Limites :
 limites en –  :
On pose x = ln y ; comme 
on a :  
    d’où    .
 limite en +  :
On pose x = ln y ; comme 
on a : 
    d’où     .
Propriété : 
   et   .
3. Tableau de variation et courbe représentative :
x
– ∞ + ∞
( e x) ’ =e
x
+
variations
de e x
+ ∞
0

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E. Lien entre les courbes représentatives des fonctions logarithme népérien et
exponentielle.
Propriété : dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction
logarithme népérien et celle de la fonction exponentielle sont symétriques par
rapport à la droite d’équation y = x.
La fonction logarithme népérien
ou lnx est en pointillé.
La fonction exponentielle ou e x
est en trait plein.
Les deux fonctions sont
croissantes.
Leurs courbes sont symétriques
par rapport à la droite d’équation
y=x.
(Remarque : les fonctions x² et
 ont la même particularité dans
.)
F. Comparaison du comportement en + ∞ de la fonction exponentielle avec les
fonctions puissantes :
Les fonctions puissances et la fonction exponentielle ont toutes pour limites + ∞
en + ∞ mais en observant les graphiques ; il semble que pour les « grandes »
valeurs de x , ex est très « supérieur » à xn ce qui se traduit par :
Propriété (admise) :
____________________________________________________________
a. Déterminer des limites correspondant à une forme indéterminée :
 : _______________________________________
  ____________________________________
 : __________________________________________

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 : __________________________________________
G. Enchaînement de fonctions avec la fonction exponentielle : fonctions du type : f(x)=eu(x)
Pour bien étudier ces fonctions, il faut penser à les décomposer.
Propriété : Soit u une fonction définie sur un intervalle I de  .
1. Si 
   alors : __________________________________________
2. Si 
   alors : __________________________________________
3. Si 
   alors : _________________________________________
Exemples : déterminer les limites des fonctions suivantes aux bornes de leur ensemble
de définition I :
 f(x)=e- 2x+3 I=  :
 g(x)=e 1
x+2 I=]–2; +∞ [ :
Dérivation : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de , de fonction dérivée
u’ ; alors la fonction e u(x) est dérivable sur  et (e u(x) )’=u’(x) e u(x) .
Exercices : Calculer la dérivée de f(x)=e-2x+3 ; g(x)=4 .
Primitive : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I de , de fonction dérivée
u’ ; une primitive de la fonction u’(x) e u(x) est la fonction e u(x) .
Exercice : Soit la fonction f définie sur  par f(x)=2x . Déterminer les primitives
F de f sur .