Par convention, pour a 0, a0 = 1 - Les

COMMENT
CALCULER
INTELLIGEMMEN
T?
CALCULER ? POURQUOI ?
Pour comprendre et aimer les maths…
Le calcul, pour les mathématiques, c’est comme le solfège pour la musique ! Il est
indispensable de savoir calculer pour pouvoir progresser en maths…
Pour apprendre à être sûr de soi…
Quand on calcule, il faut être sûr de soi. Ne vous lancez jamais dans un calcul que
vous ne savez pas faire, car c’est alors que l’on invente des techniques qui ne marchent
pas.
Par exemple, regardez les calculs ci-dessous. Sans les effectuer, cochez les cases
correspondant à ceux dont vous êtes certain de savoir les faire sans calculatrice :
3
2
2
23
4
a)
b) 3  (654)  (51)
c)
d) 3 2
1
1
1
3
5
 3
 2
e) 3    
f)
g ) 234  2491
h) 100  16


3
7


 3


A présent, effectuez sans calculatrice les calculs correspondant aux cases qui ont été
cochées.
Vérifiez vos réponses :
a) 69
b) 606
c) 
25
24
d ) 11  6 2
e) 
6
7
f ) 3
g ) 2525
h) 40
Ce qui compte, ce n’est pas d’avoir coché un maximum de cases, c’est d’avoir su faire
les calculs correspondant aux cases qui ont été cochées. Si vous avez autant de
résultats justes que de cases cochées, c’est que vous avez du recul sur ce que vous
faites : c’est bon signe !
L’objectif de ce document est de vous apprendre à calculer intelligemment. C’est-àdire à prendre du recul sur les calculs, à savoir identifier les principales situations et ne
pas se lancer à l’aveuglette.
1
CERNER LE CALCUL AVANT DE L’EFFECTUER
Règles de priorité
Un calcul ne s’effectue pas de gauche à droite et de haut en bas.
Dans le calcul d’une expression, l’ordre de priorité suivant doit être respecté :




D’abord les parenthèses et les crochets
Puis les puissances
Puis les multiplications et divisions
Enfin les additions et soustractions
Certaines notations remplacent les parenthèses, sans qu’il y ait d’ambiguïté :
 2
 Les traits de fraction : par exemple,
signifie ( + 2)/3, et non pas
3
 + 2/3
 On oublie
 Les racines carrées, horizontalement et verticalement : par exemple,
facilement de rajouter
5  x signifie (5  x) et non pas 5  x
ces parenthèses sur la
calculatrice !
25
 25 
signifie   et non pas
9
 9 
25
9
Exercice 1 : Retrouver les résultats suivants de tête (sans calculatrice, bien sûr !)
3 6  4  2
16
16
2  3  7  5  18
2
2
1
11  3  2
4
4
Exercice 2 : Retrouver les résultats suivants à l’aide de la calculatrice, en un seul calcul :
1
1
2
 Ne pas oublier de rajouter les
4 3
2
1
0
parenthèses nécessaires !
1
1
1 2
4
2
Identifier une somme, une différence, un produit, un quotient…
 a + b est la somme des termes a et b
 a – b est la différence des termes a et b
a
 est le quotient du numérateur a par
b
 a  b est le produit des facteurs a et b
le dénominateur b
Exemple :
L’expression
x5
est écrite sous la forme d’un quotient
3  5²
( b  0)
Exercice 3 : Déterminer la nature (somme, différence, etc…) des expressions suivantes :
2
x2
3
(8x + 2)(2 – 3x)
(3 – 5y) –
(x – 4)2
3
5
2
Repérer les nombres cachés
Les égalités suivantes sont évidentes, mais peuvent s’avérer extrêmement utiles pour de
nombreux calculs :
x
x=x+0
x=
– x = (– 1)  x
1
x=1x
x = x1
Exemples d’utilisation (tous ces exemples sont repris dans les chapitres correspondants):
3
3
3 7 21
 Calcul de fractions :
 1   
2
2
1 2 2
7
7
 Factorisation : 2x + 2 = 2  x + 2  1 = 2  (x + 1)
 La fonction f qui, à x, associe f(x) = x, est une fonction affine du type f(x) = ax + b,
avec a = 1 et b = 0, car f(x) = x = 1  x + 0.
Exercice 4 : En vous aidant des exemples ci-dessus :
factoriser l’expression 3x – 3
Calculer
5
4
3
Reconnaître un opposé, un inverse
L’opposé de a est – a
Si b0, l’inverse de b est
L’opposé de a – b est – (a – b), ou – a + b, ou b – a
Si b0, l’inverse de
1
b
a
b
est
b
a
L’opposé de a + b est – (a + b), ou – a – b
On a aussi, grâce à la règle des signes :
– (a  b) = (– a)  b = a  (– b)
a a a
a a


Si b0,  
, et
b b b
b b
Exercice 5 : Déterminer les opposés et les inverses des réels suivants (on supposera que les
dénominateurs ne sont pas nuls) :
1
1
–9
6
–3
2x + 3
x–2
2
3
x
Exercice 6 : Quel est l’opposé de : – 2x + 3y – 3z + 8 ?
3


Exercice 7 : Le calcul suivant est très simple :   6 
1
Voyez-vous le résultat ?
 6
Ne pas se laisser impressionner par la taille de l’expression
Un énorme calcul peut parfois être très simple. Voici un exemple fréquemment rencontré :

L’équation ax = 0, avec a0
Par exemple, l’équation 2x = 0 a pour solution x = 0 (et non pas x = -2 !)
Retenons simplement que l’équation ax = 0 (avec a0) a pour solution x = 0.
Une fois que l’on a bien compris ce résultat simple, les équations suivantes deviennent
très faciles à résoudre, sans aucun calcul :
x   1
2 3
x
x=0
=0
=0
42
7
0, 002
En, effet chacune a pour solution x = 0, puisqu’elles sont toutes de la forme ax = 0,
avec comme valeurs respectives de a :
2 3
1
 1
42
7
0, 002
4
FRACTIONS

Attention ! Une fraction
exemple, la fraction
a
n’a de sens que si b  0. On ne peut pas diviser par 0. Par
b
3
n’existe pas.
0
Les cas particuliers importants :



0
0
 0,
0
27
2 x²  3
27
3 x
par exemple :
 27,
 3 x
Le dénominateur vaut 1 :
1
1
a
32
1
Le numérateur est égal au dénominateur :  1 par exemple :
a
32
Le numérateur est nul :
0
0
a
a
a
1
par exemple :
Simplification :
Si b  0 et c  0, on a
ac a

bc b
2x  6 2x  6

 x6
2
2
En effet, on ne peut pas simplifier ainsi par 2 car 2 n’est pas en facteur dans tout le
2 x  6 2( x  3) 2( x  3)
numérateur. Le calcul exact est :


 x 3
2
2
2
Simplifier ne signifie pas « barrer ce qui est pareil en haut et en bas », mais « barrer ce
qui est en facteur en haut et en bas » !
 Attention ! Le calcul suivant est faux :
Exercice 8 : Simplifier au mieux les fractions suivantes (les dénominateurs sont non nuls) :
17
1,17
2
2x
x2
4x  8
5x  7
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
1411
4,5
0, 4
x²
x
12
5
Comparaison :
Pour comparer deux fractions, on peut chercher une valeur approchée ou réduire au même
dénominateur.
Exercice 9 : Comparer les fractions ou les réels suivants :
2
3
2
3
2
3
1
a) 
et
b)
et
c) 
et 
d) 
et 0, 4
5
9
5
9
5
9
3
Somme et différence :
Avant d’ajouter (ou soustraire) des fractions, on les réduit au même dénominateur.

Attention ! Le plus petit dénominateur commun n’est pas forcément le produit des
dénominateurs.
5
Ici, on n’effectue surtout pas le produit 812 !
Exemples :
Pour trouver 24, on décompose chaque
1 2
3 8
11
dénominateur au maximum, puis on écrit le




4 3
12 12
12
premier, et on complète avec les facteurs du
4 1
8 1
9
1
deuxième
qui ne sont pas écrits dans le premier :





12
9 18
18 18
18
2 = 322 8 = 222 24 = 3222
5 3
10 9
19




12 8
24 24
24
Plus difficile, mais très important :
1
1
x
1 x
x 1 x
1





1 x x
x(1  x) x(1  x)
x(1  x)
x(1  x)
 Attention ! Un piège terrible : le signe
moins devant une fraction
Pour supprimer un moins devant une fraction, on change tous les signes du numérateur.
2 x 5
4 x 5
4  ( x  5)
4 x5
9 x





Exemple : 
3
6
6
6
6
6
6
Produit :
Pour multiplier des fractions :
- On commence par déterminer le signe du résultat grâce à la règle des signes
- Puis on cherche à simplifier au maximum
- Puis on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux
9 4
1 1
1




Exemples :
(on a simplifié le 9 avec le 27 et le 4 avec le 8)
8 27
2 3
6
x2
3 x2
3( x  2)
3x  6
3




8
1
8
8
8
Quotient :
Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse.
Exemples :
3
3 5
15
4



2
4 2
8
5
2
3
x
2
3
x

2
1
3
x

2 x

1 3

2x
3

2
3
x
1

2 1

3 x

2
3x
6
Exercice 10 : Calculer sans calculatrice (les dénominateurs sont supposés non nuls) :
5 1 3
2 1 1
7 3
a)
 
b) 1   
c)

14 21 7
5 5 x x²
15 5
d) 
g)
j)
m)
5 3 1
 
14 8 7
15 17 9 6
  
34 27 5 7
5
25

3
1
1
5
3 2

2 5
e)
2 5 3
 
17 34 4
5 12  11 
h)      
4 25  3 
k)
n)
6
5
3
f)
i)
19 7 4
   25
28 38 5
5  9  3 2
   
4  10  4 5
9
7
14
9

l)
5 3 2
 
8 4 3
7
2
7
1
o) 1 
1
1
1
1
2
PUISSANCES
Définition
Soit a un réel et n un entier naturel non nul, an = a  a  ...  a
n fois
Par convention, pour a  0,
a0 = 1
00 n’a aucun sens
1
a-n = n (a-n est l’inverse de an)
a
1
En particulier, a-1 =
a
Si a  0,
a2  a
1
 Attention ! Il ne faut pas confondre – xn et (– x)n
Par exemple, – 3² = – 33 = – 9, (la puissance est prioritaire sur le signe moins)
tandis que (– 3)² = (– 3)  ( – 3) = 9
Exercice 11 : Calculer au mieux :
– 22 ; (– 2)2 ; – 23 ; (– 2)3 ; 50 ; 3-2 ; (– 3)-2 ; – 30 ; (– 3)0 ;151
100 = 1
Les puissances de 10 :
101 = 10
10-1 = 0,1
102 = 100
10-2 = 0,01
103 = 1000
10-3 = 0,001
etc…
etc…
Propriétés
Les formules suivantes permettent de multiplier ou diviser des puissances (il n’y a pas de
formule pour additionner ou soustraire des puissances). a et b sont des réels non nuls, n et p
des entiers :
 Quand le nombre a est le même :
a ×a p = a×a×...×a×a×a×...×a = a n+p
n
n fois
p fois
n fois
a
a  a  ...  a

= a n-p
p
a
a  ...  a
n
p fois
 Quand la puissance n est la même :
a  b n = a  a  ...  a  b  b  ...  b = (a  b)  (a  b)  ...  (a  b) = (a  b)n
n
n fois
n fois
n fois
n fois
a
a  a  ...  a
a a
a a
=
=   ...  =  
n
b
b  b  ...  b
b b
b b
n
n fois
n
n fois
8

a 
n p
Puissance de puissance :
= a n  a n  ...  a n = a  a  ...  a  a  a  ...  a  ...  a  a  ...  a = a np
p fois
n fois
n fois
n fois
p fois
 Attention ! Il ne faut pas confondre  a 
b c
 
Par exemple, 23
2
et a b
c
3 
 232  26  64 tandis que 23  2
2
2
 29  512
Exercice 12 : Mettre sous la forme d’une puissance ou d’un nombre, sans calculatrice :
34  35
43  4
76  7-225  35
62  6-1
11-2  11-2
72  112
93  9-51-2  1-3
33  53
24
23
35
3
75
78
7
5
3
   
3
5
8
63
6 1
103
10   10 
2 5
3 4
9
8a 4 b 2
(2ab)3
2 
8 6
 228
220
 4   25
2
 4  5
5
RACINES CARREES
Définition
La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif, noté
9 3
0 0
1 1
Exemples :
Il faut connaître les premiers carrés parfaits :
0
1
4
9
16
25
36
a , dont le carré est a.
2 1, 4142...
49
64
81
100
121
144
 Attention ! Plusieurs pièges classiques à éviter :
 Le nombre 16 a une seule racine carrée (c’est 4), mais il y a deux nombres dont le carré
est 16 : ce sont 4 et –4 .

2 n’existe pas mais – 2 existe.

Il ne faut pas confondre
 a
2
et a 2 : on a
a 2 n’est pas forcément égal à a. Par exemple,
que
 Attention à bien prolonger les traits du symbole
 a
2
 3
 a (d’après la définition), tandis
2
 9 3
, horizontalement et verticalement, de
façon à ce qu’il n’y ait aucune ambiguïté. Par exemple, ne jamais écrire
s’il s’agit de x  5 ou de x  5 .
x  5 . On ne sait pas

2 est un nombre comme les autres. 1,4142 n’en est qu’une valeur approchée, ce n’est
pas la valeur exacte. Dans les calculs, on doit toujours utiliser la valeur exacte, qui est 2 , et
non une valeur approchée.
L’équation x2=A



Si A < 0, l’équation n’a pas de solution car un carré n’est jamais négatif.
Si A = 0, l’équation a une unique solution : 0
Si A > 0, l’équation a deux solutions : A et  A
 Attention ! On oublie
toujours cette deuxième
solution !
Exercice 13 : Résoudre les équations suivantes :
x2 = 0
x2 = 64
x2 = 3
10
x2 = –3
2x2 = 8
Propriétés
Pour tous nombres positifs a et b :
 Attention !
a
a

b
b
ab  a  b
ab  a  b
si b  0
a b  a  b
Par exemple, x2  16 n’est pas égal à x + 4
Exemples d’applications :
45  9  5  9  5  3 5

Simplifier une racine carrée :

Enlever la racine d’un dénominateur :

Réduire une somme :
9 2  3 2  8  9 2  3 2  4  2  9 2  3 2  2 2  (9  3  2) 2  10 2
2
2 3
6


3
3
3 3
Exercice 14 : Simplifier au mieux :
25
16
80  245
700
147  56  2 12  3 14
7 20
3 5
3 3  300  2 75
Exercice 15 : Rendre les dénominateurs entiers, et simplifier les résultats au maximum :
1
2
3 2
5
1
3
5
7
1
2 3
33
11
11
3
3
IDENTITES REMARQUABLES
Ce qu’elles ont surtout de remarquable, c’est que beaucoup d’élèves ne les aiment pas. Il est
indispensable de les connaître ABSOLUMENT PAR CŒUR !!! sans la moindre hésitation.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
En effet, en développant, on trouve (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2
Exercice 16 : Démontrer de même les deux autres identités.
Exemples d’applications : (Chaque exemple est important, regardez-les en détail)


Développer ou factoriser des expressions :
(x + 5)2 = x2 + 10x + 25
(2x – 7)2 = (2x)2 – 28x + 49 = 4x2 – 28x + 49
x2 – 16 = x2 – 42 = (x + 4)(x – 4)
4x2 – 81y2 = (2x)2 – (9y)2 = (2x + 9y)(2x – 9y)
2  3  2  4 3   3  4  4 3  3  7  4 3
 3  7    3   2 3 7   7   3  2 21  7  10  2
 2  3 2  3   2   3  2  9   7
2
2
2
2
2
2
21
2
Rendre des dénominateurs entiers :
Souvent, on multiplie en haut et en bas par la quantité conjuguée du dénominateur.
c’est la quantité qui permet d’utiliser la troisième identité remarquable, comme dans
l’exemple ci-dessous :
3

2 5

Ici, il faut bien penser à
(2x)2 = 4x2, et ne pas écrire 2x2
Avec des racines carrées :
2

Et non pas x2 + 25 !
3


2 5
2 5


2 5


3

2 5
2  25
  15  3
2
23
Quand on ne sait pas trop quelle identité choisir :
(–x + 3)2 = (–x)2 + 2(–x)3 + 32 = x2 – 6x + 9
(on utilise la première identité)
On peut aussi utiliser cette autre méthode :
(–x + 3)2 = (3 – x)2 = 9 – 6x + x2
(cette fois-ci, on a utilisé la deuxième identité)
(–2x – 5)2 = ( (–2x) + (–5) )2 = (–2x)2 + 2(–2x)( –5) + (–5)2 = 4x2 + 20x + 25
(on a utilisé la première identité, mais on aurait pu utiliser la deuxième : ( (–2x) – 5) )2
4x2 + 9 Ici… on ne peut rien faire ! Ce n’est pas une identité remarquable.
En revanche, –4x2 + 9 en est une (la troisième). Eh oui, car –4x2 + 9 = 9 – 4x2 …
12
Exercice 17 : Calculer à l’aide des identités remarquables, lorsque c’est possible :
(2x + 1)
(1 – 3x)
(2x – 4)(2x + 4)
x2 + 16
(–3 – 2y)2
7  7 
–x2 + 16

2
2
2 3

2
2
x2 + 4x + 4
1

x  
3

2
100 – 49x2
81x2 – 36x + 4
Exercice 18 : Rendre les dénominateurs entiers en utilisant la quantité conjuguée :
1
5
10
5
2 1

2 1
2 3 2
3 1
3 1
1 2
Exercice 19 : Le nombre d’or, noté  (prononcer phi), est le nombre  =
1 5
.
2
Calculer 2 puis calculer + 1. Que constatez-vous ?
Exercice 20 : Trouver de nouvelles identités remarquables pour (a + b + c)2, pour (a + b)3 et
pour (a – b)3
13
DEVELOPPEMENTS, FACTORISATIONS
Développons
Développer, c’est transformer, si possible, les produits en sommes.
Remarque : après avoir développé, il faut toujours penser à réduire et ordonner.
Formules pour développer :
Produit
Somme
k(a + b)
=
(a + b)(c + d) =
ka + kb
ac + ad + bc + bd
(a + b)2
=
(a – b)2
=
(a + b)(a – b) =
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
a2 – b2
 Attention ! Le moins devant la parenthèse !
Exemple : 3 – (x + 5)
Il faut savoir qu’il s’agit en fait d’une multiplication par –1 .
3 + (–1)(x + 5) = 3 + (–x) + (–5) = 3 – x – 5
Moralité : on enlève le signe – qui est devant la parenthèse et on change tous les signes à
l’intérieur de la parenthèse. Dans l’exemple, le x (qui est +x) devient –x et le +5 devient –5.
 Attention ! En développant, on peut être amené à rajouter des parenthèses.
Exemple : 2(x + 3)(x – 1) = (2x + 6)(x – 1) = … et non pas 2x + 6(x – 1) (car la
multiplication est prioritaire sur l’addition)
Exercice 21 : Développer les expressions suivantes (penser à simplifier au maximum):
4
2
 3x  12   7  x  3 
5
3

B    3x  4   x  5 
D  7  x  2    x  7  2 x  3
E   x 2  5   x  5
A
G   x 2  4   x  2  x  2 
2
2
1 5

H  2  x   
2 2

2
C   2 x  4  2 x  4 
F   2 x  3  3  x  2  4 x  7 
2
I   x  1
Exercice 22 : Calculer, puis simplifier au mieux :
x  3 2x 1
A

x 1 x  1
x2 1 2 x  4
C

x  2 x 1
5
4
B

2 x  6 3x  9
14
3
Factorisons
Factoriser, c’est transformer les sommes en produits.
Formules pour factoriser :
Somme
Produit
ka + kb + kc + …
=
k(a+b+c...)
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
a2 – b2
=
=
=
(a + b)2
(a – b)2
(a + b)(a – b)
Exemples :

Le cas facile : quand il y a un facteur commun
7x + 21 = 7x + 73 = 7(x + 3)
(x – 2)(2x + 1) + (x – 2)(x + 4) = (x – 2)[(2x + 1) + (x + 4)] = (x – 2)(3x + 5)
4x2 – x = 4xx – 1x = x(4x – 1)
8x2y + 6xy + 4xy3 = 2xy(4x + 3 + 2y2)

Quand il y a "presque" un facteur commun
Dans l’exemple ci-dessous, on a les facteurs (5x – 2) et (2 – 5x). Ces facteurs sont opposés
l’un de l’autre. On peut remplacer l’un des facteurs par son opposé à condition de changer le
signe qui est devant le produit :
(x + 3)(2 – 5x) + (1 – 4x)(5x – 2)

(x + 3)(2 – 5x) – (1 – 4x)(– 5x + 2)
(x + 3)(2 – 5x) – (1 – 4x)(2 – 5x)
(2 – 5x)[(x + 3) – (1 – 4x)]
(2 – 5x)(x + 3 –1 + 4x)
(2 – 5x)(5x + 2)
Ici, bien penser à
changer tous les signes
Quand il n’y a pas de facteur commun
dans la parenthèse !
=
=
=
=
=
Alors, c’est qu’il s’agit certainement d’une identité remarquable !
16x2 + 24x + 9 = (4x + 3)2
(3x + 4)2 – 9 = (3x + 4)2 – 32 = (3x + 4 + 3)(3x + 4 – 3) = (3x + 7)(3x + 1)
Exercice 23 : Factorisations faciles :
A = 9a + 18
B = 7x – 7y
C = 2a + ax
E = i – i2
F = 6x – 18y + 12
G = (3x – 2)(4x + 5) – 5(3x – 2)
H = (a + 1)(a – 3) + (a + 1)2
D = 4x2 – x
I = (x + 3)(5x + 2) – (x + 3)(2x – 1)
15
Exercice 24 : Factorisations un tout petit peu plus dures :
A = 19x3y – 38xy4
B = x(x – 1) – (x – 1)(x + 2)x
C = (x – 1)2 – (2x + 1)2
D = 4x2 – 3
E = x2 + 2x + 1
F = 3x2 – 3
G = 32x2 – 48x + 18
H = (2x + 3)2 – 16(x – 2)2
I = (x – 1)(2x + 3) – (5x – 5)(2x + 1)
J = 3(x – 2)(x + 1) – x2 + 4
K = (x – 1)(2x + 1) – (1 – x)(x + 7)
L = (x – 1)(2x + 3) + (5 – 5x)(2x + 1)
M = 4x2 – (9 – 6x)(x + 1) – 9 + (2x – 3)(x – 1)
N = (2 – 3x)(3 – x) – x2 + 6x – 9
2
2

O =  x     9x  6  2x  2 
3

16
EQUATIONS ET INEQUATIONS
Equations
Pour résoudre une équation, on utilise les règles suivantes :
Règle 1 : On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une égalité.
Si a = b, alors a + c = b + c et a – c = b – c
Règle 2 : On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une égalité par un même réel non
nul.
a b
Si a = b et si c  0, alors ac = bc et =
c c
a c
Règle 3 (produit en croix) : Si b  0 et d  0, on a = si et seulement si ad = bc.
b d
Règle 4 (produit nul) : ab = 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0
Un produit est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul.
2
Règle 5 : a = b2 si et seulement si a = b ou a = –b
Exemples :



3x + 7 = 9
3x + 7 – 7 = 9 – 7
3x = 2
3x 2

3 3
2
x=
3
Règle 1 : on retranche 7 de chaque côté
Règle 2 : on divise par 3
x 1 3  x

2
6
2(3 – x) = 6(x + 1)
6 – 2x = 6x + 6
6 – 2x – 6x = 6x + 6 – 6x
6 – 8x = 6
6 – 8x – 6 = 6 – 6
–8x = 0
8 x 0

8 8
x=0
(2x + 1)(3 – x) = 0
2x + 1 = 0
2x + 1 – 1 = 0 – 1
2x = –1
1
x= 
2
Règle 3 : produit en croix
Règle 1 : on retranche 6x
Règle 1 : on retranche 6
Ici, on est dans le cas de
l’équation ax = 0. cf p.4
Règle 2 : on divise par –8
ou
ou
ou
3–x=0
3–x+x=0+x
3=x
ou
x=3
17
Règle 4 : produit nul
Il est parfois pratique de regrouper
les x à droite et non à gauche.
Sinon, cela aurait donné :
3–x–3=0–3
Règle 1
–x = –3
(–1)( –x) = (–1)( –3) Règle 2
x=3
Exercice 25 : Equations faciles :
x+5=3
4x = 0
x + 12 = 0
–2x = 5
–2x – 30 = 20
2x +  = 5 
x 1 x
 
3 2 6
(x – 1)( –2x – 3) = 0
4 5x  2 
x
 15 x  1
2

x  4 x 1

 2 x
5
2
2x = 12
–8x = 16
3x 9
 
7 14
7 x
  2
3 9

–2x – 7 = 4x + 3
5x = –8
3x – 15 = 0
1 x 5
  
4 2 2
x 2 2
x
 30
3
Exercice 26 : Equations un tout petit peu plus difficiles…
(x + 1)(3x + 1) = 1
(x – 1)(x – 2) = (x – 1)( –3x + 7)
x = x(x – 1)
x2 = –4
(1 – 2x)2 = 9
1
x
x
2
5

0
x  3 2x  6
3(x – 2)(2x + 1)(x + 2) = 0
(x – 1)(x – 2) = (x – 3)(x – 4)
x2 – 2x + 1 = 0
x2 = 4
(x – 2)2 = (3x – 5)2
x 5 x 3

x  2 x 1
2x 1 2x  3

x 1
x2
Inéquations
Pour résoudre une inéquation, on utilise les règles suivantes :
Règle 1 : on peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité
Si a < b, alors a + c < b + c
Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un même nombre
non nul, à condition de changer le sens de l’inégalité si ce nombre est négatif !
a b
Si a < b et c > 0, alors ac < bc
Si a < b et c > 0, alors 
c c
a b
Si a < b et c < 0, alors ac > bc
Si a < b et c < 0, alors 
c c
Exemples :
2x – 7  5
2x – 7 + 7  5 + 7
2x  12
2 x 12

2
2
x6
Règle 1 : on ajoute 7
Règle 2 : on divise par 2, qui est positif, donc on ne change pas le signe
18
2 – 3x > 5x + 1
2 – 3x – 2 > 5x + 1 – 2
Règle 1 : on retranche 2.
–3x > 5x – 1
–3x – 5x > 5x – 1 – 5x
Règle 1 : on retranche 5x
–8x > –1
8 x 1

Règle 2 : on divise par –8, qui est négatif, donc on change le signe
8 8
1
x<
8
Exercice 27 :
Résoudre les inéquations suivantes :
3x  5  9
2  5 x  2
 3x  0
9 x  8  5x  2
2( x  11)  5( x  8)
3x 
2( x  7)  2 x  3
x  2 2x 1
1

 2x 
3
5
3
4  x 5x

2
3
2x 1 x
 0
3
6
19
4  2x  1
x( x  1)  x 2  3
1
7x 3
( x  3) 

6
8 4