1 ABCD est un carré. Sur les côtés on place M, N, P et Q tels que : AM = BN = CP = DQ. Quel est la nature du quadrilatère MNPQ ? P D C Q 2 ABC est un triangle isocèle de sommet A N Les bissectrices des angles ABC et ACB coupent respectivement (AC) et (AB) en B' et C'. a) Comparer les triangles BB'C et CC'B b) Montrer que BC' = B'C = B'C'. M A B 3 Sur la figure ci-contre ABC est un triangle tel que BAC = 60° et OBC est un triangle équilatéral. P et Q sont deux points appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC] tels que P et B sont distincts C et Q sont distincts et BP = CQ . A O Il s'agit de déterminer la nature du triangle OPQ. P 1° Calculer la mesure de l'angle BOC. 2° Justifier l'égalité ABO = ACO B 3° Montrer que les triangles OPB et OQC sont isométriques. En déduire que OP = OQ. Q 4° Montrer que POQ = 60°. C 5° Quelle est la nature du triangle POQ ? Justifier la réponse. 4 On se propose de montrer que deux des sommets d'un triangle sont équidistants de la médiane issue du troisième sommet. A cet effet, on nomme E et F les projetés orthogonaux sur la médiane (CC') des sommets A et B d'un triangle ABC. a) Première méthode : Montrer que les triangles AEC' et BC'F sont isométriques. Conclure. AE = 1. Conclure. b) Deuxième méthode : A l'aide du théorème de Thalès, démontrer l'égalité : BF 5 Hauteurs et médianes ABC est un triangle isocèle de sommet A. M est le milieu de [BC]. ABDE et ACFG sont des carrés. a) Démontrer que les triangles AEM et AGM sont isométriques, puis que EM = GM. b) Soit N le projeté orthogonal de M sur (EG). Montrer que (MN) passe par A. c) Démontrer que les triangles ABM et AEN sont isométriques. d) Démontrer que EG = 2 AM et que BC = 2 AN . 6 On considère un cercle de diamètre [AB], un point M de ∆ n’appartenant pas à (AB). Les droites (MA) et (MB) recoupe le cercle C en P et Q. Les droites (AQ) et (BP) se coupent en R. Démontrer que les droites (MR) et (AB) sont perpendiculaires. CORRECTION E G A F D B M C M P Q R A B 1 ABCD est un carré. Sur les côtés on place M, N, P et Q tels que : AM = BN = CP = DQ. D P C Quel est la nature du quadrilatère MNPQ ? Q Avec des triangles isométriques ABCD est un carré donc MAQ = QDP = 90° et DA = DONC N On sait que DQ = CP donc AQ = AD – DQ = DONC – CP = DP On a donc : MAQ = QDP M B A AM = DQ Les triangles AMQ et DQP ont un angle égal compris entre deux côtés AQ = DP A et D sont homologues respectivement de même longueur ils sont donc isométriques et M et Q sont homologues Q et P sont homologues Si deux triangles sont isométriques alors leurs côtés sont deux à deux de même longueur donc MQ = QP On démontrerait de même que les triangles AMQ, DQP, CPN et BNM sont isométriques et donc que MQ = QP = PN = NM. Le quadrilatère MNPQ a ses côtés de même longueur c'est donc un losange. Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles sont deux à deux de même mesure donc AQM = QPD Dans le triangle DQP rectangle en D les angles QPD et DQP sont complémentaires donc les angles AQM et DQP sont donc aussi complémentaires. PQM = 180° – AQM – DQP = 180° – 90° = 90° Le losange MNPQ a donc un angle droit c'est donc un carré. P C D Avec une rotation Soit O le centre du carré ABCD et r la rotation de centre O d'angle 90° qui transforme A en B.Q O On a : r(A) = B, r(B) = C, rC) = D et r(D) = A Démontrons que r(M) = N N On note M ' = r(M) L'image par r du segment [AB] est le segment [CD] donc M ' ∈ [CD] M B A On sait que la rotation conserve les longueurs donc AM = BM ' M ' ∈ [CD] donc M ' = N AM = BM ' On démontrerait de même que r(N) = P, r(P) = Q et r(Q)= M ce qui montre que MNPQ est un carré. 2 ABC est un triangle isocèle de sommet A Les bissectrices des angles ABC et ACB coupent respectivement (AC) et (AB) en B' et C'. a) Comparer les triangles BB'C et CC'B ABC est isocèle en A donc B 'CB = ABC = ACB = C 'BC (BB ') est la bissectrice de ABC et (CC ') celle de ACB donc B 'BC = 1 1 = ABC = ACB = C 'CB 2 2 A BC = CB C' B 'BC = C 'CB Les triangles BB 'C et CC 'B ont en commun la mesure d'un côté et les B 'CB = C 'BC B B ' et C ' sont homologues mesures des deux angles qui lui sont adjacents ils sont donc isométriques et B et C sont homologues C et B sont homologues B' C b) Montrer que BC' = B'C = B'C'. Les triangles BB 'C et CC 'B sont isométriques donc leurs côtés sont deux à deux de même longueur. B 'C = CB ' AB = AC car ABC est isocèle en A donc AC' = AB' et donc que le triangle AB'C' est isocèle en A. BC ' = CB ' AC ' AB ' Comme de plus = , que A, C ' et B sont alignés dans cet ordre et que A, B ' et C sont aussi alignés dans AB AC cet ordre on peut dire, en utilisant la réciproque du théorème de Thalès que (B 'C ') // (BC) La droite (BB ') coupe les droites parallèles (BC) et (B 'C ') et les angles B 'BC et BB 'C ' sont alternes externes dans cette configuration ils sont donc de même mesure. (BB ') est la bissectrice de l'angle ABC donc B 'BC = BB 'C ' On a donc BB 'C ' = B 'BC = B 'BC le triangle BC 'B ' a deux angles de même mesure il est donc isocèle et On peut alors conclure que BC ' = B 'C ' Sur la figure ci-contre ABC est un triangle tel que BAC = 60° et OBC est un triangle équilatéral. P et Q sont deux points appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC] tels que P et B sont distincts C et Q sont distincts et BP = CQ .Il s'agit de A déterminer la nature du triangle OPQ. 1° Calculer la mesure de l'angle BOC. O 3 OBC est équilatéral donc BOC = 60° P 2° Justifier l'égalité ABO = ACO Dans le triangle ABC on a : BAC + ACB + CBA = 180° B donc BAC + ACB + CBO + ABO = 180° par hypothèse on a : BAC = 60° et OBC équilatéral donc OBC = 60° Q C On a donc 60° + ACB + 60° + ABO = 180° c'est à dire ACB + ABO = 60° De plus on a : ACB + ACO = BCO et comme BCO est équilatéral on peut dire que : ACB + ACO = 60° ACB + ABO = 60° Conclusion : donc ABO = ACO ACB + ACO = 60° Variante : BAC = BOC donc les points B, C, A et O sont sur un même cercle C . Les angles ABO et ACO sont inscrits dans le cercle C et ils interceptent le même arc OA ils sont donc égaux 3° Montrer que les triangles OPB et OQC sont isométriques. En déduire que OP = OQ. Par hypothèse BP = CQ On a démontré que PBO = QCO les triangles OPB et OQC ont donc un angle égal compris entre deux côtés OBC est équilatéral donc OB = OC O et O sont homologues respectivement égaux ils sont donc isométriques et P et Q sont homologues B et C sont homologues 4° Montrer que POQ = 60°. Les triangles OPB et OQC sont isométriques ils ont donc leurs angles égaux deux à deux donc POB = QOC On a : POQ = POB + BOQ = QOC + BOQ = BOC = 60° 5° Quelle est la nature du triangle POQ ? Justifier la réponse. Les triangles OPB et OQC sont isométriques ils ont donc les côtés égaux deux à deux et donc OP = OQ Le triangle POQ est donc isocèle en O. De plus le triangle POQ a un angle de 60° il est donc équilatéral. 4 On se propose de montrer que deux des sommets d'un triangle sont équidistants de la médiane issue du troisième sommet. A cet effet, on nomme E et F les projetés orthogonaux sur la médiane (CC') des sommets A et B d'un triangle ABC. a) Première méthode : Montrer que les triangles AEC' et BC'F sont isométriques. Conclure. C Les angles AC'E et BC'F sont opposés par le sommet il sont donc égaux. E est le projeté orthogonal de A sur (CC') donc C'EA = 90°. De même C'FB = 90° AC'E = BC'F Dans les triangles AEC' et BC'F on a donc E C'EA = C'FB EAC' = 180° – AC'E – C'EA = 180° – BC'F – C'FB = FBC' C' Dans le triangle ABC la droite (CC') est la médiane issue de C donc C' est le milieu de [AB] F EAC' = FBC' B AC'E = BC'F Les triangles EAC' et FBC' ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux ils sont C'B = C'A E et F sont homologues donc isométriques et A et B sont homologues C' et C' sont homologues EAC' et FBC' sont isométriques ils ont donc leurs côtés deux à deux égaux et donc AE = BF b) Deuxième méthode : A l'aide du théorème de Thalès, démontrer l'égalité : (AE)⊥ (CC') (BF) ⊥ (CC') donc (AE) // (BF). Dans les triangles EAC' et FBC' AE = 1. Conclure. BF A, C' et B alignés E, C' et F alignés on peut donc appliquer le (AE) // (BF) C'E C'A AE = = . C'F C'B BF AE C'A C' est le milieu de [AB] on a C'A = C'B et donc = = 1. On a donc bien : AE = BF. BF C'B théorème de théorème de Thalès : A 5 Hauteurs et médianes ABC est un triangle isocèle de sommet A . M est le milieu de [BC] . ABDE et ACFG sont des carrés. a) Démontrer que les triangles AEM et AGM sont isométriques, puis que EM = GM. ABDE et ACFG sont des carrés donc EAM = 90° = GAC EAM = EAB + BAM = 90° + BAM GAM = GAC + CAM = 90° + CAM Le triangle ABC est isocèle en A donc la médiane (AM) est aussi bissectrice de l'angle BAC et donc BAM = CAM EAM = 90° + BAM GAM = 90° + CAM donc EAM = GAM E G A F D B M C BAM = CAM ABDE et ACFG sont des carrés donc EA = AB et GA = AC ABC est isocèle en A donc AB = AC et donc EA = GA EAM = GAM EA = GA AM = AM Les triangles EAM et GAM ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement de même longueur ils E et G sont homologues sont donc isométriques et A et A sont homologues M et M sont homologues Les triangles EAM et GAM sont isométriques donc leurs côtés sont deux à deux égaux donc EM = FM b) Soit N le projeté orthogonal de M sur (EG). Montrer que (MN) passe par A. ME = MG AE = AG donc A et M sont sur la médiatrice de [EG] et donc la droite (AM) est la médiatrice de [EG]. A et M se projette donc sur la droite (EG) en N qui est le milieu du segment [EG] c) Démontrer que les triangles ABM et AEN sont isométriques. On a vu que la droite (AM) est la médiatrice de [EG]. N E G ABC est isocèle en A donc la médiane (AM) est aussi hauteur. A On a donc : AMB = ENA = 90° F D B M C Dans EAN on a : AEN + EAN = 90° N, A et M sont alignés donc : MAB + BAE + AEN = 180° donc MAB + 90° + AEN = 180° donc MAB + AEN = 90°. comme NEA + AEN = 90° on peut en déduire que MAB = AEN AMB = ENA donc ABM = 180° – AMB – MAB = 180° – ENA – AEN = EAN MAB = AEN On a vu de plus que AB = EA ABM = EAN MAB = AEN Les triangles ABM et EAN ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux ils sont AB = EA A et E sont homologues donc isométriques et B et A sont homologues M et N sont homologues d) Démontrer que EG = 2 AM et que BC = 2 AN . Les triangles ABM et EAN sont isométriques ils ont donc leur côtés égaux deux à deux. 1 On a donc : AM = EN. Comme N est le milieu de [EG] on peut en déduire que AM = EG et que EG = 2 AM. 2 1 On a aussi : BM = AN Comme M est le milieu de [BC] on peut en déduire que AN = BC et que BC = 2 AN.. 2