PCSI IV – MÉCANIQUE CINÉMATIQUE DU SOLIDE INDÉFORMABLE

PCSI
IV – MÉCANIQUE
CINÉMATIQUE
DU SOLIDE
INDÉFORMABLE

1
Cinématique du solide indéformable
Objet de la cinématique
La cinématique est la partie de la mécanique qui permet de décrire les mouvements des solides indépen-
damment des causes qui les provoquent.
1. DÉFINITION D’UN SOLIDE INDÉFORMABLE
1.1. Référentiel : espace, temps – Repère attaché à un référentiel
Référentiel
Le référentiel est un système de repérage permettant de situer un évé-
nement dans l’espace et dans le temps.
Le référentiel est constitué idéalement d’un repère d’espace et d’un
repère de temps.
Repère d’espace
Les solides étudiés évoluent dans un espace physique qui peut être
modélisé par un espace affine caractérisé par un repère orthonormé
direct (fig. 1).
Repère de temps
Le temps peut être considéré comme un ensemble d’instants infini-
ment rapprochés et liés par une relation d’ordre.
Il peut être modélisé par un espace affine à une dimension.
Dans ce repère, on peut définir une origine O et des instants T de telle
sorte que où t représente la date de l’instant T (fig. 2).
1.2. Équivalence entre référentiel et solide indéformable
Solide indéformable
On appelle solide indéformable S, tout ensemble de points matériels dont la distance est invariable dans le
temps, ce qui se traduit par :
[1]
Dans la suite de ce cours, on acceptera le terme de « solide » pour « solide indéformable ».
Équivalence entre référentiel et solide indéformable
Un repère d’espace étant défini par une origine et trois vecteurs unitaires orthonormés, les extrémités de
ces vecteurs sont à des distances fixes de l’origine tout en étant fixes entre eux. Ceci étant vrai à chaque ins-
tant, un référentiel est donc équivalent à un solide.
Étudier le mouvement d’un solide par rapport à un autre revient donc à étudier le mouvement des repères
liés à ces solides.
∀AetB∈S⇔AB2=constante
OT=te
RO, x,y,z
1
z
→
y
→
x
→
R
O
Fig 1 : Repère d’espace
e
→
OT
Ori
g
ine de la chronolo
g
ie
Instant
Base de temps
Fig 2 : Repère de temps

2. MOUVEMENT RELATIF DE DEUX SOLIDES
2.1. Paramétrage
Pour connaître la position d’un solide dans l’espace, il suffit de
connaître la position de trois de ses points, soit 9 paramètres.
Mais les trois points étant à des distances invariables les uns par rap-
port aux autres, il convient d’ajouter 3 équations de liaison des para-
mètres.
En définitive, la position d’un solide dans l’espace dépend donc de 6
paramètres indépendants qui caractérisent les 6 degrés de liberté
du solide (3 translations + 3 rotations) par rapport à un référentiel : X,
Y, Z, θx , θy , θz (fig. 3).
2.2. Position d’un référentiel par rapport à un autre – Angles d’Euler
Le positionnement d’un solide S2par rapport à un solide S1est défini lorsque les 6 paramètres indépen-
dants X, Y, Z, θx , θy , θzappelés paramètres de position sont déterminés.
De façon générale, soient deux référentiels et
, l’un lié au solide Si, l’autre lié au solide Sj. Soit un
point A lié au solide Sj. D’après l’équivalence référentiel-solide, étudier
la position du solide Sjpar rapport au référentiel Rirevient à étudier
la position du référentiel Rjpar rapport au référentiel Ri(fig. 4).
La position du point A, fixe dans le repère Rj, peut être exprimée :
• soit par le vecteur défini dans le repère Rj;
• soit par le vecteur défini dans le repère Ri,.
Changement de référentiels, repères d’espace
En mécanique, il est fréquent de changer de référentiel pour exprimer, sous une autre forme, la position, la
vitesse ou l’accélération d’un point ou toute autre grandeur vectorielle. La mécanique newtonienne, basée
sur la relativité galiléenne selon laquelle le temps ne dépend pas du référentiel, permet de considérer qu’un
changement de référentiel se limite à un changement d’espace.
On se propose de définir les coordonnées du vecteur dans le repère Ri, c’est-à-dire
de réaliser un changement de repère de Rjvers Ri.
Un cas élémentaire fréquemment rencontré correspond à une simple rotation des deux repères autour d’un
axe. Le cas plus complexe d’une rotation autour d’un point peut alors être considéré comme la succession
de trois rotations autour d’axes distincts. Ces deux cas sont étudiés ci-après.
Changement de repère d’un vecteur dans le cas d’une rotation autour d’un axe
Considérons que le repère Rja pivoté d’un angle θautour de l’axe
par rapport au repère Ri(fig. 5). Dans ces conditions, les vecteurs uni-
taires de Ripeuvent s’exprimer dans le repère Rjde la façon suivante :
x
i
=x
j
y
i
=cosαy
j
– sinαz
j
z
i
=sinαy
j
+cosαz
j
xi
OiA=xA
'xi+y
A
'yi+zA 'zi
OiA=xA
'xi+y
A
'yi+zA 'zi
OjA=xAxj+y
Ayj+zAzj
RjOj,xj,y
j,zj
RiOi,xi,y
i,z i
Cinématique du solide indéformable
2
zi
→
yi
→
→
xi
yj
→
zj
→
→
xjRi
Rj
θ
θ
Fig 5 : Rotation autour d’un axe
zi
→
yi
→
→
xi
yj
→
zj
→
→
xj
Oj
A
Ri
Oi
Rj
zA
xA
yA
Fig 4 : Repérage d’un point A
z
→
y
→
x
→
O
θx
θy
θz
X
Y
ZS2
S1
Fig 3 : Degrés de liberté

On peut ainsi écrire la matrice de passage Pi, j du repère Rjau repère Ripour la rotation d’angle αdans
laquelle l’axe reste confondu avec de la façon suivante :
[2]
Un vecteur s’exprimera par [3]
soit pour le vecteur , dans le changement de repère de Rjvers Ri:
[4]
Inversement, si l’on veut effectuer un changement de repère de Rivers Rjpour le vecteur connu dans le
repère Ri, celui-ci s’exprimera par : , avec (matrice inverse).
REMARQUE – Ici, (matrice transposée).
Changement de base d’un vecteur dans le cas d’une rotation autour d’un point - Angles d’Euler
Si la rotation autour d’un point de l’angle θse fait par l’intermédiaire de 3 rotations élémentaires précé-
dentes dont les matrices de passage sont Pi, j, Pj, k et Pk, l, le passage du repère Rlvers le repère Ris’exprime-
ra par : [5]
Pour définir 3 rotations élémen-
taires il est fréquent d’utiliser 3
angles appelés « angles
d’Euler ». Ces angles sont cou-
ramment utilisés en astronomie
pour définir la position d’une
planète par rapport à un réfé-
rentiel donné. Par convention,
ces angles sont définis de la
façon suivante (fig. 6) :
•ψ(psi) : angle de précesssion ;
•θ(theta) : angle de nutation ;
•ϕ(phi): angle de rotation
propre.
Les changements de repères suc-
cessifs sont résumés dans la figu-
re 6.
UTILISATION – voir TD
VRi=P
i, l VRlavec Pi, l =P i, j Pj, k Pkl
Pi, j
–1=tPi, j
Pj, i =P
i, j
–1
VR
j
=P
j, i VR
i
V
x
A
'
y
A
'
z
A
'=
100
0 cosα– sinα
0 sinαcosα
x
A
y
A
z
A
=x
A
y
A
cosα–z
A
sinα
y
A
sinα+z
A
cosα
V=O
i
A
VRi=P
i, j VRj
V
Pi, j =100
0 cosα– sinα
0 sinαcosα
xi
xj
3
Cinématique du solide indéformable
ϕ
ψ
θ
→
x0
→
y0
→
y1
→
v
→
y2
→
x2
ψ
θ
ϕ
→
z0 = w
→
→
u = x1
→
→
z1 = z2
→
O
R0 {x0, y0, z0}
→→→R {u, v, w} →→→
ψ
R1 {x1, y1, z1}
→→→
R {u, v, w}
→→→θ
R1 {x1, y1, z1}
→→→ϕR2 {x2, y2, z2} →→→
Fig 6 : Angles d’Euler

Changement de base d’un vecteur dans le cas général
Dans le cas général de la figure 3 où l’on passe du repère Rjau repère Ripar la combinaison d’une transla-
tion et d’une rotation, le vecteur a pour expression : .
La projection dans le repère Ridonne : .
Or le vecteur est connu par ses projections dans le repère Rj: .
Par contre le vecteur est connu par ses projections dans le repère Ri: .
Il vient donc , ou encore, en fonction des composantes :
[6]
2.3. Dérivée temporelle d’un vecteur par rapport à un référentiel
Soit le vecteur de module constant, mobile dans le repère R0fixe.
* On peut montrer que , dérivée de par rapport au temps est un vecteur perpendiculaire à . En
effet, si l’on part de , on a :
* Supposons maintenant que est fixe et défini dans le repère R, lui même mobile dans
le repère R0.
Alors
D’après les résultats précédents, si est perpendiculaire à , supposons que [7]
De même, si est perpendiculaire à , supposons que [8]
et si est perpendiculaire à , supposons que [9]
x⊥y⇒x.y=0 ⇒dx
dt .y+x.dy dt =0
or,d'après[7]et[8],dx
dt .y=α1et x . dy dt =α4⇒α
4=–α1
x⊥z⇒x.z=0 ⇒dx
dt .z+x.dz dt =0
or,d'après[7]et[9],dx
dt .z=α2et x . dz dt =α5⇒α
5=–α2
y⊥z⇒y.z=0 ⇒dy
dt .z+y.dz dt =0
or,d'après[8]et[9],dy
dt .z=α3et y . dz dt =α6⇒α
6=–α3
dz
dt =α5x +α6y
z
dz
dt
dy
dt =α3z +α4x
y
dy
dt
dx
dt =α1y +α2z
x
dx
dt
dU
dt
R
0
=U
x
dx
dt +U
y
dy
dt +U
z
dz
dt
U=U
x
x+U
y
y+U
z
z
d
dt U.U =0 soit dU
dt .U+U.dU dt =0 et 2U.dU dt =0.
Ainsi,U.dU
dt =0 ⇒Uet dU dt sont perpendiculaires à condition que dU dt ≠0
U.U=constante
U
U
dU
dt
U
xA
'
yA
'
zA
'=x
y
z+P
i, j
xA
yA
zA
OiARi=O
iOjRi+P i, j OjARj
O
i
O
j
=xx
i
+yy
i
+zz
i
O
i
O
j
O
j
A=x
A
x
j
+y
A
y
j
+z
A
z
j
OjA
OiARi=O
iOjRi+O jARi
O
i
A=O
i
O
j
+O
j
A
V=O
i
A
Cinématique du solide indéformable
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