Analyse 4

Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Derivées
Brahim Boussouis
Département de Mathématiques, Faculté des Sciences de Fès.
Octobre 2013
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Sommaire
1
Applications dérivables
Dérivées d’un côté
Interprétation géométrique de la dérivée
Applications diffèrentiables
Dérivées d’ordre supérieur
Régles de dérivation
Extrema relatifs
2
Théorème des Accroissements Finis
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Applications du théorème des accroissements finis
Dérivées et monotonie
Règle de l’Hôpital
3
FORMULES DE TAYLOR
Formule de Taylor-Young
Allure d’une fonction au voisinage d’un point
Application aux extremums
Formule de Taylor-Lagrange
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Définition
Soient I un intervalle de R non réduit à un point , x0 ∈ I et f : I → R. On dit
que f est dérivable en x0 si la limte
lim
x →x0
f (x ) − f (x0 )
= lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h→0
x − x0
h
, (x = x0 + h)
existe (dans R). Cette limite (qui est alors unique) est appelée dérivée de f
au point x0 , et notée par :
f 0 (x0 ), Df (x0 ),
df
dx
(x0 ) ou
dy
dx
si y = f (x ).
x =x0
On dit que f est dérivable sur I, si f est dérivable en tout point de I. La
fonction f 0 : x ∈ I 7−→ f 0 (x ) ∈ R s’appelle la fonction dérivée de f .
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Exemples
I
Si f est constante sur I, alors f est dérivable sur I et f 0 ≡ 0.
I
f (x ) = x n , n ∈ N∗ : Pour tout x0 ∈ R, on a :
lim
f (x0 + h) − f (x0 )
h →0
h
=
=
=
lim
(x0 + h)n − x0n
h→0
lim
h
Cn1 hx0n−1 + Cn2 h2 x0n−2 + · · · + Cnn hn
h→0
Cn1 x0n−1
h
=
nx0n−1 .
Donc f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = nx0n−1 .
I
f (x ) = sin x : Pour tout x0 ∈ R, on a :
lim
h→0
f (x0 + h) − f (x0 )
h
=
=
lim
2 sin h2 cos(x0 + h2 )
h →0
cos x0 .
Donc f est dérivable en x0 et f 0 (x0 ) = cos x0 .
Brahim Boussouis
Derivées
h
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Théorème et définition
f (x )−f (x )
0
Si x0 6= sup I (resp. x0 6= inf I) et si le taux d’accroissement
admet
x −x0
une limite à droite (resp. à gauche) en x0 , on dit que f est dérivable à droite
(resp. à gauche ) en x0 . Cette limite est appelée dérivée à droite (resp. à
gauche) de f en x0 , et notée par fd0 (x0 ) (resp. fg0 (x0 )).
Pour que f soit dérivable en un point x0 ∈ ]inf I , sup I [ , il faut et il suffit qu’elle
soit dérivable à droite et à gauche en x0 et que fd0 (x0 ) = fg0 (x0 ).
Par exemple, la fonction f (x ) = |x | n’est pas dérivable en 0, car
fd0 (0) = 1 6= fg0 (0) = −1.
Proposition
Si f est dérivable à droite ( resp. à gauche ) en x0 , alors f est continue à
droite ( resp. à gauche ) en x0 . En particulier si f est dérivable en x0 , alors f
est continue en x0 .
Par exemple, si f est dérivable à droite en x0 , alors
f (x ) − f (x0 )
lim [f (x ) − f (x0 )] = lim (x − x0 )
= 0 × fd0 (x0 ) = 0.
+
+
x − x0
x →x0
x →x0
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
f (x )−f (x )
0
est le coefficient angulaire de
Si f : I → R, le taux d’accroissement
x −x0
la droite affine qui joint M0 (x0 , f (x0 )) et M (x , f (x )). f 0 (x0 ) est le coefficient
angulaire d’une droite qui passe par M0 et qui s’appelle la tangente au
graphe de f en M0 (ou, par abus de langage, au point x0 ). On définit de
même les demi-tangentes à droite et à gauche à la courbe y = f (x ) en M0 .
Lorsque fd0 (x0 ) 6= fg0 (x0 ), on dit que M0 est un point anguleux de la courbe.
Cf
M
M0
T
x0 + h
x0
Equation cartésienne de la tangente (M0 T ) en M0 :
y = f (x0 ) + (x − x0 )f 0 (x0 ).
Equation cartésienne de la normale en M0 (si f 0 (x0 ) 6= 0) :
y = f (x0 ) − f 0 (1x ) (x − x0 ).
0
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Définition
Soit L : R → R. On dit que L est linéaire s’il existe a ∈ R tel que L(h) = ah,
pour tout h ∈ R. L est dite affine s’il existe a, b ∈ R tels que L(h) = ah + b,
pour tout h ∈ R.
Définition
On dit que f est différentiable au point x0 s’il existe une application linéaire
L : R → R tels que
f (x0 + h) = f (x0 ) + L(h) + hε(h) si x0 + h ∈ I avec lim ε(h) = 0.
h →0
Proposition
f est différentiable en x0 si, et seulement si , f est dérivable en x0 .
Brahim Boussouis
Derivées
(1)
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Démonstration.
La condition est suffisante : si f est différentiable en x0 , alors
f (x0 + h) = f (x0 ) + ah + hε(h), si x0 + h ∈ I , avec lim ε(h) = 0. Donc
h →0
f (x0 + h) − f (x0 )
= lim [a + ε(h)] = a et par suite f est dérivable en x0 et
h →0
h
si f est dérivable en x0 , posons :
0 ) = a. Inversement,

 f (x0 + h) − f (x0 ) − f 0 (x ) si x + h ∈ I , h 6= 0
0
0
ε(h) =
h
0
si h = 0
On a alors, pour x0 + h ∈ I :
f (x0 + h) = f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + hε(h)
et
lim ε(h) = 0. Donc f est
lim
h→0
f 0 (x
h→0
différentiable en x0 .
Remarque
L’application linéaire L dans la formule 1 est unique et s’appelle la
différentielle de f en x0 , notée L = dfx0 , et on a dfx0 (h) = hf 0 (x0 ).
La formule 1 signifie qu’au voisinage de 0, on peut approcher f (x0 + h) par la
fonction affine h 7→ f (x0 ) + hf 0 (x0 ), avec une erreur négligeable devant h.
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Dérivées d’ordre supérieur
Si la fonction f 0 admet à son tour une dérivée en x0 , celle-ci s’appelle dérivée
seconde de f en x0 , et on la note par f 00 (x0 ). Si f 0 est partout dérivable, on
définit la dérivée seconde de f comme étant la dérivée de f 0 . On définit de
proche en proche les dérivées successives
de
h
i f ; La dérivée d’ordre n est
notée par f (n) ou
dnf
dx n
0
et l’on a f (n) = f (n−1) .
Remarque
Pour que f admette une dérivée d’ordre n en x0 , il faut et il suffit que f soit
(n − 1) fois dérivable sur un intervalle J ⊂ I voisinage de x0 et que la fonction
f (n−1) soit dérivable en x0 .
On vérifie, par une récurrence facile, que
(sin x )(n)
(cos x )(n)
(n)
1
x −a
Brahim Boussouis
=
=
=
cos x + n π2 ;
(−1)n n!
.
(x − a)n+1
sin x + n π2 ;
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Fonctions de classe C n
Définition
Soit n ∈ N∗ . On dit que f est de classe C n sur I, et l’on écrit f ∈ C n (I ), si f
admet une dérivée d’ordre n qui est continue sur I.
f est dite de classe C ∞ sur I, et l’on écrit f ∈ C ∞ (I ), si f est indéfiniment
dérivable sur I.
On convient de dire que f est de classe C 0 si f est continue et que f (0) = f .
On a alors les inclusions suivantes :
∞
\
C k (I ) = C ∞ (I ) ⊂ · · · ⊂ C n+1 (I ) ⊂ C n (I ) ⊂ · · · ⊂ C 0 (I ).
k =0
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Proposition
Soient f , g : I → R deux fonctions dérivables en x0 et soit α ∈ R. Alors :
0
(i) αf + g est dérivable en x0 et (αf + g ) (x0 ) = αf 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
(ii) fg est dérivable en x0 et (fg )0 (x0 ) = f 0 (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 ).
(iii) si g (x0 ) 6= 0 alors
0
on a :
f
g
f
g
(x0 ) =
est définie au voisinage de x0 et dérivable en x0 et
g (x0 )f 0 (x0 ) − g 0 (x0 )f (x0 )
g 2 (x0 )
Brahim Boussouis
Derivées
.
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Démonstration.
La proposition (i) est immédiate. Démontrons la proposition (ii). On a :
f (x0 + h)
=
f (x0 ) + hf 0 (x0 ) + hε1 (h)
g (x0 + h)
=
g (x0 ) + hg 0 (x0 ) + hε2 (h),
avec lim εi (h) = 0, i = 1, 2. On en déduit que
h→0
f (x0 + h)g (x0 + h) = f (x0 )g (x0 ) + h [f 0 (x0 )g (x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )] + hε(h), où
ε(h) = f (x0 )ε2 (h) + g (x0 )ε1 (h) + h[f 0 (x0 ) + ε1 (h)][g 0 (x0 ) + ε2 (h)].
Comme lim ε(h) = 0, on en déduit que fg est dérivable en x0 ainsi que la
h→0
formule annoncée.
Démontrons maintenant la proposition (iii), dans le cas particulier où f ≡ 1.
Puisque g (x0 ) 6= 0 et que g est continue en x0 , il existe un voisinage de x0
sur lequel g est non nulle. On a alors :
1
x − x0
1
g (x )
−
1
g (x0 )
=−
1
g (x )g (x0 )
Pour terminer la démonstration, on écrit
(ii).
Brahim Boussouis
f
g
×
g (x ) − g (x0 )
x − x0
−→ −
x →x0
g 0 (x0 )
g 2 (x0 )
.
= f × g1 et on applique la formule
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Proposition (Formule de Leibniz)
Soient f et g deux fonctions à valeurs réelles telles que f (n) (x0 ) et g (n) (x0 )
(n)
existent. Alors (f · g ) (x0 ) existe et l’on a :
(f · g )(n) (x0 ) =
k =n
X
Cnk f (k ) (x0 )g (n−k ) (x0 ), où Cnk =
k =0
n!
k !(n − k )!
.
(2)
La démonstration est facile par récurrence.
Proposition (Dérivée d’une fonction composée)
Soient I et J deux intervalles de R, f : I → R et g : J → R deux applications
telles que f (I ) ⊂ J. On suppose que f est dérivable en x0 ∈ I et que g est
dérivable en f (x0 ). Alors g ◦ f est dérivable en x0 et l’on a :
(g ◦ f )0 (x0 ) = f 0 (x0 ).g 0 (f (x0 )) .
Brahim Boussouis
Derivées
(3)
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Démonstration.
On a :
f (x0 + h) − f (x0 )
=
g (y0 + k ) − g (y0 )
=
hf (x0 ) + hε1 (h), ε1 (h) −→ 0
h→0
0
kg (y0 ) + k ε2 (k ) y0 = f (x0 ); ε2 (k ) −→ 0 .
0
k →0
On en déduit, pour k = k (h) = h[f 0 (x0 ) + ε1 (h)] −→ 0, que
h→0
g (f (x0 + h)) − g (f (x0 )) = hf 0 (x0 )g 0 (f (x0 )) + hε(h),
où ε(h) = f 0 (x0 )ε2 (k (h)) + g 0 (f (x0 ))ε1 (h) + ε1 (h)ε2 (k (h)) −→ 0.
h→0
En utilisant le théorème précèdent, on déduit que
Corollaire
La dérivée d’une fonction paire est impaire et la dérivée d’une fonction
impaire est paire.
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Exercice
Montrer que la composée de deux fonctions de classe C n est de classe C n
(0 ≤ n ≤ ∞).
Proposition (Dérivée d’une fonction réciproque )
Soit f : I → J une bijection continue et strictement monotone de l’intervalle I
sur l’intervalle J telle que f soit dérivable en x0 et telle que f 0 (x0 ) 6= 0. Alors la
fonction f −1 est dérivable en x0 et l’on a :
0
1
f −1 (f (x0 )) = 0
.
f (x0 )
Démonstration.
Posons g = f −1 , x = g (y ) et y0 = f (x0 ). Pour y 6= y0 , on peut écrire :
g (y )−g (y0 )
−x0
= ϕ(x ).
= f (xx)−
y −y
f (x )
0
0
On a : lim ϕ(x ) = f 0 (1x ) . Et puisque g est continue , on a lim g (y ) = x0 .
0
x →x0
y →y0
Donc lim
y →y0
g (y )−g (y0 )
y −y0
= lim ϕ(g (y )) = 1/f 0 (x0 ).
y →y0
Brahim Boussouis
Derivées
(4)
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Définition
Soit f : I → R et x0 ∈ I. On dit que f admet en x0 un maximum (resp.
minimum ) relatif (ou local), s’il existe un voisinage V ∈ V (x0 ) tel que pour
tout x ∈ V ∩ I, f (x ) ≤ f (x0 ) (resp. f (x0 ) ≤ f (x )).
On dit que f amet un extremum relatif en x0 , si f admet un maximum ou un
minimum relatif en x0 .
On dit que f admet en x0 un maximum (resp. minimum) absolu (ou global) si
f (x ) ≤ f (x0 ) (resp. f (x0 ) ≤ f (x )), pour tout x ∈ I.
Proposition (Condition nécessaire d’extremum)
Soient I un intervalle de R et f : I → R. Si en un point x0 ∈ ]inf I , sup I [, f
admet un maximum relatif (resp. un minimum relatif) et admet en x0 une
dérivée à droite et une dérivée à gauche, alors
fd0 (x0 ) ≤ 0 ≤ fg0 (x0 )
(resp. fg0 (x0 ) ≤ 0 ≤ fd0 (x0 ) .
En particulier si f est dérivable en x0 alors f 0 (x0 ) = 0.
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Applications diffèrentiables Régles de dérivation Extrema relatifs
Démonstration.
Supposons, par exemple, que f admet un maximum relatif en x0 . Il existe
alors un réel η > 0 tel que ]x0 − η, x0 + η[ ⊂ I et tel que f (x ) ≤ f (x0 ) pour
f (x )−f (x0 )
tout x ∈ ]x0 − η, x0 + η[. On en déduit que
≤ 0 si x0 < x < x0 + η
x −x
0
et
f (x )−f (x0 )
x −x0
fd0 (x0 ) =
≥ 0 si x0 − η < x < x0 . Donc :
lim
x →x0 ,x >x0
f (x ) − f (x0 )
x − x0
≤0≤
lim
x →x0 ,x <x0
f (x ) − f (x0 )
x − x0
= fg0 (x0 ).
Si f est dérivable en x0 , alors f 0 (x0 ) ≤ 0 ≤ f 0 (x0 ), donc f 0 (x0 ) = 0.
Remarque
La réciproque de la proposition 1.7 est inexacte en général, comme l’illustre
l’exemple de la fonction x 7−→ x 3 qui a une dérivée nulle en 0, mais n’a pas
d’extremum relatif en ce point.
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Sommaire
1
Applications dérivables
Dérivées d’un côté
Interprétation géométrique de la dérivée
Applications diffèrentiables
Dérivées d’ordre supérieur
Régles de dérivation
Extrema relatifs
2
Théorème des Accroissements Finis
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Applications du théorème des accroissements finis
Dérivées et monotonie
Règle de l’Hôpital
3
FORMULES DE TAYLOR
Formule de Taylor-Young
Allure d’une fonction au voisinage d’un point
Application aux extremums
Formule de Taylor-Lagrange
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Théorème (Théorème de Rolle)
Soit f : [a, b] → R une fonction numérique. On suppose que f est continue
sur [a, b], dérivable en tout point de ]a, b[ et telle que f (a) = f (b). Il existe
alors un point c ∈ ]a, b[ tel que f 0 (c ) = 0.
Démonstration.
Si f est constante sur [a, b], le résultat est trivial, car alors f 0 (x ) = 0, pour tout
x ∈]a, b[. Supposons donc f non constante. Etant continue sur [a, b], f est
bornée et atteint ses bornes, et l’on peut supposer que l’une au moins de ces
bornes, la borne supérieure M par exemple, est différente de f (a) = f (b). Il
existe alors c ∈ ]a, b[ tel que f (c ) = M. c est alors un maximum relatif de f
(en fait, il s’agit d’un maximum absolu). Puisque f est dérivable en c , on a
f 0 (c ) = 0.
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Remarque
I
Si f (a) = f (b) = 0, le théorème de Rolle s’énonce : ”Entre deux zéros
d’une fonction dérivable, il existe au moins un zéro de sa dérivée”.
I
Soient f (x ) = |x | et g (x ) = |x |. Le théorème de Rolle ne s’applique ni
à f ni à g sur [−1, 1], (elles sont continues sur [−1, 1], vérifient
f (−1) = f (1) et g (−1) = g (1), mais elles ne sont pas dérivables sur
]−1, 1[) : Il n’existe pas de point c ∈ ]−1, 1[, en lequel f 0 (c ) = 0 ou
g 0 (c ) = 0.
p
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Théorème (Théorème des accroissements finis)
Soit f une fonction numérique continue sur un segment [a, b] , a < b,
dérivable en tout point de ]a, b[. Il existe alors un point c ∈ ]a, b[ tel que
f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c ).
Démonstration.
Il suffit d’appliquer le théorème de Rolle à la fonction auxillaire ϕ : [a, b] → R
définie par :
f (b ) − f (a )
(x − a ) .
ϕ(x ) = f (x ) −
b−a
Remarque
Si b 6= a et f est une fonction continue sur [min(a, b), max(a, b)] et dérivable
en tout point de ]min(a, b), max(a, b)[ , alors il existe c compris strictement
entre a et b tel que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (c ), ou encore il existe θ ∈ ]0, 1[ tel
que f (b) − f (a) = (b − a)f 0 (a + θ(b − a)), (c = a + θ(b − a)).
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
On peut donc formuler le théorème des accroissements finis de la façon
suivante :
Théorème
Soit f une fonction numérique continue sur un segment [a, b], a < b, dérivable
en tout point de ]a, b[. Alors, pour tout x , y ∈ [a, b], il existe θ ∈ ]0, 1[ tel que :
f (y ) − f (x ) = (y − x )f 0 (x + θ(y − x ))
ou encore, en posant y − x = h :
f (x + h) − f (x ) = hf 0 (x + θh).
Géométriquement le théorème 2.2 signifie qu’il existe un point Mc (c , f (c )) de
la courbe Γ d’équation y = f (x ), x ∈ [a, b] , tel que la tangente à Γ en Mc soit
parallèle à la corde joignant les points Ma (a, f (a)) et Mb (b, f (b)).
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Γ
Mc
Mb
Ma
a
c
b
Corollaire (Inégalité des accroissements finis)
Soit f une fonction numérique continue sur un segment [a, b], a < b,
dérivable en tout point de ]a, b[. On a :
I
∀(x , y ) ∈ [a, b]2 , x < y , | f (y ) − f (x ) |≤| y − x | sup | f 0 (t ) |.
I
∀(x , y ) ∈ [a, b] , x < y , ∀L ∈ R, | f (y ) − f (x ) − L(y − x ) |≤| y − x |
sup | f 0 (t ) − L |.
x <t <y
2
x <t <y
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Proposition (Généralisation de la formule des accroissements finis)
Soient f et g deux fonctions numériques continues sur un segment
[a, b] , a < b, dérivables en tout point de ]a, b[ telles que g (a) 6= g (b) . Il
existe alors un point c ∈ ]a, b[ tel que
f (b ) − f (a )
g (b) − g (a)
f 0 (c ) = 0.
g 0 (c )
Démonstration.
On applique le théorème de Rolle à la fonction ϕ : [a, b] → R définie par :
ϕ(x ) = f (x ) − f (a) − (g (x ) − g (a))
Brahim Boussouis
Derivées
f (b ) − f (a )
g (b ) − g (a )
.
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Proposition
Si une fonction f admet une dérivée nulle en tout point d’un intervalle I, alors
f est constante.
Démonstration.
Soit x0 un point fixe de I. Pour tout x ∈ I , x 6= x0 , il existe c compris entre x et
x0 tel que f (x ) − f (x0 ) = (x − x0 )f 0 (c ) = 0, donc f (x ) = f (x0 ), pour tout
x ∈ I.
Corollaire
Si deux fonctions ont la même dérivée sur un intervalle I, alors leur différence
est constante.
Proposition
Soit f une fonction numérique continue sur un intervalle I, dérivable sur
o
I := ]inf I , sup I [. Alors f est croissante (resp. décroissante) sur I si, et
o
seulement si , pour tout x ∈ I , on a f 0 (x ) ≥ 0 (resp. f 0 (x ) ≤ 0).
Démonstration.
o
Si f % (resp. f &) sur I, alors f 0 ≥ 0 (resp. f 0 ≤ 0) sur I . Inversement, pour
I 3 x < y ∈ I, il existe c ∈ ]x , y [ tel que f (y ) − f (x ) = (y − x ) f 0 (c ). On en
déduit que f (y ) − f (x ) ≥ 0 (resp. f (y ) − f (x ) ≤ 0) si f 0 (x ) ≥ 0 (resp.
o
f 0 (x ) ≤ 0), pour tout x ∈ I .
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Remarque
o
Si f 0 (x ) < 0 (resp. f 0 (x ) > 0), pour tout x ∈ I , alors f est strictement
croissante (resp. strictement décroissante) sur I.
La réciproque de ce résultat est fausse, comme le montre l’exemple de la
fonction x 7−→ x 3 qui est strictement croissante sur R et dont la dérivée
s’annule à l’origine.
Proposition
o
Soit f : I → R une application continue et dérivable sur I . Alors f est
o
lipshitzienne sur I si, et seulement si f 0 est bornée sur I (ie.
0 f (x ) < +∞).
sup
inf I <x <sup I
Démonstration.
o
Si
alors pour tout x0 ∈ I et pour tout x ∈ I \{x0 }, on a
f est k -lipshitzienne,
f (x ) − f (x 0 ) ≤ k , et par passage à la limite (x → x0 ), on obtient
x − x0 |f 0 (x0 )| ≤ k , donc sup f 0 (x ) ≤ k < +∞.
inf I <x <sup I
Inversement si k =
sup
inf I <x <sup I
0 f (x ) < +∞, alors f est k -lipshitzienne,
d’après l’inégalité des accroissements finis.
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Proposition (prolongement des fonctions dérivables)
Soit f : [a, b] → R une fonction continue sur [a, b] dérivable sur l’intervalle
ouvert ]a, b[ et telle que f 0 (x ) admet une limite l lorsque x tend vers a à droite
(resp. vers b à gauche). Alors la fonction f admet une dérivée à droite en a
(resp. une dérivée à gauche en b) égale à l.
Démonstration.
D’après le corollaire 2.1, on a pour tout x < b (resp. a < x) :
| f (x ) − f (b) − (x − b)l | ≤ (b − x ) sup | f 0 (t ) − l |
x <t <b
(resp. |f (x ) − f (a) − l (x − a)| ≤ (x − a) sup f 0 (t ) − l )
a<t <x
D’où : |
f (x )−f (b)
x −b
− l |≤ sup | f 0 (t ) − l | → 0 (resp.
x →b
x <t <b
f (x ) − f (a) 0
f (t ) − l −→ 0).
x − a − l ≤ asup
x →a+
<t <x
−
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Théorème ( Règle de L’Hôpital)
Soient I un intervalle de R, a ∈ I, f et g deux applications continues sur I,
dérivables sur I \{a} et vérifiant f (a) = g (a) = 0 et g 0 (x ) 6= 0 pour tout
f 0 (x )
0
x →a g (x )
x ∈ I \{a} . Dans ces conditions si lim
f (x )
x →a g (x )
= l ∈ R, alors lim
= l.
Démonstration.
D’après le théorème de Rolle, puisque g (a) = 0 et g 0 (x ) 6= 0 pour tout
x ∈ I \{a}, on peut dire que g (x ) 6= 0 pour tout x ∈ I \{a}.
D’autre part, pour tout x ∈ I, x 6= a, il existe c (x ) strictement compris entre a
f (x )−f (a)
f (x )
et x tel que g (x )−g (a) = g (x ) =
lim c (x ) = a et lim
x →a
x →a
f 0 (x )
g 0 (x )
f 0 (c (x ))
g 0 (c (x ))
= l, donc lim
(cf. théorème 2.1). On a
f (x )
x →a g (x )
(composition des limites).
Brahim Boussouis
Derivées
= lim
f 0 (c (x ))
x →a g 0 (c (x ))
=l
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR
Applications du théorème des accroissements finis
Remarque
f (x )
La limite lim g (x ) peut exister sans que
x →a
x → a. Soient g (x ) = x et f (x ) =
f (x )
= lim x sin x1 = 0, mais
lim
x →0
x →0 g (x )
0.
f 0 (x )
g 0 (x )
2
x sin
1
x
admette une limite lorsque
si x 6= 0
si x = 0
0
f 0 (x )
g 0 (x )
. On a :
= 2x sin x1 − cos x1 n’a pas de limite en
Exemple (Application aux formes indéterminées)
En utilisant plusieurs fois la règle de L’Hôpital, on peut écrire :
lim
x →0
1 − cos x
x2
= lim
x →0
Brahim Boussouis
sin x
2x
= lim
Derivées
x →0
cos x
2
1
= .
2
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Sommaire
1
Applications dérivables
Dérivées d’un côté
Interprétation géométrique de la dérivée
Applications diffèrentiables
Dérivées d’ordre supérieur
Régles de dérivation
Extrema relatifs
2
Théorème des Accroissements Finis
Théorèmes de Rolle et des accroissements finis
Applications du théorème des accroissements finis
Dérivées et monotonie
Règle de l’Hôpital
3
FORMULES DE TAYLOR
Formule de Taylor-Young
Allure d’une fonction au voisinage d’un point
Application aux extremums
Formule de Taylor-Lagrange
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Théorème (Formule de Taylor-Young)
Soit f : I → R une fonction numérique définie sur un intervalle I et admettant
en a ∈ I une dérivée d’ordre n. Alors on a :
f (x ) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + ... +
(x − a )n ( n )
(a) + (x − a)n ε(x ),
f
n!
avec lim ε(x ) = 0.
x →a
(X −a)n
Le polynôme Tn (f , a)(X ) = f (a) + (X − a)f 0 (a) + ... + n! f (n) (a)
s’appelle le polynôme de Taylor d’ordre n de f en a. Le terme
n
Rn (x ) = (x − a) ε(x ) s’appelle le reste d’Young d’ordre n de f en a.
Brahim Boussouis
Derivées
(5)
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Démonstration.
On procède par récurrence sur n.
Si n = 1 : Alors f (x ) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + (x − a) ε(x ), avec
lim ε(x ) = 0, car f est dérivable en a.
x →a
Supposons que la propriété soit vraie jusqu’à l’ordre n. Soit f : I → R une
fonction admettant en a ∈ I une dérivée d’ordre n + 1. Donc il existe α > 0 tel
que f soit n fois dérivable sur I ∩]a − α, a + α[ et f (n) est dérivable en a. On
peut donc écrire :
n
lim ε(x ) = 0.
f 0 (x ) = Tn (f 0 , a)(x ) + (x − a) ε(x ),
x →a
Soit η > 0. Il existe β ∈]0, α[ tel que | x − a |< β ⇒| ε(x ) |< η. On a :
∀x ∈ I , |x − a| < β ⇒| f 0 (x ) − Tn (f 0 , a)(x ) |≤ η |x − a|n .
Soit ϕ(x ) = f (x ) − Tn+1 (f , a)(x ). ϕ est dérivable sur I ∩]a − β, a + β[ et
ϕ0 (x ) = f 0 (x ) − Tn (f 0 , a)(x ). D’après l’inégalité des accroissements finis, on
a:
| ϕ(x ) − ϕ(a) |≤| x − a | sup | ϕ0 (x ) |≤ η | x − a |n+1 .
t ∈(a,x )
Posons ε1 (x ) =
1
(x −a)n+1
[f (x ) − Tn+1 (f , a)(x )] si x 6= a et ε1 (a) = 0.
Alors on a lim ε1 (x ) = 0 et f (x ) = Tn+1 (f , a)(x ) + (x − a)
x →a
Brahim Boussouis
Derivées
n+1
ε1 (x ).
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Allure d’une fonction au voisinage d’un point
Soit n ∈ N, n ≥ 2 et soit f : I → R une fonction n fois dérivable en a ∈ I.
L’équation de la tangente au graphe de f en a est : y − f (a) = (x − a)f 0 (a).
Soit p le plus petit entier vérifiant 2 ≤ p ≤ n et f (p) (a) 6= 0 (on suppose qu’un
tel entier existe). La formule de Taylor-Young permet d’écrire :
(x −a)p
f (x ) = f (a) + (x − a)f 0 (a) + p! f (p) (a) + (x − a)p ε(x ) lim ε(x ) = 0
(x −a)p
p
(x −a)p
x →a
D’où f (x ) − y = p! f (p) (a) + (x − a) ε(x ) = p! f (p) (a)ψ(x ), où
p!ε(x )
ψ(x ) = 1 + (p) .
f (a)
On a lim ψ(x ) = 1, donc pour x voisin de a, ψ(x ) > 0 et par suite f (x ) − y
x →a
est de même signe que
f au voisinage de a :
p pair
p impair
(x −a)p (p)
f (a ).
p!
On en déduit l’allure du graphe Cf de
f (p) (a) < 0
Cf au dessous de sa tangente en a
a est un point d’inflexion
Brahim Boussouis
Derivées
f ( p ) (a ) > 0
Cf au dessus de sa tangente en a
a est un point d’inflexion
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Cf
Cf
Cf
a
f (p)(a) < 0, p pair
a
a
p impair
f (p)(a) > 0, p pair
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Application aux extremums
Soit n ∈ N, n ≥ 2 et soit f : I → R une fonction n fois dérivable en a ∈ I telle
que f 0 (a) = 0. On suppose qu’il existe un plus petit entier p vérifiant
2 ≤ p ≤ n, f (p) (a) 6= 0. En utilisant l’étude précèdente, on peut dire que
f (x ) − f (a) est de même signe que
suivant :
p pair
p impair
(x −a)p (p)
f (a ).
p!
f ( p ) (a ) < 0
a est un maximum relatif
a est un point d’inflexion
On en déduit le tableau
f (p) (a) > 0
a est un minimum relatif
a est un point d’inflexion
Cf
Cf
Cf
a
p pair, f (p) (a) > 0
a
p impair
a
p pair, f (p) (a) < 0
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Théorème (Formule de Taylor-Lagrange)
Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle I = [a, b] admettant une
dérivée d’ordre (n + 1) en tout point de ]a, b[. Alors, pour tout (x , y ) ∈ I 2 ,
x 6= y , il existe c strictement compris entre x et y tel que :
f (y ) = f (x ) + (y − x )f 0 (x ) + · · · +
(y − x )n (n)
(y − x )n+1 (n+1)
f (x ) +
f
(c ).
n!
(n + 1)!
(6)
Démonstration.
Considèrons la fonction auxillaire
ϕ(t ) = f (y ) −
kP
=n
k =0
(y −t )k (k )
(y −t )n+1
f (t ) − A (n+1)! ,
k!
où A est une constante telle que ϕ(x ) = 0. On a :
ϕ0 (t ) =
(y −t )n
n!
h
i
A − f (n+1) (t ) .
ϕ est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et ϕ(x ) = ϕ(y ) (= 0), il existe,
d’après le théorème de Rolle, un réel c strictement compris entre x et y , tel
que ϕ0 (c ) = 0, ou encore tel que A = f (n+1) (c ).
Brahim Boussouis
Derivées
Applications dérivables Théorème des Accroissements Finis FORMULES DE TAYLOR Formule de Taylor-Young Formule de Taylor-Lagrange
Remarques
I
Gardons les hypothèses du théorème précèdent et posons y − x = h.
Alors il existe θ ∈]0, 1[ tel que
f (x + h) = f (x ) + hf 0 (x ) + · · · +
I
hn (n)
hn+1 (n+1)
f (x ) +
f
(x + θh)
n!
(n + 1)!
Avec les mêmes hypothèses et si de plus x = 0 ∈ I, alors il existe
θ ∈]0, 1[ tel que
n
n+1
2
f (h) = f (0) + hf 0 (0) + h2! f 00 (0) + ... + hn! f (n) (0) + (nh+1)! f (n+1) (θh)
(Formule de Mac-Laurin).
I
La formule de Taylor-Lagrange généralise la formule des
accroissements finis (on retrouve cette dernière en faisant n = 1 dans la
formule de Taylor-Lagrange), alors que la formule de Taylor-Young
généralise la définition de la dérivabilité en un point.
I
La formule de Taylor-Young a un caractère local : Elle donne l’allure
d’une fonction au voisinage d’un point. La formule de Taylor-Lagrange, a
un caractère global. Ses hypothèses ont, à l’inverse de la première, un
caractère global.
Brahim Boussouis
Derivées