Fonctions usuelles

Fonctions usuelles
Fonctions usuelles
Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

Fonctions usuelles La fonction logarithme
1Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
La fonction logarithme
La fonction exponentielle
La fonction puissance
La fonction exponentielle de base a
Croissances comparées
2Fonctions trigonométriques réciproques
Fonction Arc sinus
La fonction Arccosinus
La fonction Arctangente
Les équations trogonométriques
3Fonctions hyperboliques
Équations hyperboliques
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Fonctions usuelles La fonction logarithme
La fonction logarithme
Il existe une unique fonction ln : ]0,+∞[7−→ Rtelle que :
∀x>0,ln0(x) = 1
xet ln 1 =0
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Fonctions usuelles La fonction logarithme
Propriétés du logarithme
É∀a,b∈R∗
+,ln(a.b) = ln a+ln b
É∀a∈R∗
+,∀n∈Z,ln(an) = n.ln a
ÉLa fonction logarithme est une bijection continue et
strictement croissante de ]0,+∞[sur R.
Élim
x→0
ln(1+x)
x=1
É∀x>0,ln x≤x−1
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Fonctions usuelles La fonction logarithme
Propriétés du logarithme 1
soit a>0, on pose : f(x) = ln(ax).
Éf0(x) = a
ax =1 x=ln0x
É∀x>0,(f−ln)0(x) = 0
donc : f−ln est constante sur ]0,+∞[
donc : ∀x>0,ln(ax)−ln x=k
ÉPour x=1 : ln a−ln 1 =k
donc : k=ln a
ÉFinalement :
∀x>0,ln(ax)−ln x=ln a
⇒ln(ax) = ln x+ln a
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