Chapitre 3 : division

Chapitre 3 : division
1 Division euclidienne
Effectuer une division euclidienne, c’est trouver deux nombres entiers : le quotient et le reste
Ex : 145 ! 4
25! 36
1!
145 est le dividende
4 est le diviseur
36 est le quotient
1 est le reste
on a : 145 = 4*36 +1 et 1 < 4 (le reste est toujours inférieur au diviseur
Remarque : - on ne peut pas diviser par 0
- Dans une division euclidienne, le quotient est toujours un nombre entier
2 Diviseurs – Multiples
a) Vocabulaire : diviseur, multiple
Définition
Si le reste de la division euclidienne d’un entier a par un entier b est zéro , on dit que :
- a est divisible par b
- ou encore que b est un diviseur de a
- ou encore que a est multiple de b
ex : 120 : 60 = 2
on dit que 120 est divisible par 60 ou encore que 60 est un diviseur de 120 ou encore que 120
est un multiple de 60.
b) Critère de divisibilité par 2,3,5 et 9
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0,2,4,6,8
Ex : 128 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 8
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5
Ex : 255 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
Ex : 456 est divisible par 3 car 4+5+6 = 15 et 15 est divisible par 3
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
Ex : 963 est divisible par 9 car 9+6+3 = 18 et 18 est divisible par 9
3 Division de deux entiers avec un quotient décimal
Ex : Déterminer le quotient de 78 par 24
78
! 24
060 ! 3,25
120 !
0 !
Si l’on veut poursuivre la division après la virgule, on abaisse un zéro qui n’existe pas(en
rouge ci-dessus) et on met une virgule au quotient.
Rappel : Troncature et arrondi à l’unité
La troncature à l’unité d’un nombre décimal est la partie entière de ce nombre
L’arrondi à l’unité d’un nombre décimal est le nombre entier le plus proche de ce nombre
Ex : Déterminer l’arrondi à l’unité et la troncature à l’unité du quotient de 78 par 24
78 : 24 = 3,25
La troncature à l’unité de ce quotient est : 3
L’arrondi à l’unité de ce quotient est 3
4 Division d’un nombre décimal par un entier
Ex : Déterminer le quotient de 78,76 par 22
Première étape : on supprime la virgule du dividende en multipliant le dividende et le
diviseur par 100
On a donc : 78,76 :22 = 7876 : 2200
Deuxième étape :on effectue la division de 7876 : 2200
7876 ! 2200
12760 ! 3,58
17600!
0!
5 Quotient de deux nombres décimaux
a) Définition
Ex :12 *5,2 = 62,4 : 5,2 est le quotient de 62,4 par 12
- b*
= a (b # 0)
ce nombre est le quotient de a par b
il est noté a :b ou
est l’écriture fractionnaire du quotient de a par b
Attention : le quotient de deux nombres décimaux n’est pas toujours un nombre décimal
Ex : 7 :3 n’est pas un nombre décimal
b) Quotients égaux
Propriété
Le quotient de deux nombres ne change pas quand on multiplie (ou bien quand on divise) ces
deux nombres par un même nombre non nul.
Ex : 14 :5 = 28 :10=140 :50
Application
Grâce à cette propriété, on peut transformer la division de deux « nombres à virgules », en
une division de deux nombres entiers.
Ex : 14,5 : 3,28 = 1450 : 328
* 100
* 100
ex : 4,75 : 0,1 = 47,5 : 1 = 47,5
c) Division par 10,100,1000 et par 0,1 ; 0,01 ;0,001
Diviser un nombre par 10, 100, ou 1000 revient à multiplier ce nombre par 0,1 ; 0,01 ; ou
0,001, c’est-à-dire à déplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.
Ex : 45,5 :100 = 45,5 * 0,01 = 0,455
Diviser un nombre par 0,1 ;0,01 ;ou 0,001 revient à multiplier ce nombre par 10,100 ou 1000
c’est-à-dire à déplacer la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite.
Ex : 9,2 : 0,01 = 9,2 * 100 = 920