CORRECTION

1 ABCD est un carré. Sur les côtés on place M, N, P et Q tels que : AM = BN = CP = DQ.
Quel est la nature du quadrilatère MNPQ ?
2 ABC est un triangle isocèle de sommet A
Les bissectrices des angles ABC et ACB coupent respectivement (AC) et (AB) en
B' et C'.
a) Comparer les triangles BB'C et CC'B
b) Montrer que BC' = B'C = B'C'.
3 Sur la figure ci-contre ABC est un triangle tel que BAC = 60° et OBC est un triangle équilatéral. P et Q sont
deux points appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC] tels que P et B sont distincts C et Q sont
distincts et BP = CQ .
Il s'agit de déterminer la nature du triangle OPQ.
1° Calculer la mesure de l'angle BOC.
2° Justifier l'égalité ABO = ACO
3° Montrer que les triangles OPB et OQC sont isométriques. En déduire que OP = OQ.
4° Montrer que POQ = 60°.
5° Quelle est la nature du triangle POQ ? Justifier la réponse.
4 On se propose de montrer que deux des sommets d'un triangle sont équidistants de la médiane issue du
troisième sommet. A cet effet, on nomme E et F les projetés orthogonaux sur la médiane (CC') des sommets A et
B d'un triangle ABC.
a) Première méthode : Montrer que les triangles AEC' et BC'F sont isométriques. Conclure.
b) Deuxième méthode : A l'aide du théorème de Thalès, démontrer l'égalité :AE
BF = 1. Conclure.
5 Hauteurs et médianes ABC est un triangle isocèle de sommet A.
M est le milieu de [BC].
ABDE et ACFG sont des carrés.
a) Démontrer que les triangles AEM et AGM sont isométriques, puis que
EM = GM.
b) Soit N le projeté orthogonal de M sur (EG).
Montrer que (MN) passe par A.
c) Démontrer que les triangles ABM et AEN sont isométriques.
d) Démontrer que EG = 2 AM et que BC = 2 AN .
6 On considère un cercle de diamètre [AB], un point M de ∆ n’appartenant
pas à (AB).
Les droites (MA) et (MB) recoupe le cercle C en P et Q.
Les droites (AQ) et (BP) se coupent en R.
Démontrer que les droites (MR) et (AB) sont perpendiculaires.
A
B
C
P
Q
O
A
B
C
D
M
N
P
Q
CORRECTION
A
B
M
P
Q
R
A
B
C
M
E
D
G
F

1 ABCD est un carré. Sur les côtés on place M, N, P et Q tels que : AM = BN = CP = DQ.
Quel est la nature du quadrilatère MNPQ ?
Avec des triangles isométriques
ABCD est un carré donc MAQ = QDP = 90° et DA = DONC
On sait que DQ = CP donc AQ = AD – DQ = DONC – CP = DP
On a donc : MAQ = QDP
AM = DQ
AQ = DP
Les triangles AMQ et DQP ont un angle égal compris entre deux côtés
respectivement de même longueur ils sont donc isométriques et
A et D sont homologues
M et Q sont homologues
Q et P sont homologues
Si deux triangles sont isométriques alors leurs côtés sont deux à deux de même longueur donc MQ = QP
On démontrerait de même que les triangles AMQ, DQP, CPN et BNM sont isométriques et donc que MQ = QP =
PN = NM. Le quadrilatère MNPQ a ses côtés de même longueur c'est donc un losange.
Si deux triangles sont isométriques alors leurs angles sont deux à deux de même mesure donc AQM = QPD
Dans le triangle DQP rectangle en D les angles QPD et DQP sont complémentaires donc les angles AQM et DQP
sont donc aussi complémentaires.
PQM = 180° – AQM – DQP = 180° – 90° = 90°
Le losange MNPQ a donc un angle droit c'est donc un carré.
Avec une rotation
Soit O le centre du carré ABCD et r la rotation de centre O d'angle 90° qui transforme A en B.
On a : r(A) = B, r(B) = C, rC) = D et r(D) = A
Démontrons que r(M) = N
On note M ' = r(M)
L'image par r du segment [AB] est le segment [CD] donc M ' ∈ [CD]
On sait que la rotation conserve les longueurs donc AM = BM '
M
' ∈ [CD]
AM = BM ' donc M
' = N
On démontrerait de même que r(N) = P, r(P) = Q et r(Q)= M ce qui montre que MNPQ est un carré.
2 ABC est un triangle isocèle de sommet A Les bissectrices des angles ABC et ACB coupent respectivement (AC) et (AB) en
B' et C'. a) Comparer les triangles BB'C et CC'B
ABC est isocèle en A donc B 'CB = ABC = ACB = C 'BC
(BB ') est la bissectrice de ABC et (CC ') celle de ACB donc B 'BC = 1
2 = ABC = 1 2 ACB = C
'CB
BC = CB
B 'BC = C 'CB
B 'CB = C 'BC
Les triangles BB 'C et CC 'B ont en commun la mesure d'un côté et les
mesures des deux angles qui lui sont adjacents ils sont donc isométriques et
B ' et C ' sont homologues
B et C sont homologues
C et B sont homologues
b) Montrer que BC' = B'C = B'C'.
Les triangles BB 'C et CC 'B sont isométriques donc leurs côtés sont deux à deux de même longueur. B 'C = CB '
AB = AC car ABC est isocèle en A
BC ' = CB ' donc AC' = AB' et donc que le triangle AB'C' est isocèle en A.
Comme de plus AC '
AB = AB ' AC , que A, C ' et B sont alignés dans cet ordre et que A, B ' et C sont aussi alignés dans
cet ordre on peut dire, en utilisant la réciproque du théorème de Thalès que (B 'C ') // (BC)
La droite (BB ') coupe les droites parallèles (BC) et (B 'C ') et les angles B 'BC et BB 'C ' sont alternes externes
dans cette configuration ils sont donc de même mesure.
(BB ') est la bissectrice de l'angle ABC donc B 'BC = BB 'C '
On a donc BB 'C ' = B 'BC = B 'BC le triangle BC 'B ' a deux angles de même mesure il est donc isocèle et
On peut alors conclure que BC ' = B 'C '
A
B
C
D
M
N
P
Q
O
A
B
C
B
'
C
'
A
B
C
D
M
N
P
Q

3 Sur la figure ci-contre ABC est un triangle tel que BAC = 60° et OBC est un triangle équilatéral. P et Q sont deux points
appartenant respectivement aux segments [AB] et [AC] tels que P et B sont distincts C et Q sont distincts et BP = CQ .Il s'agit de
déterminer la nature du triangle OPQ. 1° Calculer la mesure de l'angle BOC.
OBC est équilatéral donc BOC = 60°
2° Justifier l'égalité ABO = ACO
Dans le triangle ABC on a : BAC + ACB + CBA = 180°
donc BAC + ACB + CBO + ABO = 180°
par hypothèse on a : BAC = 60° et OBC équilatéral donc OBC = 60°
On a donc 60° + ACB + 60° + ABO = 180° c'est à dire ACB + ABO = 60°
De plus on a : ACB + ACO = BCO et comme BCO est équilatéral on peut dire que : ACB + ACO = 60°
Conclusion : ACB + ABO = 60°
ACB + ACO = 60°
donc ABO = ACO
Variante : BAC = BOC donc les points B, C, A et O sont sur un même cercle C . Les angles ABO et ACO sont
inscrits dans le cercle C et ils interceptent le même arc OA ils sont donc égaux
3° Montrer que les triangles OPB et OQC sont isométriques. En déduire que OP = OQ.
Par hypothèse BP = CQ
On a démontré que PBO = QCO
OBC est équilatéral donc OB = OC
les triangles OPB et OQC ont donc un angle égal compris entre deux côtés
respectivement égaux ils sont donc isométriques et
O et O sont homologues
P et Q sont homologues
B et C sont homologues
4° Montrer que POQ = 60°.
Les triangles OPB et OQC sont isométriques ils ont donc leurs angles égaux deux à deux donc POB = QOC
On a : POQ = POB + BOQ = QOC + BOQ = BOC = 60°
5° Quelle est la nature du triangle POQ ? Justifier la réponse.
Les triangles OPB et OQC sont isométriques ils ont donc les côtés égaux deux à deux et donc OP = OQ
Le triangle POQ est donc isocèle en O. De plus le triangle POQ a un angle de 60° il est donc équilatéral.
4 On se propose de montrer que deux des sommets d'un triangle sont équidistants de la médiane issue du troisième sommet. A
cet effet, on nomme E et F les projetés orthogonaux sur la médiane (CC') des sommets A et B d'un triangle ABC.
a) Première méthode : Montrer que les triangles AEC' et BC'F sont isométriques. Conclure.
Les angles AC'E et BC'F sont opposés par le sommet il sont donc égaux.
E est le projeté orthogonal de A sur (CC') donc C'EA = 90°. De même C'FB = 90°
Dans les triangles AEC' et BC'F on a AC'E = BC'F
C'EA = C'FB donc
EAC' = 180° – AC'E – C'EA = 180° – BC'F – C'FB = FBC'
Dans le triangle ABC la droite (CC') est la médiane issue de C donc C' est le milieu de [AB]
EAC' = FBC'
AC'E = BC'F
C'B = C'A
Les triangles EAC' et FBC' ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux ils sont
donc isométriques et
E et F sont homologues
A et B sont homologues
C' et C' sont homologues
EAC' et FBC' sont isométriques ils ont donc leurs côtés deux à deux égaux et donc AE = BF
b) Deuxième méthode : A l'aide du théorème de Thalès, démontrer l'égalité :AE
BF = 1. Conclure.
(AE)
⊥ (CC')
(BF) ⊥ (CC') donc (AE) // (BF). Dans les triangles EAC' et FBC'
A, C' et B alignés
E, C' et F alignés
(AE) // (BF)
on peut donc appliquer le
théorème de théorème de Thalès : C'E
C'F = C'A
C'B = AE BF.
C' est le milieu de [AB] on a C'A = C'B et donc AE
BF = C'A C'B = 1. On a donc bien : AE = BF.
A
B
C
P
Q
O
A
B
C
C
'
F
E

5 Hauteurs et médianes ABC est un triangle isocèle de sommet A . M est le milieu de [BC] . ABDE et ACFG sont des carrés.
a) Démontrer que les triangles AEM et AGM sont isométriques, puis que EM = GM.
ABDE et ACFG sont des carrés donc EAM = 90° = GAC
EAM = EAB + BAM = 90° + BAM
GAM = GAC + CAM = 90° + CAM
Le triangle ABC est isocèle en A donc la médiane (AM) est aussi bissectrice
de l'angle BAC et donc BAM = CAM
EAM = 90° + BAM
GAM = 90° + CAM
BAM = CAM
donc EAM = GAM
ABDE et ACFG sont des carrés donc EA = AB et GA = AC
ABC est isocèle en A donc AB = AC et donc EA = GA
EAM = GAM
EA = GA
AM = AM
Les triangles EAM et GAM ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement de même longueur ils
sont donc isométriques et
E et G sont homologues
A et A sont homologues
M et M sont homologues
Les triangles EAM et GAM sont isométriques donc leurs côtés sont deux à deux égaux donc EM = FM
b) Soit N le projeté orthogonal de M sur (EG). Montrer que (MN) passe par A.
ME = MG
AE = AG donc A et M sont sur la médiatrice de [EG] et donc la droite (AM) est la médiatrice de [EG].
A et M se projette donc sur la droite (EG) en N qui est le milieu du segment [EG]
c) Démontrer que les triangles ABM et AEN sont isométriques.
On a vu que la droite (AM) est la médiatrice de [EG].
ABC est isocèle en A donc la médiane (AM) est aussi hauteur.
On a donc : AMB = ENA = 90°
Dans EAN on a : AEN + EAN = 90°
N, A et M sont alignés donc : MAB + BAE + AEN = 180° donc MAB + 90° + AEN = 180° donc
MAB + AEN = 90°. comme NEA + AEN = 90° on peut en déduire que MAB = AEN
AMB = ENA
MAB = AEN donc ABM = 180° – AMB – MAB = 180° – ENA – AEN = EAN
On a vu de plus que AB = EA
ABM = EAN
MAB = AEN
AB = EA
Les triangles ABM et EAN ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux ils sont
donc isométriques et
A et E sont homologues
B et A sont homologues
M et N sont homologues
d) Démontrer que EG = 2 AM et que BC = 2 AN .
Les triangles ABM et EAN sont isométriques ils ont donc leur côtés égaux deux à deux.
On a donc : AM = EN. Comme N est le milieu de [EG] on peut en déduire que AM = 1
2 EG et que EG = 2 AM.
On a aussi : BM = AN Comme M est le milieu de [BC] on peut en déduire que AN = 1
2 BC et que BC = 2 AN..
A
B
C
M
E
D
G
F
A
B
C
M
E
D
G
F
N