C1 – Angles orientés et éléments de trigonométrie I Retour sur le

C1 – Angles orientés et éléments de trigonométrie
OBJECTIFS DU CHAPITRE
C1-1 Connaitre la notion de mesure principale et de mesures d’un angle orienté
C1-2 Utiliser les propriétés des angles orientés (relation de Chasles, caractérisation de la colinéarité par les
angles...)
C1-3 Connaître la définition du cosinus et du sinus d’un angle orienté, connaître les lignes trigonométriques
des angles associés.
C1-4 Pour tout point du plan repéré, écrire un couple de coordonnées polaires connaissant les coordonnées
cartesienne et réciproquement.
C1-5 Connaître et mettre en œuvre les relations trigonométriques usuelles (formules d’addition, de duplica-
tion)
I Retour sur le cercle trigonométrique et l’enroulement de Rautour du
cercle
A Une nouvelle unité de mesure d’angle : le radian
On considère un cercle de centre Oet de rayon 1. Le cercle a pour longueur 2π.
O
I
M
1rad
1
1
Définition.Un angle au centre de mesure 1radian intercepte un arc de longueur 1.
Ainsi, un angle de πradians intercepte un arc de longueur π; cet angle mesure aussi
180˚. On a donc
πrad = 180˚
Conversion radian-degré. On a le tableau de proportionnalité suivant
Mesure de l’angle en degrés 180 αβ×180
π
Mesure de l’angle en radians πα×π
180 β
×π
180 
×180
π
Quelques mesures d’angles remarquables
Mesure de l’angle en degrés 0˚30˚45˚60˚90˚120˚180˚
Mesure de l’angle en radians 0π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3π
B Cercle trigonométrique
O
Définition.Il existe deux sens de parcours sur un cercle. Par convention, on
appelle sens direct le sens contraire de celui des aiguilles d’une montre.
On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1, orienté dans
le sens direct.
C Enroulement de Rautour du cercle trigonométrique
On considère le cercle trigonométrique C,Iun point du cercle trigonométrique
et la droite Dtangente en IàC. On considère le point Jtel que le repère
(O;−→ OI, −→ OJ )soit orthonormé. On muni la droite Dd’un repère (I;−→ OJ ).
•Soit xun nombre réel et Mle point de Dd’abscisse x. En enroulant la droite
Dautour du cercle C, on fait coïncider Mavec un unique point mdu cercle.
•Deux points de Ddont les abcisses sont distantes de 2πcoïncident avec le
même point du cercle, car 2πest la longueur d’un tour complet. Plus pré-
cisément, si un point Md’abscisse xcoïncide avec le point msur le cercle,
alors tous les points de la droite d’abscisse
x+ 2kπ où kest un entier relatif
viennent coïncider avec ce point m.
OI
J
K
L
1
−1
Mx
m
C
D
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Quelques positions clés sur le cercle trigonométrique
Sur le cercle trigonométrique, on a noté, pour chaque réel x« particulier » de l’intervalle ]−π;π], le point m
du cercle qui vient coïncider avec Md’abscisse x:
O
π
4
π
2
3π
4
π
−π
4
−π
2
−3π
4
0O
π
6
π
3
π
2
2π
3
5π
6
−π
6
−π
3
−π
2
−2π
3
−5π
6
0
π
II Mesures d’un angle orienté de vecteurs
A Angle orienté de deux vecteurs
Définition (Notion d’angle orienté de vecteurs).
Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs non nuls. On considère un point Oet
A,Bdeux points tels que −→ OA =−→ uet −−→ OB =−→ v. On appelle angle
orienté −→ u,−→ vet on note (\
−→
u;−→ v)la donnée du couple de vecteurs
(−→ u;−→ v).
Remarques.?On notera plus simplement, sans chapeau, (−→ u;−→ v)
l’angle orienté (\
−→
u , ;−→ v)
?Par définition, l’angle orienté (−→ u;−→ v)est égal à l’angle orienté
(−→ OA;−−→ OB).
−→
u
−→
v
−→
u
−→
v
O
A
B
B Mesure d’un angle orienté de vecteurs
Le but de ce paragraphe est de définir la notion de mesure d’un
angle orienté. Pour cela, on considère le cercle trigonométrique
Cde centre Oque l’on munit d’un point origine I.
Etant donnés deux vecteurs non nuls −→ uet −→ v, on considère les
points Met Ntels que
−−→
OM =−→ uet −−→ ON =−→ v .
La demi-droite [OM )(resp. la demi-droite [OM )) coupe alors le
cercle Cen M1(resp. N1).
−→
u
−→
v
−→
u
−→
v
O
M
N
x
x=m−n
M1
I
N1
Nous avons vu précédemment qu’à tout point du cercle trigonométrique, on peut associer une famille de
nombre réels, réels distants d’un multiple de 2π. Ainsi, par cette association, il existe deux réels m, n tels
qu’au point M1, on associe les réels m+ 2kπ et au point N1, on associe les réels n+ 2lπ :
M1:m+ 2kπ N1:n+ 2lπ k, l balayent Z.
La différence
x=m−n
est une mesure en radians de l’angle orienté (−−→ OM , −−→ ON ). Remarquez que m−n+ 2πest aussi une mesure en
radian de ce même angle orienté, plus généralement, les nombres
m−n+ 2kπ où kbalaye l’ensemble Z
sont des mesures de l’angle orienté (−−→
OM , −−→
ON )et toutes ses mesures s’écrivent sous cette forme.
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'
&
$
%
Définition (Mesures en radians d’un angle orienté de vecteurs.).
Etant donnés deux vecteurs non nuls −→ uet −→ v, on considère les
points Met Ntels que
−−→
OM =−→ uet −−→ ON =−→ v .
Par le procédé décrit précédemment, au point M, on associe un
réel met au point N, on associe un réel n.
On appelle mesure en radian de l’angle orienté (−→
u;−→ v)tout réel
de la famille de nombres
m−n+ 2kπ où k∈Z.
On note alors
(−→ u;−→ v) = (−−→ OM , −−→ ON ) = m−n+ 2kπ (k∈Z)
Parmi toutes ces mesures m−n+ 2kπ, il y en a une et une seule
comprise dans l’intervalle I=] −π;π]. Cette mesure est appelée
mesure principale de l’angle orienté (−−→ OM ;−−→ ON )
−→
u
−→
v
−→
u
−→
v
O
M
N
xx=
m−n
m
I
n
Remarques.?La mesure principale de l’angle orienté (−−→ OM ;−−→ ON )est égale à la longueur du petit arc MN
affecté du signe +(resp. du signe −) si le plus court chemin pour se rendre du point Mau point Nse
parcourt dans le sens direct (resp. dans le sens indirect).
?La valeur absolue de la mesure principale de (−−→ OM ;−−→ ON )est égale à la mesure en radians de l’angle géomé-
trique \ MON .
?Par abus de notation, on confondra un angle orienté et l’une de ses mesures. On notera alors
(−−→ OM ;−−→ ON ) = xou (−−→ OM ;−−→ ON ) = x+ 2kπ (k∈Z)ou (−−→ OM ;−−→ ON ) = x[2π].
pour signifier que l’ensemble des mesures de l’angle orienté (−−→ OM ;−−→ ON )sont de la forme
x+ 2kπ où k∈Z.
La notation (−−→ OM ;−−→ ON ) = x[2π]se lit « une mesure de l’angle orienté (−−→ OM ;−−→ ON )vaut xmodulo 2π».
Définition.On dira que deux angles orientés sont égaux s’ils ont même mesure (modulo 2π).
Exercice 1 Soit ABC un triangle rectangle isocèle direct. Déterminer les mesures des angles
orientés (−→ AC;−−→ AB),(−−→ BA;−−→ BC),(−→ CA;−−→ CB),(−−→ BA;−→ CA).
Exercice 2 Calculer la mesure principale d’un angle orienté dont une mesure est 202π
3;−55π 7.
Exercice 3 Vérifier, dans chaque cas, que les angles de mesures xet yont même mesure princi-
pale.
(i)x=5π
4et y=−3π 4(ii)x=−5π 12 et y=43π 12 .
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III Propriétés des angles orientés
A Angles orientés et colinéarité
Soient −→ uet −→ vdeux vecteurs non nuls. Les angles orientés nous permettent de donner un critère de parallè-
lisme. En effet, on a le résultat suivant
Proposition.Les vecteurs −→ uet −→ vsont colinéaires de même sens si et seulement si (−→ u;−→ v) = 0 [2π].
Les vecteurs −→ uet −→ vsont colinéaires de sens contraires si et seulement si (−→ u;−→ v) = π[2π].
colinéaires de même sens colinéaires de sens contraire
−→
u
−→
v
−→
u
−→
v
π
B Relation de Chasles pour les angles orientés
Théorème (admis).
Pour tous vecteurs non nuls −→ u , −→ vet −→ w, on a
(−→ u;−→ v) + (−→ v;−→ w) = (−→ u;−→ w)(Relation de Chasles)
−→
u
−→
v
−→
w
C Corollaire : quelques égalités remarquables
Proposition.Pour tous vecteurs non nuls −→ uet −→ v, on a les relations suivantes
(−→ u;−→ v) = −(−→ v;−→ u) (−−→ u;−→ v) = (−→ u;−→ v) + π(−→ u;−−→ v) = (−→ u;−→ v) + π(−−→ u;−−→ v) = (−→ u;−→ v)
−→
u
−→
v
−→
u
−→
v
−−→ u−→
u
−→
v
−−→ v
−→
u
−→
v
−−→ v
−−→ u
Démonstration. Les égalités qui suivent sont vraies modulo 2π. Il s’agit d’une simple application de la relation de
Chasles :
?Par la relation de Chasles, nous avons, (−→ u;−→ v) + (−→ v;−→ u) = (−→ u;−→ u) = 0 et donc (−→ u;−→ v) = −(−→ v;−→ u).
?Par la relation de Chasles, on a directement (−
−→
u;−→ v) = (−
−→
u;−→ u) + (−→ u;−→ v) = π+ (−→ u;−→ v).
?De la même façon, on a (−→ u;−
−→
v) = (−→ u;−→ v) + (−→ v;−
−→
v) = (−→ u;−→ v) + π.
?On a, en appliquant successivement les deux résultats précédents, (−
−→
u;−
−→
v) = (−(−
−→
u); −
−→
v) + π= (−→ u;−
−→
v) +
π= (−→ u;−→ v) + π+π= (−→ u;−→ v) + 2π. Ainsi, une mesure de (−
−→
u;−
−→
v)est aussi (−→ u;−→ v) + 2π−2π= (−→ u;−→ v).
Exercice 4 Soit ABC un triangle direct. Calculer la somme des angles orientés de ce triangle :
(−−→ AB;−→ AC) + (−−→ BC;−−→ BA) + (−→ CA;−−→ CB).
Exercice 5 Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Calculer la somme des angles orientés du
quadrilatère :
(−−→ AB;−−→ AD) + (−−→ DA;−−→ DC) + (−−→ CD;−−→ CB) + (−−→ BC;−−→ BA).
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IV Cosinus et sinus d’un angle orienté
A Retour sur le cosinus et le sinus d’un réel
On a vu qu’à chaque réel x, on peut associer un unique point mdu cercle trigo-
nométrique. On peut lire les coordonnées du point mdans le repère orthonormal
(O, −→ OI, −→ OJ ): ces coordonnées sont par définition le cosinus et le sinus du nombre
réel x. Plus précisément, on a la
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" !
Définition.Soit xun nombre réel et Mle point de Dd’abscisse x. En
enroulant la droite Dautour du cercle C, on fait coïncider Mavec un unique
point mdu cercle.
•Le cosinus de x, noté cos(x)(ou encore cos x) est l’abscisse du point m
dans le repère (O;−→ OI, −→ OJ ). La fonction cosinus est la fonction qui, à tout
réel x, associe son cosinus cos x.
•Le sinus de x, noté sin(x)(ou encore sin x) est l’ordonnée du point mdans
le repère (O;−→
OI , −→
OJ ). La fonction sinus est la fonction qui, à tout réel x,
associe son sinus sin x.
OI
J
K
L
1
−1
Mx
m
C
D
cos x
sin x
Quelques exemples :
Par enroulement sur le cercle trigonométrique, les réels 0,2π, 4π, . . . , −2π, −4π, . . . viennent coïncider avec
le point I(1; 0). On en déduit que
cos 0 = cos 2π= cos 4π= cos(−2π) = cos(−4π) = 1 et sin 0 = sin 2π= sin 4π= sin(−2π) = sin(−4π) = 0
De même, les réels π
2,5π 2,7π 2,..., −3π 2,−7π 2,... viennent coïncider avec le point J(0; 1). On en déduit que
cos π
2= cos 5π 2= cos 7π 2= cos −3π 2= cos −7π 2= 0
sin π
2= sin 5π 2= sin 7π 2= sin −3π 2= sin −7π 2= 1
B Propriétés.
Nous avons constaté dans les exemples précédents, un phénomène intéressant : on sait que si le réel xvient
coïncider avec le point mdu cercle, alors les réels x+ 2π, x +4π,...,x−2π, x −4π, . . . viennent aussi coïncider
avec le point m. Par conséquent, ces réels ont respectivement même cosinus et même sinus :
Propriété.Pour tout réel x, on a
cos(x+ 2π) = cos(x)et sin(x+ 2π) = sin(x)
et plus généralement, pour tout entier relatif k, on a
cos(x+ 2kπ) = cos(x)et sin(x+ 2kπ) = sin(x)
On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2π
Si xdésigne une mesure en radians d’un angle orienté (−→ u;−→ v), alors toute autre mesure est du type x+ 2kπ
avec k∈Z. Or, d’après la proposition précédente, ces réels xet x+ 2kπ ont même cosinus et même sinus, plus
précisément,
cos(x) = cos(x+ 2kπ)et sin(x) = sin(x+ 2kπ).
Ceci légitime la définition suivante :
Définition.Le cosinus (resp. le sinus) d’un angle orienté (−→ u;−→ v)est, par définition, le cosinus (resp. le
sinus) de l’une quelconque de ses mesures en radians.
On note alors
cos(−→ u;−→ v) (resp. sin(−→ u;−→ v))
le cosinus (resp. le sinus) de l’angle orienté (−→ u;−→ v).
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