Fonctions usuelles

Fonctions usuelles
Fonctions usuelles
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
1
Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
La fonction logarithme
La fonction exponentielle
La fonction puissance
La fonction exponentielle de base a
Croissances comparées
2
Fonctions trigonométriques réciproques
Fonction Arc sinus
La fonction Arccosinus
La fonction Arctangente
Les équations trogonométriques
3
Fonctions hyperboliques
Équations hyperboliques
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
La fonction logarithme
Il existe une unique fonction ln : ]0 , +∞[7−→ R telle que :
∀x > 0,
Paris Descartes
0
ln (x) =
1
x
2012 — 2013
et
ln 1 = 0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme
É
∗
∀a , b ∈ R+ ,
Paris Descartes
ln(a.b) = ln a + ln b
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
0
f (x) =
a
ax
Paris Descartes
=
1
x
0
= ln x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[
donc : ∀x > 0,
Paris Descartes
ln(ax) − ln x = k
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[
donc : ∀x > 0,
É
ln(ax) − ln x = k
Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[
donc : ∀x > 0,
É
ln(ax) − ln x = k
Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k
Paris Descartes
donc : k = ln a
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[
donc : ∀x > 0,
ln(ax) − ln x = k
É
Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k
É
Finalement :
∀x > 0, ln(ax) − ln x = ln a
Paris Descartes
donc : k = ln a
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a > 0, on pose : f (x) = ln(ax).
É
É
0
a
f (x) =
=
1
0
= ln x
ax
x
0
∀x > 0, (f − ln) (x) = 0
donc : f − ln est constante sur ]0 , +∞[
donc : ∀x > 0,
ln(ax) − ln x = k
É
Pour x = 1 : ln a − ln 1 = k
É
Finalement :
∀x > 0, ln(ax) − ln x = ln a
Paris Descartes
donc : k = ln a
⇒
2012 — 2013
ln(ax) = ln x + ln a
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme
∗
É
∀a , b ∈ R+ ,
É
∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z,
∗
Paris Descartes
ln(a.b) = ln a + ln b
n
ln(a ) = n. ln a
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n,
Paris Descartes
2012 — 2013
p
ln(a ) = p. ln a
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
p
1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a
€
n+ 1
n Š
1.3 ln(a
) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
p
1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a
€
n+ 1
n Š
1.3 ln(a
) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a
2. Pour n ∈ Z :
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
p
1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a
€
n+ 1
n Š
1.3 ln(a
) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a
2. Pour n ∈ Z :
n
2.1 ln(a .a
Paris Descartes
−n
) = ln 1 = 0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
p
1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a
€
n+ 1
n Š
1.3 ln(a
) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a
2. Pour n ∈ Z :
n
2.1 ln(a .a
−n
) = ln 1 = 0
n
2.2 D’autre part : ln(a .a
Paris Descartes
−n
n
) = ln a + ln a
2012 — 2013
−n
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 2
1. Pour n ∈ N : par récurrence
1
1.1 ln a = ln a
p
1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1 ≤ p ≤ n, ln(a ) = p. ln a
€
n+ 1
n Š
1.3 ln(a
) = ln a.(a ) = ln a + n. ln a = (n + 1). ln a
2. Pour n ∈ Z :
n
2.1 ln(a .a
−n
) = ln 1 = 0
n
−n
n
2.2 D’autre part : ln(a .a ) = ln a + ln a
−n
donc : ln a = −n. ln a
Paris Descartes
2012 — 2013
−n
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme
∗
É
∀a , b ∈ R+ ,
É
∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z,
É
∗
ln(a.b) = ln a + ln b
n
ln(a ) = n. ln a
La fonction logarithme est une bijection continue et
strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1. ∀x > 0,
0
ln x =
Paris Descartes
1
x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
1. ∀x > 0,
0
ln x =
Paris Descartes
1
x
>0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
0
1
> 0 donc : la fonction logarithme est
x
strictement croissante pour x > 0.
1. ∀x > 0,
ln x =
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
0
1
> 0 donc : la fonction logarithme est
x
strictement croissante pour x > 0.
1. ∀x > 0,
ln x =
2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0,
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
0
1
> 0 donc : la fonction logarithme est
x
strictement croissante pour x > 0.
1. ∀x > 0,
ln x =
n
2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, la suite un = n. ln 2 = ln(2 ) a donc
pour limite +∞.
Donc : lim ln x = +∞
x→+∞
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
0
1
> 0 donc : la fonction logarithme est
x
strictement croissante pour x > 0.
1. ∀x > 0,
ln x =
n
2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, la suite un = n. ln 2 = ln(2 ) a donc
pour limite +∞.
Donc : lim ln x = +∞
x→+∞
1
3. lim (ln x) = lim ln( ) = lim (− ln x) = −∞
x→+∞
x→+∞
x→0
x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 3
0
1
> 0 donc : la fonction logarithme est
x
strictement croissante pour x > 0.
1. ∀x > 0,
ln x =
n
2. Alors : ln 2 > ln 1 = 0, la suite un = n. ln 2 = ln(2 ) a donc
pour limite +∞.
Donc : lim ln x = +∞
x→+∞
1
3. lim (ln x) = lim ln( ) = lim (− ln x) = −∞
x→+∞
x→+∞
x→0
x
Donc : ln : I =]0 , +∞[7−→ R est une fonction continue
strictement croissante.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Rappel
Théorème : Soit I un intervalle et f : I 7−→ R une fonction
continue et strictement monotone.
1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I).
2. Si a et b sont les bornes de l’intervalle I, alors :
lim f (x) et lim f (x) sont les bornes de l’intervalle f (I).
x→a
Paris Descartes
x→b
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme
∗
É
∀a , b ∈ R+ ,
É
∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z,
É
∗
ln(a.b) = ln a + ln b
n
ln(a ) = n. ln a
La fonction logarithme est une bijection continue et
strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Propriétés du logarithme
∗
É
∀a , b ∈ R+ ,
É
∀a ∈ R+ , ∀n ∈ Z,
ln(a.b) = ln a + ln b
∗
n
ln(a ) = n. ln a
É
La fonction logarithme est une bijection continue et
strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R.
É
lim
x→0
ln(1 + x)
x
Paris Descartes
=1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln(1 + x)
x→0
Paris Descartes
x
La fonction logarithme
= lim
x→0
ln(1 + x) − ln 1
x
2012 — 2013
0
= ln (1) =
1
1
=1
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Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Graphe de la fonction logarithme
y
log x
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction logarithme
Graphe de la fonction logarithme
y
log x
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Propriétés du logarithme
É
La fonction logarithme est une bijection continue et
strictement croissante de ]0 , +∞[ sur R.
Paris Descartes
2012 — 2013
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Rappel
Théorème : Soit I un intervalle et f : I 7−→ R une fonction
continue et strictement monotone.
1. f (I) est un intervalle et f est une bijection de I sur f (I).
2. Si a et b sont les bornes de l’intervalle I, alors :
lim f (x) et lim f (x) sont les bornes de l’intervalle f (I).
x→a
x→b
3. La bijection réciproque de f est continue, strictement
monotone et de même sens de variation que f .
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la
fonction exponentielle.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la
fonction exponentielle.
x
Notation : exp(x) ou e
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la
fonction exponentielle.
x
Notation : exp(x) ou e
exp est une fonction continue et strictement croissante
définie sur R et à valeurs dans ]0 , +∞[
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la
fonction exponentielle.
x
Notation : exp(x) ou e
exp est une fonction continue et strictement croissante
définie sur R et à valeurs dans ]0 , +∞[
¨
€
Š
exp
ln
x
€
Š = x ∀x > 0
On a :
ln exp(x) = x ∀x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Propriétés de la fonction exponentielle
É
∀a , b ∈ R,
Paris Descartes
exp(a + b) = exp(a). exp(b)
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Propriétés de la fonction exponentielle
É
É
∀a , b ∈ R,
exp(a + b) = exp(a). exp(b)
€
Šn
∀a ∈ R, ∀n ∈ Z, exp(n.a) = exp(a)
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Propriétés de la fonction exponentielle
∀a , b ∈ R,
É
exp(a + b) = exp(a). exp(b)
€
Šn
∀a ∈ R, ∀n ∈ Z, exp(n.a) = exp(a)
É
∀x ∈ R,
É
0
exp (x) = exp(x)
Paris Descartes
2012 — 2013
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée d’une fonction réciproque
Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction
dérivable et strictement monotone.
É
f est bijective...
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée d’une fonction réciproque
Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction
dérivable et strictement monotone.
É
f est bijective...
É
Si g est la fonction réciproque de f ,
1
0
g : J 7−→ I est dérivable et : g (x) =
Paris Descartes
2012 — 2013
f
0€
g(x)
Š
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée d’une fonction réciproque
Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction
dérivable et strictement monotone.
É
f est bijective...
É
Si g est la fonction réciproque de f ,
1
0
g : J 7−→ I est dérivable et : g (x) =
f
0€
g(x)
Š
Puisque g est la fonction réciproque de f ,
∀x ∈ J, (f ◦ g)(x) = x
Paris Descartes
2012 — 2013
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée d’une fonction réciproque
Soit I un intervalle ouvert et f : I 7−→ f (I) = J une fonction
dérivable et strictement monotone.
É
f est bijective...
É
Si g est la fonction réciproque de f ,
1
0
g : J 7−→ I est dérivable et : g (x) =
f
0€
g(x)
Š
Puisque g est la fonction réciproque de f ,
∀x ∈ J, (f ◦ g)(x) = x
0
Donc : (f ◦ g) (x) = f
Paris Descartes
0€
Š 0
g(x) .g (x) = 1
2012 — 2013
⇒
1
0
g (x) =
f
0€
g(x)
Š
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée de l’exponentielle
(ln ◦ exp)(x) = x
Paris Descartes
2012 — 2013
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée de l’exponentielle
(ln ◦ exp)(x) = x
0
(ln ◦ exp) (x) = ln
Paris Descartes
0€
Š
0
exp(x) . exp (x) = 1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Dérivée de l’exponentielle
(ln ◦ exp)(x) = x
0
(ln ◦ exp) (x) = ln
Donc :
0€
Š
0
exp(x) . exp (x) = 1
1
0
exp (x) =
Paris Descartes
ln
0€
Š=
exp(x)
1
1
exp(x)
2012 — 2013
= exp(x)
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
Si f est bijective, il existe f
∀x,
(f ◦ f
−1
)(x) = (f
Paris Descartes
−1
−1
telle que :
◦ f )(x) = x.
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
Si f est bijective, il existe f
∀x,
(f ◦ f
−1
)(x) = (f
−1
−1
telle que :
◦ f )(x) = x.
Alors : y = f (x)
Paris Descartes
⇔
2012 — 2013
x=f
−1
(y)
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
Si f est bijective, il existe f
∀x,
(f ◦ f
−1
)(x) = (f
−1
−1
telle que :
◦ f )(x) = x.
Alors : y = f (x)
⇔
x=f
−1
(y)
Soit Gf = {(x , f (x)) | x ∈ I} le graphe de la fonction f :
Paris Descartes
2012 — 2013
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
Si f est bijective, il existe f
∀x,
(f ◦ f
−1
)(x) = (f
−1
−1
telle que :
◦ f )(x) = x.
Alors : y = f (x)
⇔
x=f
−1
(y)
Soit Gf = {(x , f (x)) | x ∈ I} le graphe de la fonction f :
(x , y) ∈ Gf
⇔
Paris Descartes
(y , x) = (y , f
−1
(y))
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
Si f est bijective, il existe f
∀x,
(f ◦ f
−1
)(x) = (f
−1
−1
telle que :
◦ f )(x) = x.
Alors : y = f (x)
⇔
x=f
−1
(y)
Soit Gf = {(x , f (x)) | x ∈ I} le graphe de la fonction f :
(x , y) ∈ Gf
⇔
Paris Descartes
(y , x) = (y , f
−1
(y)) ∈ Gf −1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
y
(x, y)
y
x
(y, x)
0
Paris Descartes
x
y
2012 — 2013
x
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe d’une fonction réciproque
y
(x, y)
y
x
(y, x)
0
Paris Descartes
x
y
2012 — 2013
x
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe de la fonction exponentielle
y
log x
0
Paris Descartes
1
2012 — 2013
x
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe de la fonction exponentielle
y
log x
1
0
Paris Descartes
1
2012 — 2013
x
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Fonctions usuelles
La fonction exponentielle
Graphe de la fonction exponentielle
y
exp(x)
log x
1
0
Paris Descartes
1
2012 — 2013
x
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Fonctions usuelles
La fonction puissance
La fonction puissance
Soit a > 0 et b ∈ R on appelle « a puissance b » le nombre réel
définit par :
b
a = exp(b. ln a)
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
La fonction puissance
Soit a > 0 et b ∈ R on appelle « a puissance b » le nombre réel
définit par :
b
a = exp(b. ln a)
Soit b ∈ R, la fonction :
u :
]0 , +∞[ 7−→ R
x
7−→ u(x) = x
b
s’appelle la fonction puissance.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
La fonction puissance
Soit a > 0 et b ∈ R on appelle « a puissance b » le nombre réel
définit par :
b
a = exp(b. ln a)
Soit b ∈ R, la fonction :
u :
]0 , +∞[ 7−→ R
x
b
7−→ u(x) = x = exp(b. ln x)
s’appelle la fonction puissance.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
b
u(x) = x = exp(b. ln x)
0
0
0
u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x)
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
b
u(x) = x = exp(b. ln x)
0
0
0
b
u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x)
Paris Descartes
2012 — 2013
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
b
u(x) = x = exp(b. ln x)
0
0
0
b
u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x)
x
0
u (x) = b. exp(− ln x). exp(b. ln x)
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
b
u(x) = x = exp(b. ln x)
0
0
0
b
u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x)
x
€
Š
0
u (x) = b. exp(− ln x). exp(b. ln x) = b. exp (b − 1). ln x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Dérivée de la fonction puissance
b
u(x) = x = exp(b. ln x)
0
0
0
b
u (x) = exp (b. ln x).(b. ln x) = exp(b. ln x)
x
€
Š
0
u (x) = b. exp(− ln x). exp(b. ln x) = b. exp (b − 1). ln x
0
u (x) = b x
Paris Descartes
b−1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É b>0
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement
croissante.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É b>0
É
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement
croissante.
lim (b. ln x) = +∞
x→+∞
Paris Descartes
⇒
b
lim x = +∞
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É b>0
É
É
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement
croissante.
lim (b. ln x) = +∞
x→+∞
lim (b. ln x) = −∞
x→0
⇒
⇒
b
lim x = +∞
x→+∞
b
lim x = 0 :
x→0
la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant : u(0) = 0
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É b>0
É
É
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement
croissante.
lim (b. ln x) = +∞
x→+∞
lim (b. ln x) = −∞
x→0
b
⇒
⇒
lim x = +∞
x→+∞
b
lim x = 0 :
x→0
la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant : u(0) = 0
u(x)
É
Si b > 1 : lim
x→0
x
= lim x
x→0
b−1
€
Š
= lim exp (b − 1) ln x = 0 :
x→0
0
la fonction puissance est dérivable à droite en 0, ud (0) = 0, et la tangente
au graphe est horizontale.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É b>0
É
É
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x > 0 : la fonction puissance est strictement
croissante.
lim (b. ln x) = +∞
x→+∞
lim (b. ln x) = −∞
⇒
x→0
b
⇒
lim x = +∞
x→+∞
b
lim x = 0 :
x→0
la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant : u(0) = 0
u(x)
É
Si b > 1 : lim
x→0
x
= lim x
b−1
x→0
€
Š
= lim exp (b − 1) ln x = 0 :
x→0
0
la fonction puissance est dérivable à droite en 0, ud (0) = 0, et la tangente
au graphe est horizontale.
u(x)
É
Si 0 < b < 1 : lim
= lim x
b−1
€
Š
= lim exp (b − 1) ln x = +∞ :
x→0
x
la fonction puissance n’est pas dérivable en 0, la tangente au graphe est
verticale.
x→0
Paris Descartes
x→0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
b<0
É
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est
strictement décroissante.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
b<0
É
É
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est
strictement décroissante.
lim (b. ln x) = −∞
x→+∞
Paris Descartes
⇒
b
lim x = 0
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
0
u (x) = b x
b−1
b<0
É
É
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est
strictement décroissante.
lim (b. ln x) = −∞
x→+∞
É
lim (b. ln x) = +∞
x→0
Paris Descartes
⇒
⇒
b
lim x = 0
x→+∞
b
lim x = +∞
x→0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Propriétés de la fonction puissance
b ∈ R, x ∈]0 , +∞[,
É
b
u(x) = x = exp(b. ln x),
b−1
b<0
É
É
€
Š
0
u (x) = b exp (b − 1) ln x < 0 : la fonction puissance est
strictement décroissante.
lim (b. ln x) = −∞
x→+∞
É
lim (b. ln x) = +∞
x→0
É
0
u (x) = b x
⇒
⇒
b
lim x = 0
x→+∞
b
lim x = +∞
x→0
b = 0. La fonction puissance est constante de valeur 1.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Graphe de la fonction puissance
y
u(x) = xb
b>1
1
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Graphe de la fonction puissance
y
u(x) = xb
b>1
1
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Graphe de la fonction puissance
y
u(x) = xb
b>1
0<b<1
1
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Graphe de la fonction puissance
y
u(x) = xb
b>1
0<b<1
1
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Graphe de la fonction puissance
y
u(x) = xb
b=
1
b>1
0<b<1
1
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction puissance
Graphe de la fonction puissance
y
u(x) = xb
b>1
b=
1
b<0
0<b<1
1
0
Paris Descartes
x
1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Exponentielle de base a
Soit a > 0. La fonction
v : R 7−→
R €
Š
x
x 7−→ v(x) = a = exp x. ln(a)
s’appelle la fonction exponentielle de base a
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Exponentielle de base a
Soit a > 0. La fonction
v : R 7−→
R €
Š
x
x 7−→ v(x) = a = exp x. ln(a)
s’appelle la fonction exponentielle de base a
€
Š
0
x
v (x) = ln(a). exp x. ln(a) = ln(a).a
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Propriétés de l’exponentielle de base a
€
Š
x
0
x
v(x) = a = exp x. ln(a)
v (x) = ln(a).a
É Si a > 1 :
1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R,
0
v (x) > 0
la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Propriétés de l’exponentielle de base a
€
Š
x
0
x
v(x) = a = exp x. ln(a)
v (x) = ln(a).a
É Si a > 1 :
1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R,
0
v (x) > 0
la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = +∞
x→+∞
Paris Descartes
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Propriétés de l’exponentielle de base a
€
Š
x
0
x
v(x) = a = exp x. ln(a)
v (x) = ln(a).a
É Si a > 1 :
1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R,
0
v (x) > 0
la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = +∞
x→+∞
x→+∞
€
Š
3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = 0
x→−∞
Paris Descartes
x→−∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Propriétés de l’exponentielle de base a
€
Š
x
0
x
v(x) = a = exp x. ln(a)
v (x) = ln(a).a
É Si a > 1 :
1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R,
0
v (x) > 0
la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = +∞
x→+∞
x→+∞
€
Š
3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = 0
x→−∞
É Si a < 1 :
1. ln a < 0, donc ∀x ∈ R,
x→−∞
0
v (x) < 0
la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Propriétés de l’exponentielle de base a
€
Š
x
0
x
v(x) = a = exp x. ln(a)
v (x) = ln(a).a
É Si a > 1 :
1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R,
0
v (x) > 0
la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = +∞
x→+∞
x→+∞
€
Š
3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = 0
x→−∞
É Si a < 1 :
1. ln a < 0, donc ∀x ∈ R,
x→−∞
0
v (x) < 0
la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = −∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = 0
x→+∞
Paris Descartes
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Propriétés de l’exponentielle de base a
€
Š
x
0
x
v(x) = a = exp x. ln(a)
v (x) = ln(a).a
É Si a > 1 :
1. ln a > 0, donc ∀x ∈ R,
0
v (x) > 0
la fonction exponentielle de base a est strictement croissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = +∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = +∞
x→+∞
x→+∞
€
Š
3. lim x. ln(a) = −∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = 0
x→−∞
É Si a < 1 :
1. ln a < 0, donc ∀x ∈ R,
x→−∞
0
v (x) < 0
la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante.
€
Š
2. lim x. ln(a) = −∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = 0
x→+∞
x→+∞
€
Š
3. lim x. ln(a) = +∞ ⇒
lim exp x. ln(a) = +∞
x→−∞
Paris Descartes
x→−∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Graphe de l’exponentielle de base a
y
v(x) = ax
a>1
1
0
Paris Descartes
2012 — 2013
x
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Graphe de l’exponentielle de base a
y
v(x) = ax
a<1
a>1
1
0
Paris Descartes
2012 — 2013
x
Mathématiques et calcul 1
La fonction exponentielle de base a
Fonctions usuelles
Graphe de l’exponentielle de base a
y
v(x) = ax
a<1
a>1
1
0
Paris Descartes
2012 — 2013
a=1
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln x
x→+∞
∀x > 0,
x
Croissances comparées
=0
ln x < x
Paris Descartes
⇒
ln
€p Š p
x < x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln x
x→+∞
x
Croissances comparées
=0
∀x > 0,
ln x < x
∀x > 1 :
0≤
Paris Descartes
⇒
ln
€p Š p
x < x
ln x
x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln x
x→+∞
∀x > 0,
∀x > 1 :
x
Croissances comparées
=0
ln x < x
0≤
Paris Descartes
ln x
x
⇒
=
ln
2 ln
€p Š p
x < x
€p Š
x
x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln x
x→+∞
∀x > 0,
∀x > 1 :
x
Croissances comparées
=0
ln x < x
0≤
Paris Descartes
ln x
x
⇒
=
ln
2 ln
€p Š p
x < x
€p Š
x
x
=2
ln
2012 — 2013
€p Š
x 1
p
p
x
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln x
x→+∞
∀x > 0,
∀x > 1 :
x
Croissances comparées
=0
ln x < x
0≤
Paris Descartes
ln x
x
⇒
=
ln
2 ln
€p Š p
x < x
€p Š
x
x
=2
ln
2012 — 2013
€p Š
x 1
2
p
p ≤p
x
x
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
lim
ln x
x→+∞
∀x > 0,
∀x > 1 :
x
Croissances comparées
=0
ln x < x
0≤
ln x
x
⇒
=
ln
2 ln
€p Š p
x < x
€p Š
x
=2
x
lim
x→+∞
Paris Descartes
ln
ln x
x
€p Š
x 1
2
p
p ≤p
x
x
x
=0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
e
lim
x→+∞
Croissances comparées
x
x
= +∞
x
Si u(x) = e :
Paris Descartes
lim u(x) = +∞
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
e
lim
x→+∞
x
= +∞
x
Si u(x) = e :
lim
x→+∞
Croissances comparées
x
€
Š
ln u(x)
u(x)
Paris Descartes
lim u(x) = +∞
x→+∞
=0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
e
lim
x→+∞
x
= +∞
x
Si u(x) = e :
lim
x→+∞
Croissances comparées
x
€
Š
ln u(x)
u(x)
Paris Descartes
lim u(x) = +∞
x→+∞
x
=0
⇒
lim
x→+∞
ln e
x
e
2012 — 2013
x
= lim
x→+∞
x
e
=0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
e
lim
x→+∞
x
= +∞
x
Si u(x) = e :
lim
x→+∞
Croissances comparées
x
€
Š
ln u(x)
u(x)
lim u(x) = +∞
x→+∞
x
=0
⇒
lim
ln e
x
x→+∞
e
x
= lim
x→+∞
x
e
=0
x
e
lim
x→+∞
Paris Descartes
x
= +∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
€
a > 0, b > 0, lim
x→+∞
€
ln(x)
x
Šb
ln(x)
x
a
=0
Šb
a
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
€
a > 0, b > 0, lim
x→+∞
€
ln(x)
x
a
Šb
=
Šb
ln(x)
x
a
=0
ln x b
a
xb
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
€
a > 0, b > 0, lim
Šb
ln(x)
x→+∞
€
ln(x)
x
a
x
a
=0
a
Šb
=
ln x b
a
xb
Paris Descartes
=
b ln x b b
a
a
xb
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
€
a > 0, b > 0, lim
Šb
ln(x)
x→+∞
€
ln(x)
x
a
x
a
=0
a
Šb
=
ln x b
a
xb
Paris Descartes
=
b ln x b b
a
a
a
=
b b ln x b b
xb
2012 — 2013
a
a
xb
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
€
a > 0, b > 0, lim
Šb
ln(x)
x→+∞
€
ln(x)
x
a
x
a
=0
a
Šb
=
ln x b
a
=
b ln x b b
xb
a
a
a
=
b b ln x b b
xb
a
a
xb
a
En posant u(x) = x b :
Paris Descartes
lim u(x) = +∞
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
€
a > 0, b > 0, lim
Šb
ln(x)
x→+∞
€
ln(x)
x
a
x
a
=0
a
Šb
=
ln x b
a
=
b ln x b b
xb
a
a
a
=
b b ln x b b
a
a
xb
xb
a
En posant u(x) = x b :
lim u(x) = +∞
x→+∞
€
lim
x→+∞
Paris Descartes
ln(x)
x
Šb
a
2012 — 2013
=0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
Exercices
a > 0, b > 0
Paris Descartes
b
a
lim x ln x = 0
x→0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
Exercices
a > 0, b > 0
a > 0, b > 0
Paris Descartes
b
a
lim x ln x = 0
x→0
lim
exp(ax)
x→+∞
2012 — 2013
x
b
= +∞
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Croissances comparées
Exercices
a > 0, b > 0
a > 0, b > 0
a > 0, b > 0
Paris Descartes
b
a
lim x ln x = 0
x→0
lim
exp(ax)
x→+∞
x
b
= +∞
b
lim x exp(ax) = 0
x→−∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
Paris Descartes
2012 — 2013
π
2
, π2 [.
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
lim
x→0
Paris Descartes
sin x
x
π
2
, π2 [.
=1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
tan x
sin x
O
Paris Descartes
2012 — 2013
x
1
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
x>0
sin x ≤ x ≤ tan x
Paris Descartes
Fonction Arc sinus
⇒
sin x
sin x
2012 — 2013
x
≤
sin x
≤
tan x
sin x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
x>0
sin x ≤ x ≤ tan x
Paris Descartes
Fonction Arc sinus
⇒1=
sin x
sin x
2012 — 2013
x
≤
sin x
≤
tan x
sin x
=
1
cos x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
lim
x→0
Paris Descartes
sin x
x
π
2
, π2 [.
=1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
lim
x→0
sin x
x
π
2
, π2 [.
=1
0
sin x = cos x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de la fonction sinus
0
sin x0 = lim
x→x0
Paris Descartes
sin x − sin x0
x − x0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de la fonction sinus
0
sin x0 = lim
sin x − sin x0
x→x0
sin x − sin x0 = 2 sin
Paris Descartes
x − x0
€ x − x0 Š
2
. cos
€ x + x0 Š
2012 — 2013
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de la fonction sinus
0
sin x0 = lim
sin x − sin x0
x→x0
sin x − sin x0 = 2 sin
sin x − sin x0
x − x0
=
Paris Descartes
x − x0
€ x − x0 Š
2
x − x0
2
sin
. cos
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
2
2
. cos
2012 — 2013
€ x + x0 Š
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de la fonction sinus
0
sin x0 = lim
sin x − sin x0
x→x0
sin x − sin x0 = 2 sin
sin x − sin x0
x − x0
lim
x→x0
2
x − x0
=
sin
Paris Descartes
€ x − x0 Š
2
x − x0
2
sin
€ x − x0 Š
2
x − x0
. cos
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
2
2
. cos
€ x + x0 Š
2
=1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de la fonction sinus
0
sin x0 = lim
sin x − sin x0
x→x0
sin x − sin x0 = 2 sin
sin x − sin x0
x − x0
lim
x→x0
2
x − x0
=
sin
Paris Descartes
€ x − x0 Š
2
x − x0
2
sin
€ x − x0 Š
2
x − x0
. cos
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
=1
2
2
. cos
€ x + x0 Š
lim cos
x→x0
2012 — 2013
2
€ x + x0 Š
2
= cos x0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de la fonction sinus
0
sin x0 = lim
sin x − sin x0
x→x0
sin x − sin x0 = 2 sin
sin x − sin x0
x − x0
lim
x→x0
2
x − x0
=
sin
Paris Descartes
€ x − x0 Š
2
x − x0
2
sin
€ x − x0 Š
2
x − x0
. cos
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
=1
2
= cos x0
2
. cos
€ x + x0 Š
lim cos
x→x0
2012 — 2013
2
€ x + x0 Š
2
= cos x0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[
π
2
, π2 [, à
0
sin x = cos x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[
0
sin x = cos x > 0 puisque x ∈] −
Paris Descartes
2012 — 2013
π
2
, π2 [, à
π π
, [
2 2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[
0
sin x = cos x > 0 puisque x ∈] −
π
2
, π2 [, à
π π
, [
2 2
La fonction sinus est donc continue et strictement croissante
sur ] − π2 , π2 [
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction sinus sur ] − π2 , π2 [
La fonction sinus est continue et dérivable sur ] −
valeurs dans l’intervalle ] − 1 , 1[
0
sin x = cos x > 0 puisque x ∈] −
π
2
, π2 [, à
π π
, [
2 2
La fonction sinus est donc continue et strictement croissante
sur ] − π2 , π2 [, c’est donc une bijection de cet intervalle sur
l’intervalle ] − 1 , 1[.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction Arcsinus
Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] −
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arcsin est continue et strictement croissante
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction Arcsinus
Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] −
É
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arcsin est continue et strictement croissante
sin(arcsin x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction Arcsinus
Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] −
É
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arcsin est continue et strictement croissante
sin(arcsin x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
arcsin(sin x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La fonction Arcsinus
Il existe une fonction arcsin : ] − 1 , 1[7−→] −
É
É
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arcsin est continue et strictement croissante
sin(arcsin x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
arcsin(sin x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [
2
2
cos (arcsin x)+sin (arcsin x) = 1 ⇒ cos(arcsin x) =
Paris Descartes
2012 — 2013
p
1−x
Mathématiques et calcul 1
2
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de Arcsinus
La fonction Arcsinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et :
1
0
arcsin (x) =
Paris Descartes
sin
0€
arcsin x
Š
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de Arcsinus
La fonction Arcsinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et :
1
0
arcsin (x) =
Paris Descartes
sin
0€
arcsin x
Š=
2012 — 2013
1
€
cos arcsin x
Š
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
La dérivée de Arcsinus
La fonction Arcsinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et :
1
0
arcsin (x) =
sin
0€
arcsin x
Š=
0
arcsin (x) = p
Paris Descartes
2012 — 2013
1
€
cos arcsin x
Š
1
1−x
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
Les graphes de Sinus et Arcsinus
y
1
sin x
− π2
π
2
x
−1
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
Les graphes de Sinus et Arcsinus
y
1
sin x
− π2
π
2
x
−1
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
Les graphes de Sinus et Arcsinus
y
1
sin x
− π2
π
2
x
−1
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Fonction Arc sinus
Les graphes de Sinus et Arcsinus
y
arcsin x
π
2
1
− π2
sin x
−1
1
π
2
x
−1
− π2
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction cosinus sur ]0 , π[
La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction cosinus sur ]0 , π[
La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[.
0
cos x = − sin x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de la fonction cosinus
0
cos x0 = lim
x→x0
Paris Descartes
cos x − cos x0
x − x0
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de la fonction cosinus
cos x − cos x0
0
cos x0 = lim
x→x0
cos x − cos x0 = −2 sin
Paris Descartes
x − x0
€ x − x0 Š
2
. sin
€ x + x0 Š
2012 — 2013
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de la fonction cosinus
cos x − cos x0
0
cos x0 = lim
x→x0
cos x − cos x0 = −2 sin
cos x − cos x0
x − x0
Paris Descartes
=−
x − x0
€ x − x0 Š
2
x − x0
2
sin
. sin
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
2
2012 — 2013
2
. sin
€ x + x0 Š
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de la fonction cosinus
cos x − cos x0
0
cos x0 = lim
x→x0
cos x − cos x0 = −2 sin
cos x − cos x0
x − x0
lim
x→x0
2
x − x0
sin
Paris Descartes
=−
€ x − x0 Š
2
2
x − x0
€ x − x0 Š
2
x − x0
sin
. sin
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
2
2
. sin
€ x + x0 Š
2
=1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de la fonction cosinus
cos x − cos x0
0
cos x0 = lim
x→x0
cos x − cos x0 = −2 sin
cos x − cos x0
x − x0
lim
x→x0
2
x − x0
sin
Paris Descartes
=−
€ x − x0 Š
2
2
x − x0
€ x − x0 Š
2
x − x0
sin
=1
. sin
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
2
2
. sin
lim sin
x→x0
2012 — 2013
€ x + x0 Š
2
€ x + x0 Š
2
= sin x0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de la fonction cosinus
cos x − cos x0
0
cos x0 = lim
x→x0
cos x − cos x0 = −2 sin
cos x − cos x0
x − x0
lim
x→x0
2
x − x0
sin
Paris Descartes
=−
€ x − x0 Š
2
2
x − x0
€ x − x0 Š
2
x − x0
sin
=1
. sin
= − sin x0
€ x + x0 Š
€ x − x0 Š
2
2
. sin
lim sin
x→x0
2012 — 2013
€ x + x0 Š
2
€ x + x0 Š
2
= sin x0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction cosinus sur ]0 , π[
La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à
valeurs dans ] − 1 , 1[
0
cos x = − sin x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction cosinus sur ]0 , π[
La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à
valeurs dans ] − 1 , 1[
0
cos x = − sin x < 0 puisque x ∈]0 , π[
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction cosinus sur ]0 , π[
La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à
valeurs dans ] − 1 , 1[
0
cos x = − sin x < 0 puisque x ∈]0 , π[
La fonction cosinus est donc continue et strictement
décroissante sur ]0 , π[
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction cosinus sur ]0 , π[
La fonction cosinus est continue et dérivable sur ]0 , π[, à
valeurs dans ] − 1 , 1[
0
cos x = − sin x < 0 puisque x ∈]0 , π[
La fonction cosinus est donc continue et strictement
décroissante sur ]0 , π[ , c’est donc bijection de cet intervalle
sur l’intervalle ] − 1 , 1[.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction Arccosinus
Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie :
É
arccos est continue et strictement décroissante
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction Arccosinus
Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie :
É
É
arccos est continue et strictement décroissante
cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction Arccosinus
Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie :
É
É
É
arccos est continue et strictement décroissante
cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[
2
2
cos (arccos x)+sin (arccos x) = 1 ⇒ sin(arccos x) =
Paris Descartes
2012 — 2013
p
1−x
Mathématiques et calcul 1
2
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction Arccosinus
Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie :
É
É
É
É
arccos est continue et strictement décroissante
cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[
p
2
2
2
cos (arccos x)+sin (arccos x) = 1 ⇒ sin(arccos x) = 1 − x
€
Š
∀α, cos( π2 −α) = sin α ⇒ cos π2 −arcsin x = sin(arcsin x) = x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La fonction Arccosinus
Il existe une fonction arccos : ] − 1 , 1[7−→]0 , π[ qui vérifie :
É
É
É
É
arccos est continue et strictement décroissante
cos(arccos x) = x ∀x ∈] − 1 , 1[
arccos(cos x) = x ∀x ∈]0 , π[
p
2
2
2
cos (arccos x)+sin (arccos x) = 1 ⇒ sin(arccos x) = 1 − x
€
Š
∀α, cos( π2 −α) = sin α ⇒ cos π2 −arcsin x = sin(arcsin x) = x
arccos x + arcsin x =
Paris Descartes
2012 — 2013
π
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de Arccosinus
La fonction Arccosinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et :
π
arccos x + arcsin x =
Paris Descartes
2
0
0
⇒ arccos (x) = − arcsin x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
La dérivée de Arccosinus
La fonction Arccosinus est dérivable sur ] − 1 , 1[ et :
π
arccos x + arcsin x =
2
0
arccos (x) = − p
Paris Descartes
0
0
⇒ arccos (x) = − arcsin x
2012 — 2013
1
1−x
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
Les graphes de Cosinus et Arccosinus
y
1
π
2
cos x
−1
Paris Descartes
x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
Les graphes de Cosinus et Arccosinus
y
1
π
2
cos x
−1
Paris Descartes
x
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arccosinus
Les graphes de Cosinus et Arccosinus
y
π
arccos x
π
2
1
−1
1
x
cos x
−1
Paris Descartes
π
2
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La fonction tangente sur ] − π2 , π2 [
La fonction tangente est définie par :
tan x =
Paris Descartes
sin x
cos x
π
∀x 6= (2k + 1) , k ∈ Z
2
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La fonction tangente sur ] − π2 , π2 [
La fonction tangente est définie par :
tan x =
sin x
cos x
π
∀x 6= (2k + 1) , k ∈ Z
2
lim + tan x = −∞
x→− π2
Paris Descartes
et
2012 — 2013
lim tan x = +∞
x→ π2
−
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La fonction tangente sur ] − π2 , π2 [
La fonction tangente est définie par :
tan x =
sin x
cos x
π
∀x 6= (2k + 1) , k ∈ Z
2
lim + tan x = −∞
x→− π2
et
lim tan x = +∞
x→ π2
−
La fonction tangente est donc continue et dérivable sur
] − π2 , π2 [ à valeurs dans R.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La dérivée de la fonction tangente
La fonction tangente est continue et dérivable, comme
quotient de fonction continues et dérivables, sur ] − π2 , π2 [ et à
valeurs dans R.
2
0
tan x =
Paris Descartes
2
cos x + sin x
2
cos x
1
=
2
cos x
2012 — 2013
2
= 1 + tan x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La dérivée de la fonction tangente
La fonction tangente est continue et dérivable, comme
quotient de fonction continues et dérivables, sur ] − π2 , π2 [ et à
valeurs dans R.
2
0
tan x =
2
cos x + sin x
2
cos x
1
=
2
cos x
2
= 1 + tan x
La fonction tangente est donc continue et strictement
croissante sur ] − π2 , π2 [, c’est donc une bijection de cet
intervalle sur R.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La fonction Arctangente
Il existe une fonction arctan : R 7−→] −
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arctan est continue et strictement croissante
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La fonction Arctangente
Il existe une fonction arctan : R 7−→] −
É
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arctan est continue et strictement croissante
tan(arctan x) = x ∀x ∈ R
arctan(tan x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La fonction Arctangente
Il existe une fonction arctan : R 7−→] −
É
É
π
2
, π2 [ qui vérifie :
arctan est continue et strictement croissante
tan(arctan x) = x ∀x ∈ R
arctan(tan x) = x ∀x ∈] − π2 , π2 [
π
É
lim arctan x =
x→+∞
Paris Descartes
2
π
lim arctan x = −
x→−∞
2012 — 2013
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
La dérivée de Arctangente
0
∀x ∈] − π2 , π2 [ tan x 6= 0, donc la fonction Arctangente est
dérivable sur R et :
1
0
arctan x =
Paris Descartes
2
1 + tan (arctan x)
2012 — 2013
=
1
1+x
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
Les graphes de Tangente et Arctangente
y
tan x
− π2
Paris Descartes
π
2
2012 — 2013
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
Les graphes de Tangente et Arctangente
y
tan x
− π2
Paris Descartes
π
2
2012 — 2013
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
Les graphes de Tangente et Arctangente
y
tan x
− π2
Paris Descartes
π
2
2012 — 2013
x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction Arctangente
Les graphes de Tangente et Arctangente
y
tan x
π
2
arctan x
− π2
π
2
x
− π2
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équation sin x = a,
a ∈ [−1 , 1]
⇔
Les équations trogonométriques
a ∈ [−1 , 1]
α = arcsin a,
α ∈ [− π2 , π2 ]
L’équation s’écrit : sin x = sin α
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équation sin x = a,
a ∈ [−1 , 1]
⇔
Les équations trogonométriques
a ∈ [−1 , 1]
α = arcsin a,
α ∈ [− π2 , π2 ]
L’équation s’écrit : sin x = sin α
€
Š
€ x+α Š
sin x − sin α = 2 sin x−α
cos
2
2
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Les équations trogonométriques
Équation sin x = a,
a ∈ [−1 , 1]
⇔
a ∈ [−1 , 1]
α = arcsin a,
α ∈ [− π2 , π2 ]
L’équation s’écrit : sin x = sin α
€
Š
€ x+α Š
sin x − sin α = 2 sin x−α
cos
=0
2
2



sin
ou


€ x−α Š
cos
Paris Descartes
2
€ x+α Š
2
= 0 ⇔ x = α + 2kπ,
k∈Z
= 0 ⇔ x = π − α + 2kπ,
2012 — 2013
k∈Z
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équation cos x = a,
a ∈ [−1 , 1]
⇔
Les équations trogonométriques
a ∈ [−1 , 1]
α = arccos a,
α ∈ [0 , π]
L’équation s’écrit : cos x = cos α
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équation cos x = a,
a ∈ [−1 , 1]
⇔
Les équations trogonométriques
a ∈ [−1 , 1]
α = arccos a,
α ∈ [0 , π]
L’équation s’écrit : cos x = cos α
€
Š
€ x+α Š
cos x − cos α = −2 sin x−α
sin
2
2
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équation cos x = a,
a ∈ [−1 , 1]
⇔
Les équations trogonométriques
a ∈ [−1 , 1]
α = arccos a,
α ∈ [0 , π]
L’équation s’écrit : cos x = cos α
€
Š
€ x+α Š
=0
cos x − cos α = −2 sin x−α
sin
2
2

€ x−α Š
sin
= 0 ⇔ x = α + 2kπ, k ∈ Z

2

ou


€
Š
sin x+α
= 0 ⇔ x = −α + 2kπ, k ∈ Z
2
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques
On définit la fonction sinus hyperbolique par :
x
∀x ∈ R
Paris Descartes
sh(x) =
2012 — 2013
e −e
−x
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Les fonctions sinus et cosinus hyperboliques
On définit la fonction sinus hyperbolique par :
x
∀x ∈ R
sh(x) =
e −e
−x
2
On définit la fonction cosinus hyperbolique par :
x
∀x ∈ R
Paris Descartes
ch(x) =
2012 — 2013
e +e
−x
2
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Propriétés des fonctions sh et ch
x
sh(x) =
É
∀x ∈ R
e −e
2
−x
x
ch(x) =
e +e
−x
2
sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Propriétés des fonctions sh et ch
x
sh(x) =
e −e
2
−x
x
ch(x) =
e +e
−x
2
É
∀x ∈ R
sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire
É
∀x ∈ R
ch(−x) = ch(x) : la fonction ch est paire
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Propriétés des fonctions sh et ch
x
e −e
sh(x) =
2
−x
x
ch(x) =
e +e
−x
2
É
∀x ∈ R
sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire
É
∀x ∈ R
ch(−x) = ch(x) : la fonction ch est paire
É
ch(x) + sh(x) = e
x
Paris Descartes
et
ch(x) − sh(x) = e
2012 — 2013
−x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Propriétés des fonctions sh et ch
x
e −e
sh(x) =
2
−x
x
ch(x) =
e +e
−x
2
É
∀x ∈ R
sh(−x) = − sh(x) : la fonction sh est impaire
É
∀x ∈ R
ch(−x) = ch(x) : la fonction ch est paire
É
ch(x) + sh(x) = e
x
É
−x
ch(x) − sh(x) = e
€
Š€
Š
2
2
ch (x) − sh (x) = ch(x) + sh(x) ch(x) − sh(x) = 1
Paris Descartes
et
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Dérivées et variations de sh et ch
x
É
0
sh (x) =
e +e
Paris Descartes
2
−x
= ch(x)
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Dérivées et variations de sh et ch
x
É
0
sh (x) =
e +e
0
ch (x) =
= ch(x)
2
x
É
−x
e −e
Paris Descartes
2
−x
= sh(x)
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Dérivées et variations de sh et ch
x
É
0
sh (x) =
e +e
0
ch (x) =
∀x ∈ R
= ch(x)
2
x
É
−x
e −e
2
−x
= sh(x)
0
sh (x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante.
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Dérivées et variations de sh et ch
x
É
0
sh (x) =
e +e
0
ch (x) =
∀x ∈ R
= ch(x)
2
x
É
−x
e −e
−x
= sh(x)
2
0
sh (x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante.
Si x > 0 x > −x
Par imparité
Paris Descartes
⇒
Si x > 0
Si x < 0
x
e >e
−x
donc :
sh(x) > 0
sh(x) < 0
2012 — 2013
⇒
⇒
ch croissante
ch décroissante
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Dérivées et variations de sh et ch
x
É
0
sh (x) =
e +e
0
ch (x) =
∀x ∈ R
= ch(x)
2
x
É
−x
e −e
−x
= sh(x)
2
0
sh (x) = ch(x) > 0 : sh est strictement croissante.
Si x > 0 x > −x
Par imparité
ch(0) = 1
⇒
Paris Descartes
⇒
Si x > 0
Si x < 0
x
e >e
−x
donc :
sh(x) > 0
sh(x) < 0
⇒
⇒
ch croissante
ch décroissante
∀x 6= 0 ch(x) > 1
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Limites des fonctions sh et ch
x
lim e = +∞
et
x→+∞
É
lim sh(x) = +∞
x→+∞
Paris Descartes
lim e
x→+∞
−x
=0
lim sh(x) = −∞
x→−∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Limites des fonctions sh et ch
x
lim e = +∞
et
x→+∞
É
É
x→−∞
lim ch(x) = +∞
x→−∞
x→+∞
Paris Descartes
−x
=0
lim sh(x) = −∞
lim sh(x) = +∞
x→+∞
lim e
x→+∞
lim ch(x) = +∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Limites des fonctions sh et ch
x
lim e = +∞
É
É
x→−∞
lim ch(x) = +∞
x→−∞
x→+∞
∀x ∈ R ch(x) − sh(x) = e
x→+∞
−x
=0
lim sh(x) = −∞
lim sh(x) = +∞
x→+∞
lim e
et
x→+∞
lim ch(x) = +∞
−x
¨
>0
⇒
ch(x) €> sh(x)
Š
lim ch(x) − sh(x) = 0
x→+∞
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Les graphes de sh et ch
y
sh x
x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Les graphes de sh et ch
y
ch x
sh x
1
x
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction tangente hyperbolique
On définit la fonction tangente hyperbolique par :
∀x ∈ R
Paris Descartes
th(x) =
2012 — 2013
sh(x)
ch(x)
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
La fonction tangente hyperbolique
On définit la fonction tangente hyperbolique par :
∀x ∈ R
th(x) =
sh(x)
ch(x)
Dérivée :
0
0
th (x) =
0
sh (x) ch(x) − sh(x) ch (x)
2
=
ch (x)
0
2
2
ch (x)
2
th (x) = 1 − th (x) =
Paris Descartes
2
ch (x) − sh (x)
2012 — 2013
1
2
ch (x)
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Variations et limites de th(x)
0
th (x) =
1
2
ch (x)
>0
La fonction tangente hyperbolique est donc strictement
croissante sur R
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Variations et limites de th(x)
1
0
th (x) =
>0
2
ch (x)
La fonction tangente hyperbolique est donc strictement
croissante sur R
th(x) =
Paris Descartes
x
−x
x
−x
e −e
e +e
=
x
−2x
x
−2x
e (1 − e
e (1 + e
2012 — 2013
)
)
=
1−e
1+e
−2x
−2x
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Variations et limites de th(x)
1
0
th (x) =
>0
2
ch (x)
La fonction tangente hyperbolique est donc strictement
croissante sur R
th(x) =
x
−x
x
−x
e −e
e +e
lim e
x→+∞
Paris Descartes
−2x
=
=0
x
−2x
x
−2x
e (1 − e
e (1 + e
⇒
)
)
=
1−e
1+e
−2x
−2x
lim th(x) = 1
x→+∞
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Variations et limites de th(x)
1
0
th (x) =
>0
2
ch (x)
La fonction tangente hyperbolique est donc strictement
croissante sur R
th(x) =
x
−x
x
−x
e −e
e +e
lim e
x→+∞
−2x
=
=0
x
−2x
x
−2x
e (1 − e
e (1 + e
⇒
)
)
=
1−e
1+e
−2x
−2x
lim th(x) = 1
x→+∞
La fonction th étant impaire : lim th(x) = −1
x→−∞
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Graphe de tangente hyperbolique
y
th(x)
1
x
−1
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équations hyperboliques
Équation sh x = a
sh(x) = a
Paris Descartes
⇔
x
a∈R
e −e
−x
= 2a
⇔
2012 — 2013
€ x Š2
x
e
− 2ae − 1 = 0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équations hyperboliques
Équation sh x = a
⇔
sh(x) = a
x
a∈R
e −e
−x
= 2a
⇔
€ x Š2
x
e
− 2ae − 1 = 0
2
L’équation
X − 2aX − 1 = 0 a une seule racine positive :
p
2
a + a + 1.
Æ
€
Š
2
sh(x) = a ⇔ x = ln a + a + 1
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équations hyperboliques
Équation ch x = a
ch(x) = a
Paris Descartes
⇔
x
a≥1
e +e
−x
= 2a
⇔
2012 — 2013
€ x Š2
x
e
− 2ae + 1 = 0
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équations hyperboliques
Équation ch x = a
⇔
ch(x) = a
x
a≥1
e +e
−x
= 2a
⇔
€ x Š2
x
e
− 2ae + 1 = 0
2
L’équation
0 a deux racines positives :
p X − 2aX + 1 = p
2
2
u = a + a − 1 et v = a − a − 1 qui vérifient : uv = 1
Æ
€
Š
2
ch(x) = a ⇔ x = ± ln a + a − 1
Paris Descartes
2012 — 2013
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équations hyperboliques
Équation thx = a
x
th(x) =
e −e
x
e +e
−x
−x
thx = a
Paris Descartes
e
−2x
=
⇔
e
−2x
e
−2x
a ∈] − 1 , 1[
−1
+1
− 1 = a(e
−2x
2012 — 2013
+ 1)
⇔
2x
e
=
1+a
1−a
Mathématiques et calcul 1
Fonctions usuelles
Équations hyperboliques
a ∈] − 1 , 1[
Équation thx = a
x
th(x) =
e −e
x
e +e
−x
−x
thx = a
1+a
1−a
e
−2x
=
e
⇔
−2x
e
−1
+1
−2x
− 1 = a(e
−2x
+ 1)
2x
⇔
e
=
1+a
1−a
>0:
thx = a
Paris Descartes
⇔
x=
1
2
2012 — 2013
ln
€1 + aŠ
1−a
Mathématiques et calcul 1