PCSI IV – MÉCANIQUE CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

PCSI
IV – MÉCANIQUE
CINÉMATIQUE
DU SOLIDE
INDÉFORMABLE
Cinématique du solide indéformable
Objet de la cinématique
La cinématique est la partie de la mécanique qui permet de décrire les mouvements des solides indépendamment des causes qui les provoquent.
1. DÉFINITION D’UN SOLIDE INDÉFORMABLE
1.1. Référentiel : espace, temps – Repère attaché à un référentiel
Référentiel
→
z
Le référentiel est un système de repérage permettant de situer un événement dans l’espace et dans le temps.
→
Le référentiel est constitué idéalement d’un repère d’espace et d’un
repère de temps.
O
R
y
→
x
Repère d’espace
Fig 1 : Repère d’espace
Les solides étudiés évoluent dans un espace physique qui peut être
modélisé par un espace affine caractérisé par un repère orthonormé
direct R O, x, y, z (fig. 1).
Base de temps
Repère de temps
→
e
Le temps peut être considéré comme un ensemble d’instants infiniment rapprochés et liés par une relation d’ordre.
O
Il peut être modélisé par un espace affine à une dimension.
T
Instant
Origine de la chronologie
Dans ce repère, on peut définir une origine O et des instants T de telle
sorte que OT = t e où t représente la date de l’instant T (fig. 2).
Fig 2 : Repère de temps
1.2. Équivalence entre référentiel et solide indéformable
Solide indéformable
On appelle solide indéformable S, tout ensemble de points matériels dont la distance est invariable dans le
temps, ce qui se traduit par :
2
∀ A et B ∈ S ⇔ AB = constante
[1]
Dans la suite de ce cours, on acceptera le terme de « solide » pour « solide indéformable ».
Équivalence entre référentiel et solide indéformable
Un repère d’espace étant défini par une origine et trois vecteurs unitaires orthonormés, les extrémités de
ces vecteurs sont à des distances fixes de l’origine tout en étant fixes entre eux. Ceci étant vrai à chaque instant, un référentiel est donc équivalent à un solide.
Étudier le mouvement d’un solide par rapport à un autre revient donc à étudier le mouvement des repères
liés à ces solides.
1
Cinématique du solide indéformable
2. MOUVEMENT RELATIF DE DEUX SOLIDES
2.1. Paramétrage
Pour connaître la position d’un solide dans l’espace, il suffit de
connaître la position de trois de ses points, soit 9 paramètres.
θz
→
z
S2
Z
Mais les trois points étant à des distances invariables les uns par rapport aux autres, il convient d’ajouter 3 équations de liaison des paramètres.
S1
θy
θx
Y
O
→
En définitive, la position d’un solide dans l’espace dépend donc de 6
paramètres indépendants qui caractérisent les 6 degrés de liberté
du solide (3 translations + 3 rotations) par rapport à un référentiel : X,
Y, Z, θx , θy , θz (fig. 3).
y
X
→
x
Fig 3 : Degrés de liberté
2.2. Position d’un référentiel par rapport à un autre – Angles d’Euler
Le positionnement d’un solide S2 par rapport à un solide S1 est défini lorsque les 6 paramètres indépendants X, Y, Z, θx , θy , θz appelés paramètres de position sont déterminés.
De façon générale, soient deux référentiels Ri Oi, x i, yi, zi
→
zj
et
point A lié au solide Sj. D’après l’équivalence référentiel-solide, étudier
→
yj
Rj
Oj
la position du référentiel Rj par rapport au référentiel Ri (fig. 4).
xA
→
xj
La position du point A, fixe dans le repère Rj , peut être exprimée :
' z défini dans le repère R ,.
• soit par le vecteur OiA = x 'A x i + yA' yi + zA
i
i
yA
→
zi
la position du solide Sj par rapport au référentiel Ri revient à étudier
• soit par le vecteur OjA = x A x j + yA yj + zA zj défini dans le repère Rj ;
A
zA
R j Oj, x j, yj, zj , l’un lié au solide Si, l’autre lié au solide Sj. Soit un
→
yi
Oi
→
xi
Ri
Fig 4 : Repérage d’un point A
Changement de référentiels, repères d’espace
En mécanique, il est fréquent de changer de référentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, la
vitesse ou l’accélération d’un point ou toute autre grandeur vectorielle. La mécanique newtonienne, basée
sur la relativité galiléenne selon laquelle le temps ne dépend pas du référentiel, permet de considérer qu’un
changement de référentiel se limite à un changement d’espace.
' z dans le repère R , c’est-à-dire
On se propose de définir les coordonnées du vecteur OiA = x 'A x i + yA' yi + zA
i
i
de réaliser un changement de repère de Rj vers Ri.
Un cas élémentaire fréquemment rencontré correspond à une simple rotation des deux repères autour d’un
axe. Le cas plus complexe d’une rotation autour d’un point peut alors être considéré comme la succession
de trois rotations autour d’axes distincts. Ces deux cas sont étudiés ci-après.
Changement de repère d’un vecteur dans le cas d’une rotation autour d’un axe
Considérons que le repère Rj a pivoté d’un angle θ autour de l’axe x i
par rapport au repère Ri (fig. 5). Dans ces conditions, les vecteurs unitaires de Ri peuvent s’exprimer dans le repère Rj de la façon suivante :
xi = xj
yi = cos α yj – sin α zj
zi = sin α yj + cos α zj
2
→
zj
θ
→
zi
Rj
→
xi
→
xj
θ
Ri
→
yj
→
yi
Fig 5 : Rotation autour d’un axe
Cinématique du solide indéformable
On peut ainsi écrire la matrice de passage Pi, j du repère Rj au repère Ri pour la rotation d’angle α dans
laquelle l’axe x j reste confondu avec x i de la façon suivante :
Pi, j =
1
0
0
0
0
cos α – sin α
sin α cos α
Un vecteur V s’exprimera par V R = Pi, j V R
i
j
[2]
[3]
soit pour le vecteur V = OiA , dans le changement de repère de Rj vers Ri :
x'A
yA' =
zA'
1
0
0
xA
xA
yA = yA cos α – zA sin α
yA sin α + zA cos α
zA
0
0
cos α – sin α
sin α cos α
[4]
Inversement, si l’on veut effectuer un changement de repère de Ri vers Rj pour le vecteur V connu dans le
repère Ri, celui-ci s’exprimera par : V R = Pj, i V R , avec Pj, i = Pi,–1j (matrice inverse).
j
i
REMARQUE – Ici, Pi,–1j = tPi, j (matrice transposée).
Changement de base d’un vecteur dans le cas d’une rotation autour d’un point - Angles d’Euler
Si la rotation autour d’un point de l’angle θ se fait par l’intermédiaire de 3 rotations élémentaires précédentes dont les matrices de passage sont Pi, j, Pj, k et Pk, l, le passage du repère Rl vers le repère Ri s’exprimera par :
V R = Pi, l V R
i
l
Pour définir 3 rotations élémentaires il est fréquent d’utiliser 3
angles appelés « angles
d’Euler ». Ces angles sont couramment utilisés en astronomie
pour définir la position d’une
planète par rapport à un référentiel donné. Par convention,
ces angles sont définis de la
façon suivante (fig. 6) :
avec
→
Pi, l = Pi, j Pj, k Pk l
→
→
[5]
→
z0 = w
z1 = z2
θ
→
y2
θ
• ψ (psi) : angle de précesssion ;
• θ (theta) : angle de nutation ;
→
x0
ψ
→
u=
→
x1
→
x2
v
→ → →
ψ
R {u, v, w}
→→→
θ
→ → →
ϕ
R0 {x0, y0, z0}
ϕ
→
ψ
O
• ϕ (phi) : angle de rotation
propre.
Les changements de repères successifs sont résumés dans la figure 6.
→
y1
ϕ
R1 {x1, y1, z1}
→
y0
→→→
R {u, v, w}
→ → →
R1 {x1, y1, z1}
→ → →
R2 {x2, y2, z2}
UTILISATION – voir TD
Fig 6 : Angles d’Euler
3
Cinématique du solide indéformable
Changement de base d’un vecteur dans le cas général
Dans le cas général de la figure 3 où l’on passe du repère Rj au repère Ri par la combinaison d’une translation et d’une rotation, le vecteur V = OiA a pour expression : OiA = OiOj + OjA .
La projection dans le repère Ri donne : OiA R = OiOj + OjA
.
Ri
Ri
i
Or le vecteur OjA est connu par ses projections dans le repère Rj : OjA = x A x j + yA yj + zA zj .
Par contre le vecteur OiOj est connu par ses projections dans le repère Ri : OiOj = x x i + y yi + z zi .
Il vient donc OiA R = OiOj + Pi, j OjA , ou encore, en fonction des composantes :
Ri
Rj
i
x 'A
xA
x
'
yA = y + Pi, j yA
'
z
zA
zA
[6]
2.3. Dérivée temporelle d’un vecteur par rapport à un référentiel
Soit le vecteur U de module constant, mobile dans le repère R0 fixe.
dU
, dérivée de U par rapport au temps est un vecteur perpendiculaire à U . En
dt
effet, si l’on part de U . U = constante , on a :
* On peut montrer que
d U . U = 0 soit dU . U + U . dU = 0 et 2 U . dU = 0.
dt
dt
dt
dt
dU
dU
dU
= 0 ⇒ U et
sont perpendiculaires à condition que
≠0
Ainsi, U .
dt
dt
dt
* Supposons maintenant que U = Ux x + Uy y + Uz z est fixe et défini dans le repère R, lui même mobile dans
le repère R0 .
Alors
dU
dx
dy
dz
= Ux
+ Uy
+ Uz
dt R0
dt
dt
dt
dx
dx
= α1 y + α2 z
est perpendiculaire à x , supposons que
dt
dt
dy
dy
= α3 z + α4 x
De même, si
est perpendiculaire à y , supposons que
dt
dt
dz
dz
= α5 x + α6 y
et si
est perpendiculaire à z , supposons que
dt
dt
D’après les résultats précédents, si
x⊥y
x⊥z
y⊥z
4
dx
dy
.y+x.
=0
dt
dt
dx
. y = α1 et
or, d'après [7] et [8],
dt
dx
dz
⇒ x.z=0 ⇒
.z+x.
=0
dt
dt
dx
. z = α2 et
or, d'après [7] et [9],
dt
dy
dz
⇒ y.z=0 ⇒
.z+y.
=0
dt
dt
dy
. z = α3 et
or, d'après [8] et [9],
dt
⇒
x.y=0
⇒
x.
dy
= α4
dt
⇒
α4 = – α1
x.
dz
= α5
dt
⇒
α5 = – α2
y.
dz
= α6
dt
⇒
α6 = – α3
[7]
[8]
[9]
Cinématique du solide indéformable
dx
= α1 y + α2 z
dt
dy
= – α1 x + α3 z
dt
dz
= – α2 x – α3 y
dt
On en déduit donc que
La dérivée du vecteur U par rapport au temps, dans le repère R0, devient :
dU
dt
= Ux α1 y + α2 z + Uy – α1 x + α3 z + Uz – α2 x – α3 y
R0
= – α1 Uy – α2 Uz x + α1 Ux – α3 Uz y + α2 Ux + α3 Uy z
dU
On constate que
dt
Posons
est le déterminant de la matrice
R0
x y z
α3 – α2 α1 .
Ux Uy Uz
x y z
α3 = ωx
– α2 = ωy , alors la matrice devient ωx ωy ωz
α1 = ωz
Ux Uy Uz
Si ωx, ωy et ωz sont les composantes d'un vecteur Ω = ωx x + ωy y + ωz z, alors :
dU
=Ω∧U
dt R0
[10]
Cette relation exprime la dérivée d’un vecteur mobile par rapport à un repère fixe.
2.4. Trajectoire, vitesse et accélération d’un point par rapport à un référentiel
Position
Lorsqu’un point matériel est mobile par rapport à un repère R, on peut caractériser sa position par son vecteur position noté :
OM = x x + y y + z z
[11]
Les scalaires x, y et z sont les coordonnées du point M dans le repère R.
Trajectoire
On appelle trajectoire l’ensemble des positions successives occupées, au cours du temps, par le point mobile
M dans le repère R.
Vitesse
La vitesse du point M par rapport au repère R est, par définition, la dérivée par rapport au temps du vecteur position défini dans le repère R :
VM/R =
dOM
dt R
[12]
Ou encore d’après l’expression [6] du vecteur position :
dy
VM/R = dx x +
y + dz z = x x + y y + z z
dt
dt
dt
[13]
5
Cinématique du solide indéformable
Accélération
L’accélération du point M par rapport au repère R est, par définition, la dérivée par rapport au temps du
vecteur vitesse défini dans le repère R :
Γ M/R =
dVM/R
d2OM
=
dt R
dt2 R
[14]
Ou encore d’après l’expression [11] du vecteur position :
Γ M/R =
d2x
d2z
d2y
x
+
y
+
z=xx+yy+zz
dt2
dt2
dt2
[15]
2.5. Relation entre les dérivées temporelles d’un vecteur par rapport à deux
référentiels distincts
Soit un repère R0 indépendant d’un paramètre t et un vecteur U en mouvement dans un repère R1.
Supposons que le vecteur U = Ux1 x 1 + Uy1 y1 + Uz1 z1 est connu dans ce repère R1 lui-même en mouvement
par rapport à R0, donc dépendant de t.
Si l’on cherche la dérivée de U par rapport à t dans le repère R0, on obtient :
dUy1
dU
dU
dx
dy dU
dz
= x1 x 1 + Ux1 1 +
y + Uy1 1 + z1 z1 + Uz1 1
dt R
dt
dt
dt 1
dt
dt
dt
0
=
dUy1
dUx1
dU
dx
dy
dz
x1 +
y + z1 z1 + Ux1 1 + Uy1 1 + Uz1 1
dt
dt 1
dt
dt
dt
dt
La première parenthèse représente la dérivée par rapport au temps du vecteur U dans le repère R1 que l’on
dU
.
dt R1
La seconde parenthèse donne :
va noter
Ux1 ΩR1/R0 ∧ x 1 + Uy1 ΩR1/R0 ∧ y1 + Uz1 ΩR1/R0 ∧ z1 ,
ou encore:
ΩR /R ∧ Ux1 x 1 + ΩR /R ∧ Uy1 y1 + ΩR /R ∧ Uz1 z1 ,
1 0
1 0
1 0
ce qui conduità
ΩR /R ∧ Ux1 x 1 + Uy1 y1 + Uz1 z1 = ΩR /R ∧ U
1 0
1 0
On obtient, en définitive, la formule générale de dérivation composée d’un vecteur en mouvement par rapport à deux repères :
dU
dU
=
+ ΩR /R ∧ U
1 0
dt R0
dt R1
6
[16]
Cinématique du solide indéformable
2.6. Vecteur-vitesse de rotation de deux référentiels en mouvement l’un par
rapport à l’autre
Dans la relation [10] de la page 5, le vecteur Ω représente le vecteur vitesse de rotation du vecteur U par
rapport au repère R0.
ωx, ωy et ωz, composantes du vecteur Ω sur les axes x, y et z , représentent les rotations successives du vecteur U autour des axes x, y et z respectivement.
En mécanique, les solides sont souvent assimilés à leur repère. Le vecteur rotation du repère R1 par rapport
au repère R0 sera donc écrit de la façon suivante : ΩR /R
1 0
2.7. Composition des vecteurs vitesse de rotation
Si on généralise la relation [16] à k repères successifs notés Rk, Rk-1,…, R0, et en dérivant le vecteur U successivement dans chaque repère, on obtient :
dU
dU
=
+ ΩR /R ∧ U
k k–1
dt R
dt R
k–1
k
dU
dU
=
+ ΩR /R ∧ U
k–1 k–2
dt R
dt R
k–2
k–1
.
.
.
dU
dU
=
+ ΩR2/R1 ∧ U
dt R1 dt R2
dU
dU
=
+ ΩR /R ∧ U
1 0
dt R0
dt R1
En additionnant membre à membre, on obtient :
dU
dU
=
+ ΩR /R + ΩR /R +… + ΩR1/R0 ∧ U,
k k–1
k–1 k–2
dt R0
dt Rk
qui peut se mettre sous la forme
L’égalité
dU
dU
=
+ ΩR /R ∧ U.
k 0
dt R0
dt Rk
ΩR /R0 = ΩR /R + ΩR /R +… + ΩR1/R0
k
k k–1
k–1 k–2
[17]
montre alors la composition des vecteurs vitesse de rotation.
Application aux angles d’Euler
Voir exercice de TD.
7
Cinématique du solide indéformable
2.8. Composition des vecteurs-vitesse
Considérons un solide S en mouvement dans un repère
→
R1 O1, x 1, y1, z1 lui même en mouvement par rapport à un repère
M
z1
S
R0 O0, x 0, y0, z0 fixe (fig. 7).
→
y1
Exprimons le vecteur position du point M dans le repère R0 et dérivons
le par rapport au temps. Cela donne :
R1
→
z0
O1
O0M = O0O1 + O1M
→
dO0O1
dO1M
dO0M
=
+
dt R
dt R
dt R
0
0
0
x1
→
y0
O0
→
R0
x0
dO0M
= VM,S/R0
dt R0
avec
Fig 7 : Repères en mouvements relatifs
dO0O1
= VO1,R1/R0
dt R
0
dO1M
dO1M
=
+ ΩR1/R0 ∧ O1M
dt R0
dt R1
Ce qui donne
VM,S/R0 = VM,S/R1 + VO1,R1/R0 + ΩR1/R0 ∧ O1M
En posant VO1,R1/R0 + ΩR1/R0 ∧ O1M = VM,R1/R0 , on remarque que :
[17]
VM,S/R0 = VM,S/R1 + VM,R1/R0
[18]
Le mouvement de S par rapport à R0 est appelé « mouvement absolu ».
Le mouvement de S par rapport à R1 est appelé « mouvement relatif ».
Le mouvement de R1 par rapport à R0 est appelé « mouvement d’entraînement ».
Il vient donc :
VAbsolue = VRelative + VEntraînement
[19]
Généralisation
Soient n repères Ri dont on connaît les mouvements relatifs par rapport aux repères Ri-1. Soit le solide S en
mouvement connu par rapport au repère R0 et un point M de S.
L’application successive de la relation [18] entre S et Ri en faisant intervenir le repère intermédiaire Ri+1
donne :
VM,S/Rn–1 = VM,S/Rn + VM,Rn/Rn–1
VM,S/Rn–2 = VM,S/Rn–1 + VM,Rn–1/Rn–2
…
VM,S/R = VM,S/R + VM,R /R
0
1
1 0
n
Soit, en effectuant la somme membre à membre VM,S/R0 = VM,S/Rn +
Σ VM,Ri/Ri–1
i=1
Mais en appliquant directement [18] entre S, R0 et Rn, on obtient VM,S/R = VM,S/R + VM,R /R
0
n
n 0
Ce qui permet d’écrire, en identifiant les termes :
8
n
VM,Rn/R0 =
Σ VM,Ri/Ri–1
i=1
[20]
Cinématique du solide indéformable
2.9. Torseur distributeur des vitesses. Équiprojectivité
Champ des vitesses d’un solide
Le paramètre temps t étant fixé, on appelle champ des vitesses d’un solide S à l’instant t le champ qui, à
tout point M du solide associe le vecteur vitesse VM,S/ R .
0
2.9.1. Torseur cinématique ou torseur distributeur des vitesses
En appliquant la relation [10] au vecteur AB du solide S en mouvement par rapport au repère R0, le temps t
étant le paramètre de dérivation, on obtient :
dAB
= ΩS/R ∧ AB
0
dt R
0
Soit
VB,S/ R – VA,S/ R = ΩS/R ∧ AB
0
0
0
VB,S/ R = VA,S/ R + ΩS/R0 ∧ AB
0
0
ou encore
[21]
C’est la relation de changement de point pour le transfert d’un torseur d’un point A à un point B.
Or, VB,S/ R est le champ des moments d’un torseur, ce torseur a donc ΩS/R0 comme résultante. On l’appelle
0
« torseur cinématique » et on le note, au point A :
VS/ R0
=
ΩS/R
0
[22]
VA,S/ R
0
A
REMARQUES
– Le torseur cinématique définit le mouvement du solide à chaque instant.
– Il n’est pas nécessaire que le point A soit physiquement sur le solide S. Il suffit qu’il soit fixe dans tout
repère lié à S.
– Toutes les opérations sur les torseurs sont applicables au torseur cinématique.
2.9.2. Équiprojectivité
2
Si l’on repart de la relation fondamentale AB = constante que l’on écrit sous la forme
2
OB – OA = constante, on obtient, en dérivant par rapport au temps, dans le repère R0 :
d OB – OA 2 = 0
dt
VB,S/ R – VA,S/ R . OB – OA = 0
0
0
Soit
VB,S/ R – VA,S/ R . AB = 0
0
0
Ou encore :
VB,S/ R . AB = VA,S/ R . AB
0
0
[23]
Le champ des vitesses d’un solide indéformable est équiprojectif. (Propriété du champ des moments d’un
torseur.)
9
Cinématique du solide indéformable
2.10. Axe instantané de viration
L’ensemble des points d’un solide qui, à un moment donné ont une vitesse nulle par rapport à un autre solide, constitue l’axe instantané de viration (ou de rotation).
2.11. Mouvements particuliers : translation et rotation
2.11.1. Mouvement de translation
Définition
Un solide S est animé d’un mouvement de translation par rapport à un repère fixe R0 si deux vecteurs AB
et AC non colinéaires appartenant à S restent équipollents à eux-mêmes au cours du temps.
Caractéristiques
– Les trajectoires de tous les points du solide sont parallèles.
– Si la trajectoire est une droite, la translation est dite rectiligne.
– Si la trajectoire est une courbe, la translation est dite curviligne. Si cette courbe est un cercle, la translation est dite circulaire.
– La liaison qui permet de réaliser un tel mouvement entre deux solides est la « liaison glissière » (voir chapitre « Modélisation cinématique des liaisons »).
Torseur cinématique
VS/ R0
ΩS/R = 0
0
=
VM,S/ R
0
[24]
Ce torseur est un torseur couple.
M
– Le champ des vitesses est uniforme à tout instant.
– La connaissance d’un seul vecteur vitesse à un instant donné permet de caractériser les vecteurs vitesses de
tous les autres points du solide à ce même instant.
Champ des accélérations
Si on dérive par rapport au temps la relation [21] pour deux points A et B appartenant au solide S, nous
pouvons écrire :
dV
= d VA,S/ R
+ d ΩS/R
∧ AB + ΩS/R ∧ ΩS/R ∧ AB
0
0
0
0
dt
dt
dt B,S/ R0 R
R
R0
0
0
Γ B,S/ R = Γ A,S/ R + d ΩS/R0
∧ AB + ΩS/R0 ∧ ΩS/R0 ∧ AB
0
0
dt
R
0
• Condition nécessaire
Il faut que ΩS/R0 = 0 , on obtient alors :
Γ B,S/ R = Γ A,S/ R
0
0
• Condition suffisante
dΩ
Il faut que :
∧ AB + ΩS/R0 ∧ ΩS/R0 ∧ AB = 0
dt S/R0 R
0
Pour le vérifier, calculons d ΩS/R ∧ AB
0
dt
R0
10
[25]
[26]
Cinématique du solide indéformable
d Ω
∧ AB
= d ΩS/R
∧ AB + ΩS/R ∧ d AB
0
0
dt
dt
dt S/R0
R0
R0
R0
d AB = d OB – OA
= VB,S/ R – VA,S/ R
0
0
dt
dt
R0
R0
Mais
= VA,S/ R + ΩS/R ∧ AB – VA,S/ R
0
0
0
d Ω
∧ AB
= d ΩS/R
∧ AB + ΩS/R ∧ ΩS/R ∧ AB
0
0
0
dt S/R0
dt
R0
R0
Donc
Si l’on rapproche cette relation de la relation [26], on voit qu’il faut :
d Ω
∧ AB
=0
dt S/R0
R0
soit
ΩS/R ∧ AB = C
0
avec C vecteur fixe dans R0.
Cette relation ne peut être vérifiée pour tout couple de points A et B appartenant à S que si ΩS/R0 = 0 .
CONCLUSION – La condition nécessaire et suffisante pour qu’un solide soit animé d’un mouvement de translation est que le champ des accélérations soit uniforme.
REMARQUE IMPORTANTE – Le fait que plusieurs points particuliers ont la même accélération n’implique pas
forcément que le solide auquel ils appartiennent soit animé d’un mouvement de translation.
2.11.2. Mouvement de rotation
Définition
Un solide S est animé d’un mouvement de rotation par rapport à un
repère R0 si deux de ses points A et B restent fixes par rapport à R0 au
cours du mouvement.
→
z0
→
S
R1
y1
→
y0
O1
– Les trajectoires de tous les points du solide sont des cercles contenus
dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation et centrés sur
celui-ci.
M
θ
→
x0
– La liaison qui permet de réaliser un tel mouvement entre deux
solides est la « liaison pivot » (voir chapitre « Modélisation cinématique et géométrique des liaisons »).
Cercle
trajectoire
du point M
A
La droite qui passe par les deux points est appelée « axe de rotation ».
On s’arrange très souvent pour choisir un référentiel dont l’un des
axes est confondu avec cet axe de rotation (fig. 8).
Caractéristiques
→
z1
→
x1
→
y0
O0
→
x0
R0
B
Fig 8 : Solide en mouvement de rotation
Torseur cinématique
VS/ R0
=
ΩS/R
0
[27]. On remarque que ce torseur est un glisseur.
VM,S/ R = ΩS/R0 ∧O0M
0
M
En effet, ΩS/R0 . VM,S/ R = ΩS/R0 . ΩS/R0 ∧O0M = 0
0
On note R le rayon du cercle trajectoire du point M tel que O1M = R x 1.
11
Cinématique du solide indéformable
Le module de la vitesse du point M appartenant au solide S par rapport au repère R0 a pour valeur :
VM,S/ R
0
= ωS/ R R
[28]
0
Cette expression met en évidence la « répartition triangulaire des vecteurs vitesses » (fig. 9).
En effet, le module de la vitesse est proportionnel à la distance du point M à l’axe de rotation, et pour deux
points M1 et M2, on peut écrire :
VM ,S/ R
1
0
VM ,S/ R
2
R
= 1
R2
[29]
0
En particulier, pour tous les points situés sur l’axe de rotation, R = 0 et ces points ont donc une vitesse nulle.
Champ des accélérations
Si l’on dérive la vitesse d’un point M par rapport au temps, le repère R0 étant supposé fixe, on obtient :
d
Γ M,S/ R = d VM ,S/ R = d ΩS/R0 ∧O0M = d ΩS/R0 ∧ O0M + ΩS/R0 ∧
OM
0
1
0
dt
dt
dt
dt 0
Notons ΩS/R0 = θ z0 et d ΩS/R0 = θ z0
dt
Cela donne, dans le repère R1 :
Γ M,S/ R = θ z0 ∧ R x 1 + θ z0 ∧ VM ,S/ R
1
0
0
Γ M,S/ R = R θ y1 + θ z0 ∧ R θ y1
0
Γ M,S/ R = R θ y1 – R θ2 x 1 = Γ n, M,S/ R + Γ t, M,S/ R
0
0
0
[30]
De la même façon que pour les vitesses des deux points M1 et M2, on peut écrire :
Γ M ,S/ R
1
0
Γ M ,S/ R
2
0
R θ 4 + θ 2 R1
= 1
=
R2 θ 4 + θ 2 R2
[31]
Ce qui montre que le vecteur accélération est proportionnel au rayon sur lequel se trouve le point (fig. 10).
→
VM1,S/R0
→
y0
→
x1
→
VM2,S/R0
θ
→
→
ΓM2,S/R0
M1
→
x0
→
z0 z1
Fig 9 : Répartition des vitesses dans le mouvement de rotation
12
→
Γt,M2,S/R0
→
M2
Γn,M2,S/R0
O0
→
x1
R1
M1
→
Γn,M1,S/R0
α
→
R0
α
→
M2
O0
→
ΓM1,S/R0
y1
R1
→
y1
→
Γt,M1,S/R0
→
y0
θ
R0
→
x0
→
z0 z1
Fig 10 : Répartition des accélérations dans le mouvement de rotation
Cinématique du solide indéformable
3) APPLICATIONS AU MOUVEMENT PLAN SUR PLAN
3.1. Centre instantané de rotation, base, roulante
3.1.1. Définition
Lorsqu’au cours du mouvement d’un solide S, par rapport à un solide R0,, un plan ∏1 attaché à S, reste
constamment confondu avec un plan ∏0 attaché à R0,, on dit que les solides sont animés d’un mouvement
plan sur plan.
EXEMPLES – Fer à repasser sur une table, bielle de moteur à explosion par rapport au carter, traînard d’un
tour par rapport au banc, etc.
3.1.2. Paramétrage de la position de S par rapport à R0
Soient les repères R0 O0, x 0, y0, z0
et R1 O1, x 1, y1, z1 lié à S (fig. 11)
tels que les plans O0, x 0, y0 et O1, x 1, y1 soient confondus. La position
→
x1
→
y1
→
y0
R1
de R1 par rapport à R0 peut être définie de la façon suivante :
α
b
• O0O1 = a x 0 + b y0
• x 0, x 1 = α
Les paramètres a, b et α définissent les trois degrés de liberté de S par
rapport à R0 (deux translations et une rotation).
O1 z→
1
R0
→
→
x0
a
O0 z0
Fig 11 : Paramétrage
dans le mouvement plan sur plan
3.1.3. Torseur cinématique
Il peut s’écrire, en O1 :
VS/ R0
=
ΩS/R = α z0
0
[32]
VO ,S/ R = a x 0 + b y0
1
0
O1
Si la résultante n’est pas nulle, ce torseur est un glisseur car son invariant scalaire (ou automoment) est nul.
L’axe central de ce glisseur a pour direction z0 .
3.1.4. Centre instantané de rotation (CIR)
On appelle centre instantané de rotation (noté CIR), le point I intersection entre l’axe central du torseur
et les plans ∏1 et ∏0. Comme pour tout point de l’axe central, on a donc :
0
Le mouvement de S par rapport à R se ramène donc à chaque instant,
à une rotation de centre I (fig. 12).
→
VM,S/R0
→
→
On en déduit que, pour un point M de S :
y1
y0
VM,S/ R0 = VI,S/ R + ΩS/R0 ∧ IM , soit VM,S/ R0 = ΩS/R0 ∧ IM
0
O1 z→
1
3.1.5. Base et roulante
dans R1,
OM = x 0 x 0 + y0 y0
dans R0.
On a donc : x0 = a + x1 cos α – y1 sin α
R1
M
→
x1
α
b
O1M = x 1 x 1 + y1 y1
I
[34]
Soit un point M de S dont la position est définie par (fig. 12) :
[33]
VI,S/ R = 0
→
O0 z0
R0
→
x0
a
Fig 12 : Mise en évidence du CIR
et
y0 = b + x1 sin α + y1 cos α
[35]
13
Cinématique du solide indéformable
En dérivant par rapport au temps, on obtient :
x 0 = a – x 1 α sin α – y1 α cos α
et
y0 = b + x 1 α cos α – y1 α sin α
[36]
En dérivant par rapport à α les expressions [35] ou en divisant par α les expressions [36], on obtient :
dy db
dx = da – x sin α – y cos α
=
+ x 1 cos α – y1 sin α
et
1
1
dα dα
dα dα
ce qui donne, en I où la vitesse est nulle :
db = – x cos α + y sin α
da = x sin α + y cos α
et
1
1
1
1
dα
dα
En substituant dans les relations [40], cela donne :
x 0 = a – db
dα
et
y0 = b + da
dα
[37]
[38]
Ces expressions donnent les coordonnées de I dans le repère R0. Elles précisent le lieu de I dans R0, dans le
mouvement de S par rapport à R0. La courbe correspondante est appelée la « base ».
On obtient x1 et y1 à partir des relations [42] :
x 1 = da sin α – db cos α
dα
dα
et
y1 = da cos α + db sin α
dα
dα
[39]
Ces expressions donnent les coordonnées de I dans le repère R1. Elles précisent le lieu de I dans R1, dans le
mouvement de S par rapport à R0. La courbe correspondante est appelée la « roulante ».
À chaque instant, puisque le point I a une vitesse nulle, la base et la roulante roulent sans glisser l’une sur
l’autre.
3.2. Théorème des trois plans glissants
Soient les solides S1, S2 et S3 en mouvement plan sur plan les uns par rapport aux autres. À chaque instant,
on peut déterminer les CIR des solides pris deux à deux soit I12, I23 et I31. La relation de composition des
mouvements permet d’écrire, pour un point M :
VM,3/1 = VM,3/2 + VM,2/1
ou encore :
Ω3/1 ∧ I31M = Ω3/2 ∧ I32M + Ω2/1 ∧ I21M
Ω3/1 ∧ I31M = Ω3/2 ∧ I32I31 + I31M + Ω2/1 ∧ I21I31 + I31M
Ω3/1 – Ω3/2 – Ω2/1 ∧ I31M = Ω3/2 ∧ I32I31 + Ω2/1 ∧ I21I31
d’où
α 32 z0 ∧ I32I31 + α 21 z0 ∧ I21I31 = 0
ou
mais Ω3/1 = Ω3/2 + Ω2/1 , (composition des rotations)
α 32 I32I31 + α 21 I21I31 = 0
Cette relation montre que le point I31 est le barycentre des points I21 et I32 affectés respectivement des coefficients α 21 et α 32 et que les 3 CIR I31, I21 et I32 sont alignés.
14