probabilités

BTS DOMOTIQUE Probabilités 2008/2010
PROBABILITÉS
Table des matières
I Vocabulaire des événements 2
I.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.2 Intersection et réunion d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.3 Représentation des évenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Calcul de probabilités 4
III Probabilités conditionnelles 5
III.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III.2Propriétés............................................... 5
III.3 Exemple de calcul de probabilités conditionnelles par différentes méthodes . . . . . . . . . . . 6
III.4 Evénements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
IV Dénombrement 9
IV.1 Utilisation de tableaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IV.2 Utilisation d’arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
IV.4 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
On fait remonter à la correspondance de 1964 entre Pascal et Fermat, sur un problème de jeu de hasard,
l’acte de naissance du calcul des probabilités.
Après trois siècles de recherche, le calcul des probabilités a pu fournir, au début du XXesiècle, les bases
théoriques nécessaires au développement de la statistique et a investi de très nombreux domaines de la vie
scientifique, économique et sociale.
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Le but des probabilités est d’essayer de rationaliser le hasard : quelles sont les chances d’obtenir un résultat
suite à une expérience aléatoire ?
Quelles chances ai-je d’obtenir "pile" en lançant une pièce de monnaie ? Quelles chances ai-je d’obtenir "6"
en lançant un dé ? Quelles chances ai-je de valider la grille gagnante du loto ?
I Vocabulaire des événements
I.1 Vocabulaire
Définition 1
➤Chaque résultat possible et prévisible d’une expérience aléatoire est appelé éventualité liée à
l’expérience aléatoire.
➤L’ensemble formé par les éventualités est appelé univers, il est très souvent noté Ω.
➤Un événement d’une expérience aléatoire est une partie quelconque de l’univers,
➤Un événement ne comprenant qu’une seule éventualité est un événement élémentaire.
➤L’événement qui ne contient aucune éventualité est l’événement impossible, noté ∅,
➤L’événement composé de toutes les éventualités est appelé événement certain.
➤Pour tout événement Ail existe un événement noté Aet appelé événement contraire de A
qui est composé des éléments de Ωqui ne sont pas dans A.
On a en particulier A∪A= Ω et A∩A=∅.
Exemple 1
Lancer d’un dé à six faces :
➔"obtenir 2" est une éventualité de cette expérience aléatoire.
➔Univers : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
➔A="obtenir un 5" est un événement élémentaire que l’on peut noter A={5},
➔B="obtenir un numéro pair" est un événement que l’on peut noter B={2; 4; 6}.
➔"obtenir 7" est un événement impossible,
➔"obtenir un nombre positif" est un événement certain.
➔B="obtenir un nombre impair" est l’événement contraire de A,
Dans toute la suite du cours, on suppose que Ω est l’univers associé à une expérience aléatoire, et Aet B
deux événements associés à cet univers.
I.2 Intersection et réunion d’événements
Définition 2
➤Intersection d’événements : événement constitué des éventualités appartenant à Aet à Bnoté
A∩B(se lit "Ainter B" ou "Aet B"),
➤Réunion d’événements : événement constitué des éventualités appartenant à Aou à Bnoté A∪B
(se lit "Aunion B" ou "Aou B").
Remarque 1
Si A∩B=∅, on dit que les événements sont disjoints ou incompatibles.
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Exemple 2
On considère l’ensemble des chiffres.
On note Al’événement "obtenir un chiffre pair" et Bl’événement "obtenir un chiffre strictement inférieur à six"
➔A∩B="obtenir un chiffre pair et inférieure strictement à six" : A∩B={2; 4},
➔A∪B="obtenir un chiffre pair ou inférieur strictement à six" : A∪B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10}.
I.3 Représentation des évenements
Diagrammes ou patates
A∩B A ∪B
Tableaux
On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu :
1234
11234
22468
33 6 9 12
44 8 12 16
Arbres
On lance une pièce de monnaie trois fois se suite, on peut schématiser cette expérience par un arbre :
pile
pile
pile
face
face
pile
face
face
pile
pile
face
face
pile
face
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II Calcul de probabilités
Définition 3
➤La probabilité d’un événement d’univers Ωest la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le constitue.
➤On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Dans ce cas, on a : P(A) = nombre d’éléments de A
nombre d’éléments de Ω=Card(A) Card(Ω) .
Remarque 2
Dans un exercice, pour signifier qu’on est dans une situation d’équiprobabilité on a généralement dans
l’énoncé un expression du type :
•on lance un dé non pipé,
•dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher,
•on rencontre au hasard une personne parmi . . .
Propriété 1
Soit Aet Bdeux événements, on a les propriétés suivantes :
♦P(∅) = 0.
♦P(Ω) = 1.
♦06P(A)61.
♦P(A) = 1 −P(A).
♦P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Exemple 3
On considère l’ensemble Edes entiers de 1à20. On choisit l’un de ces nombres au hasard.
Aest l’événement : « le nombre est multiple de 3» :
➔A={3; 6; 9; 12; 15; 18},
Best l’événement : « le nombre est multiple de 2» :
➔B={2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20},
Calul des probabilités :
➔P(A) = 6
20 =3 10 = 0,3.
➔P(A) = 1 −P(A) = 1 −3
10 =7 10 = 0,7.
➔P(B) = 10
20 =1 2= 0,5.
➔P(A∩B) = 3
20 = 0,15.
➔P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B) = 6
20 +10 20 −3 20 =13 20 = 0,65.
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III Probabilités conditionnelles
III.1 Définition
Définition 4
On suppose que P(B)6= 0.
➤On appelle probabilité conditionnelle de Arelativement à Bou de Asachant Bla probabilité que
l’événement Ase réalise sachant que Best réalisé.
➤Cette probabilité vaut PB(A) = P(A∩B)
P(B).
Remarque 3
On trouve aussi la notation P(A/B) pour PB(A).
Exemple 4
On considère l’expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6faces, équilibré. On suppose que toutes les faces sont
équiprobables, et on définit les événements :
•B: "la face obtenue porte un numéro pair" ;
•A: "la face obtenue porte un numéro multiple de 3".
Déterminons la probabilité d’obtenir un numéro multiple de 3, sachant qu’on a un numéro pair de deux manières différentes.
➔L’événement (A/B)correspond à l’événement "obtenir un numéro multiple de 3" parmi les éventualités de B,
autrement dit parmi {2; 4; 6}. Il n’y a donc que l’issue "obtenir 6" qui correspond.
Et comme on est en situation d’équiprobabilité, on obtient PB(A) = 1
3.
➔Par le calul, on a P(B) = 3
6et P(A∩B) = 1 6donc, d’après la formule : PB(A) = P(A∩B) P(B)=
1
6
1
2
=1
3.
III.2 Propriétés
Propriété 2
Pour tous événements Aet Bde probabilité non nulle, on a :
P(A∩B) = P(B)PB(A) = P(A)PA(B).
Démonstration : Pour P(B)6= 0 et P(A)6= 0, on peut écrire :
•PB(A) = P(A∩B)
P(B)d’où P(A∩B) = P(B)PB(A).
•PA(B) = P(A∩B)
P(A)d’où P(A∩B) = P(A)PA(B).
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