Par convention, pour a 0, a0 = 1 - Les

COMMENT
CALCULER
INTELLIGEMMEN
T ?

1
CALCULER ? POURQUOI ?
Pour comprendre et aimer les maths…
Le calcul, pour les mathématiques, c’est comme le solfège pour la musique ! Il est
indispensable de savoir calculer pour pouvoir progresser en maths…
Pour apprendre à être sûr de soi…
Quand on calcule, il faut être sûr de soi. Ne vous lancez jamais dans un calcul que
vous ne savez pas faire, car c’est alors que l’on invente des techniques qui ne marchent
pas.
Par exemple, regardez les calculs ci-dessous. Sans les effectuer, cochez les cases
correspondant à ceux dont vous êtes certain de savoir les faire sans calculatrice :
2
34 491
32
23 4
) ) 3 ( 654) ( 51) ) ) 3 2
11
1
35
23
) 3 ) ) 2 2 ) 100 16
3
73
a b c d
e f g h
A présent, effectuez sans calculatrice les calculs correspondant aux cases qui ont été
cochées.
Vérifiez vos réponses :
525
25 6
) 69 ) 606 ) )11 6 2 ) ) 3 ) 2 ) 40
24 7
a b c d e f g h
Ce qui compte, ce n’est pas d’avoir coché un maximum de cases, c’est d’avoir su faire
les calculs correspondant aux cases qui ont été cochées. Si vous avez autant de
résultats justes que de cases cochées, c’est que vous avez du recul sur ce que vous
faites : c’est bon signe !
L’objectif de ce document est de vous apprendre à calculer intelligemment. C’est-à-
dire à prendre du recul sur les calculs, à savoir identifier les principales situations et ne
pas se lancer à l’aveuglette.

2
CERNER LE CALCUL AVANT DE L’EFFECTUER
Règles de priorité
Un calcul ne s’effectue pas de gauche à droite et de haut en bas.
Dans le calcul d’une expression, l’ordre de priorité suivant doit être respecté :
 D’abord les parenthèses et les crochets
 Puis les puissances
 Puis les multiplications et divisions
 Enfin les additions et soustractions
Certaines notations remplacent les parenthèses, sans qu’il y ait d’ambiguïté :
 Les traits de fraction : par exemple,
2
3
signifie ( + 2)/3, et non pas
+ 2/3
 Les racines carrées, horizontalement et verticalement : par exemple,
5 signifie (5 ) et non pas 5
25 25 25
signifie et non pas
9 9 9
x x x  
Exercice 1 : Retrouver les résultats suivants de tête (sans calculatrice, bien sûr !)
3 6 4 2 16 16
2 3 7 5 18 2 2 1
11 3 2 4 4
Exercice 2 : Retrouver les résultats suivants à l’aide de la calculatrice, en un seul calcul :
1
124
2
1 0 3
11
1242
Identifier une somme, une différence, un produit, un quotient…
 a + b est la somme des termes a et b  a – b est la différence des termes a et b
 a  b est le produit des facteurs a et b 
a
b
est le quotient du numérateur a par
le dénominateur b ( b  0)
Exemple : L’expression
5
3 5²
x
est écrite sous la forme d’un quotient
Exercice 3 : Déterminer la nature (somme, différence, etc…) des expressions suivantes :
(8x + 2)(2 – 3x) (3 – 5y) –
2
3
2
35
x
(x – 4)2
 On oublie
facilement de rajouter
ces parenthèses sur la
calculatrice !
 Ne pas oublier de rajouter les
parenthèses nécessaires !

3
Repérer les nombres cachés
Les égalités suivantes sont évidentes, mais peuvent s’avérer extrêmement utiles pour de
nombreux calculs :
x = x + 0 x =
1
x
– x = (– 1)  x
x = 1  x x = x1
Exemples d’utilisation (tous ces exemples sont repris dans les chapitres correspondants):
 Calcul de fractions :
3 3 7 21
22
1 2 2
77
3
1
 Factorisation : 2x + 2 = 2  x + 2  1 = 2  (x + 1)
 La fonction f qui, à x, associe f(x) = x, est une fonction affine du type f(x) = ax + b,
avec a = 1 et b = 0, car f(x) = x = 1  x + 0.
Exercice 4 : En vous aidant des exemples ci-dessus :
factoriser l’expression 3x – 3 Calculer
5
4
3
Reconnaître un opposé, un inverse
L’opposé de a est – a Si b0, l’inverse de b est
1
b
L’opposé de a – b est – (a – b), ou – a + b, ou b – a Si b0, l’inverse de
a
b
est
b
a
L’opposé de a + b est – (a + b), ou – a – b
On a aussi, grâce à la règle des signes :
– (a  b) = (– a)  b = a  (– b)
Si b0,
a a a
b b b
, et
aa
bb
Exercice 5 : Déterminer les opposés et les inverses des réels suivants (on supposera que les
dénominateurs ne sont pas nuls) :
–9 6
1
3
1
x
– 3 2x + 3 x – 2
2
Exercice 6 : Quel est l’opposé de : – 2x + 3y – 3z + 8 ?

4
Exercice 7 : Le calcul suivant est très simple :
1
66
Voyez-vous le résultat ?
Ne pas se laisser impressionner par la taille de l’expression
Un énorme calcul peut parfois être très simple. Voici un exemple fréquemment rencontré :
 L’équation ax = 0, avec a0
Par exemple, l’équation 2x = 0 a pour solution x = 0 (et non pas x = -2 !)
Retenons simplement que l’équation ax = 0 (avec a0) a pour solution x = 0.
Une fois que l’on a bien compris ce résultat simple, les équations suivantes deviennent
très faciles à résoudre, sans aucun calcul :
23
7
x = 0
42
x
= 0
1
0,002
x
= 0
En, effet chacune a pour solution x = 0, puisqu’elles sont toutes de la forme ax = 0,
avec comme valeurs respectives de a :
23
7
1
42
1
0,002