C1 – Angles orientés et éléments de trigonométrie I Retour sur le
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C1 – Angles orientés et éléments de trigonométrie O BJECTIFS DU CHAPITRE C1-1 Connaitre la notion de mesure principale et de mesures d’un angle orienté C1-2 Utiliser les propriétés des angles orientés (relation de Chasles, caractérisation de la colinéarité par les angles...) C1-3 Connaître la définition du cosinus et du sinus d’un angle orienté, connaître les lignes trigonométriques des angles associés. C1-4 Pour tout point du plan repéré, écrire un couple de coordonnées polaires connaissant les coordonnées cartesienne et réciproquement. C1-5 Connaître et mettre en œuvre les relations trigonométriques usuelles (formules d’addition, de duplication) I Retour sur le cercle trigonométrique et l’enroulement de R autour du cercle A Une nouvelle unité de mesure d’angle : le radian On considère un cercle de centre O et de rayon 1. Le cercle a pour longueur 2π. M Définition. Un angle au centre de mesure 1 radian intercepte un arc de longueur 1. 1 1 rad Ainsi, un angle de π radians intercepte un arc de longueur π ; cet angle mesure aussi I 1 180˚. On a donc O π rad = 180˚ Conversion radian-degré. On a le tableau de proportionnalité suivant π × 180 Mesure de l’angle en degrés 180 α β × 180 π Mesure de l’angle en radians π α×π 180 β × 180 π Quelques mesures d’angles remarquables Mesure de l’angle en degrés Mesure de l’angle en radians 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 120˚ 180˚ 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 π Définition. Il existe deux sens de parcours sur un cercle. Par convention, on appelle sens direct le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre. B Cercle trigonométrique O On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1, orienté dans le sens direct. C Enroulement de R autour du cercle trigonométrique M x On considère le cercle trigonométrique C, I un point du cercle trigonométrique et la droite D tangente en I à C. On considère le point J tel que le repère −→ −→ −→ (O; OI, OJ ) soit orthonormé. On muni la droite D d’un repère (I; OJ ). • Soit x un nombre réel et M le point de D d’abscisse x. En enroulant la droite D autour du cercle C, on fait coïncider M avec un unique point m du cercle. • Deux points de D dont les abcisses sont distantes de 2π coïncident avec le même point du cercle, car 2π est la longueur d’un tour complet. Plus précisément, si un point M d’abscisse x coïncide avec le point m sur le cercle, alors tous les points de la droite d’abscisse J m 1 K I O C −1 L x + 2kπ où k est un entier relatif D viennent coïncider avec ce point m. Lycée Les Pannevelles – 1S1 Page 1 FBoure - Année 2009/2010 Quelques positions clés sur le cercle trigonométrique Sur le cercle trigonométrique, on a noté, pour chaque réel x « particulier » de l’intervalle ] − π; π], le point m du cercle qui vient coïncider avec M d’abscisse x : π 2 3π 4 π 3 π 4 5π 6 π π 2 2π 3 O π 0 π 6 − 5π 6 0 O − π6 − 3π 4 − π4 − 2π 3 − π2 − π3 − π2 II Mesures d’un angle orienté de vecteurs A Angle orienté de deux vecteurs Définition (Notion d’angle orienté de vecteurs). → → Soient − u et − v deux vecteurs non nuls. On considère un point O et −→ → −−→ − u et OB = → v . On appelle angle A, B deux points tels que OA = − − → − → − → − → \ orienté u , v et on note ( u ; v ) la donnée du couple de vecteurs → → (− u;− v ). − → v − → u A − → u O → → Remarques. ? On notera plus simplement, sans chapeau, (− u;− v) − → − → \ l’angle orienté ( u , ; v ) → → ? Par définition, l’angle orienté (− u;− v ) est égal à l’angle orienté −→ −−→ (OA; OB). − → v B B Mesure d’un angle orienté de vecteurs Le but de ce paragraphe est de définir la notion de mesure d’un angle orienté. Pour cela, on considère le cercle trigonométrique C de centre O que l’on munit d’un point origine I. − → u − → v → → Etant donnés deux vecteurs non nuls − u et − v , on considère les points M et N tels que −−→ − OM = → u et O −−→ − ON = → v. La demi-droite [OM ) (resp. la demi-droite [OM )) coupe alors le cercle C en M1 (resp. N1 ). M1 − → u M x I x=m−n − → v N N1 Nous avons vu précédemment qu’à tout point du cercle trigonométrique, on peut associer une famille de nombre réels, réels distants d’un multiple de 2π. Ainsi, par cette association, il existe deux réels m, n tels qu’au point M1 , on associe les réels m + 2kπ et au point N1 , on associe les réels n + 2lπ : M1 : m + 2kπ N1 : n + 2lπ k, l balayent Z. La différence x=m−n −−→ −−→ est une mesure en radians de l’angle orienté (OM , ON ). Remarquez que m − n + 2π est aussi une mesure en radian de ce même angle orienté, plus généralement, les nombres m − n + 2kπ où k balaye l’ensemble Z −−→ −−→ sont des mesures de l’angle orienté (OM , ON ) et toutes ses mesures s’écrivent sous cette forme. Lycée Les Pannevelles – 1S1 Page 2 FBoure - Année 2009/2010 ' Définition (Mesures en radians d’un angle orienté de vecteurs.). $ → → Etant donnés deux vecteurs non nuls − u et − v , on considère les points M et N tels que −−→ − OM = → u et −−→ − ON = → v. − → u − → v Par le procédé décrit précédemment, au point M , on associe un réel m et au point N , on associe un réel n. → → On appelle mesure en radian de l’angle orienté (− u ;− v ) tout réel de la famille de nombres m − n + 2kπ O où k ∈ Z. x − → v On note alors N −−→ −−→ → → (− u;− v ) = (OM , ON ) = m − n + 2kπ m − → u M I x= m−n n (k ∈ Z) Parmi toutes ces mesures m − n + 2kπ, il y en a une et une seule comprise dans l’intervalle I =] − π; π]. Cette mesure est appelée −−→ −−→ mesure principale de l’angle orienté (OM ; ON ) & % −−→ −−→ Remarques. ? La mesure principale de l’angle orienté (OM ; ON ) est égale à la longueur du petit arc M N affecté du signe + (resp. du signe −) si le plus court chemin pour se rendre du point M au point N se parcourt dans le sens direct (resp. dans le sens indirect). −−→ −−→ ? La valeur absolue de la mesure principale de (OM ; ON ) est égale à la mesure en radians de l’angle géomé\ trique M ON . ? Par abus de notation, on confondra un angle orienté et l’une de ses mesures. On notera alors −−→ −−→ −−→ −−→ (OM ; ON ) = x ou (OM ; ON ) = x + 2kπ (k ∈ Z) ou −−→ −−→ (OM ; ON ) = x [2π]. −−→ −−→ pour signifier que l’ensemble des mesures de l’angle orienté (OM ; ON ) sont de la forme x + 2kπ −−→ −−→ La notation (OM ; ON ) = x où k ∈ Z. −−→ −−→ [2π] se lit « une mesure de l’angle orienté (OM ; ON ) vaut x modulo 2π ». Définition. On dira que deux angles orientés sont égaux s’ils ont même mesure (modulo 2π). Exercice 1 Soit ABC un triangle rectangle isocèle direct. Déterminer les mesures des angles −→ − − → −− → −−→ −→ −−→ − − → −→ orientés (AC; AB), (BA; BC), (CA; CB), (BA; CA). Exercice 2 Calculer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est 55π 202π ;− . 3 7 Exercice 3 Vérifier, dans chaque cas, que les angles de mesures x et y ont même mesure principale. 3π 5π 43π 5π et y = − (ii) x=− et y = . (i) x= 4 4 12 12 Lycée Les Pannevelles – 1S1 Page 3 FBoure - Année 2009/2010 III Propriétés des angles orientés A Angles orientés et colinéarité → → Soient − u et − v deux vecteurs non nuls. Les angles orientés nous permettent de donner un critère de parallèlisme. En effet, on a le résultat suivant → → → → Proposition. Les vecteurs − u et − v sont colinéaires de même sens si et seulement si (− u;− v)=0 − → − → − → − → Les vecteurs u et v sont colinéaires de sens contraires si et seulement si ( u ; v ) = π [2π]. colinéaires de même sens − → v [2π]. colinéaires de sens contraire π − → u − → v − → u B Relation de Chasles pour les angles orientés − → v Théorème (admis). → − → Pour tous vecteurs non nuls − u ,→ v et − w , on a − → u → → → → → → (− u;− v ) + (− v ;− w ) = (− u;− w) (Relation de Chasles) − → w C Corollaire : quelques égalités remarquables → → Proposition. Pour tous vecteurs non nuls − u et − v , on a les relations suivantes → → → − (− u ;− v ) = −(− v ;→ u) − → v → → → → (−− u;− v ) = (− u;− v)+π − → v → → → − (− u ; −− v ) = (− u ;→ v )+π − → v − → u → −− u → → → → (−− u ; −− v ) = (− u;− v) − → v − → u → −− v − → u → −− u → −− v − → u Démonstration. Les égalités qui suivent sont vraies modulo 2π. Il s’agit d’une simple application de la relation de Chasles : − − − − − − − − − − ? Par la relation de Chasles, nous avons, (→ u;→ v ) + (→ v ;→ u ) = (→ u ;→ u ) = 0 et donc (→ u;→ v ) = −(→ v ;→ u ). − − − − − − − − ? Par la relation de Chasles, on a directement (−→ u ;→ v ) = (−→ u;→ u ) + (→ u;→ v ) = π + (→ u ;→ v ). − − − − − − − − ? De la même façon, on a (→ u ; −→ v ) = (→ u ;→ v ) + (→ v ; −→ v ) = (→ u ;→ v ) + π. − − − − − − ? On a, en appliquant successivement les deux résultats précédents, (−→ u ; −→ v ) = (−(−→ u ); −→ v ) + π = (→ u ; −→ v)+ → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − π = ( u ; v ) + π + π = ( u ; v ) + 2π. Ainsi, une mesure de (− u ; − v ) est aussi ( u ; v ) + 2π − 2π = ( u ; v ). Exercice 4 Soit ABC un triangle direct. Calculer la somme des angles orientés de ce triangle : −− → −→ −−→ −− → −→ −−→ (AB; AC) + (BC; BA) + (CA; CB). Exercice 5 Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Calculer la somme des angles orientés du quadrilatère : −− → −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ − − → (AB; AD) + (DA; DC) + (CD; CB) + (BC; BA). Lycée Les Pannevelles – 1S1 Page 4 FBoure - Année 2009/2010 IV Cosinus et sinus d’un angle orienté A Retour sur le cosinus et le sinus d’un réel On a vu qu’à chaque réel x, on peut associer un unique point m du cercle trigonométrique. On peut lire les coordonnées du point m dans le repère orthonormal −→ −→ (O, OI, OJ ) : ces coordonnées sont par définition le cosinus et le sinus du nombre réel x. Plus précisément, on a la # Définition. Soit x un nombre réel et M le point de D d’abscisse x. En enroulant la droite D autour du cercle C, on fait coïncider M avec un unique point m du cercle. • Le cosinus de x, noté cos(x) (ou encore cos x) est l’abscisse du point m −→ −→ dans le repère (O; OI, OJ ). La fonction cosinus est la fonction qui, à tout réel x, associe son cosinus cos x. • Le sinus de x, noté sin(x) (ou encore sin x) est l’ordonnée du point m dans −→ −→ le repère (O; OI , OJ). La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x, associe son sinus sin x. " Quelques exemples : M J m C ! 1 sin x K cos x x I O L −1 D Par enroulement sur le cercle trigonométrique, les réels 0, 2π, 4π, . . . , −2π, −4π, . . . viennent coïncider avec le point I(1; 0). On en déduit que cos 0 = cos 2π = cos 4π = cos(−2π) = cos(−4π) = 1 et sin 0 = sin 2π = sin 4π = sin(−2π) = sin(−4π) = 0 7π −3π −7π De même, les réels π2 , 5π 2 , 2 , . . . , 2 , 2 , . . . viennent coïncider avec le point J(0; 1). On en déduit que cos sin π 2 π 2 = cos 5π 7π −3π −7π = cos = cos = cos =0 2 2 2 2 = sin 5π 7π −3π −7π = sin = sin = sin =1 2 2 2 2 B Propriétés. Nous avons constaté dans les exemples précédents, un phénomène intéressant : on sait que si le réel x vient coïncider avec le point m du cercle, alors les réels x + 2π, x + 4π, . . . , x − 2π, x − 4π, . . . viennent aussi coïncider avec le point m. Par conséquent, ces réels ont respectivement même cosinus et même sinus : Propriété. Pour tout réel x, on a cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x) et sin(x + 2kπ) = sin(x) et plus généralement, pour tout entier relatif k, on a cos(x + 2kπ) = cos(x) On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π → → Si x désigne une mesure en radians d’un angle orienté (− u;− v ), alors toute autre mesure est du type x + 2kπ avec k ∈ Z. Or, d’après la proposition précédente, ces réels x et x + 2kπ ont même cosinus et même sinus, plus précisément, cos(x) = cos(x + 2kπ) et sin(x) = sin(x + 2kπ). Ceci légitime la définition suivante : → − Définition. Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté (− u ;→ v ) est, par définition, le cosinus (resp. le sinus) de l’une quelconque de ses mesures en radians. On note alors → → → → cos(− u ;− v) (resp. sin(− u;− v )) − → − → le cosinus (resp. le sinus) de l’angle orienté ( u ; v ). Lycée Les Pannevelles – 1S1 Page 5 FBoure - Année 2009/2010
