Chapitre 4. Espaces métriques compacts. Dans tout le chapitre

Chapitre 4. Espaces métriques compacts.
Dans tout le chapitre, (E, d) est un espace métrique.
1. Définition séquentielle et premières propriétes.
1.1 Définition séquentielle.
On dit que l’espace (E, d) est un espace compact, si de toute suite (xn ) d’éléments de E, on peut extraire une sous-suite convergente, ou encore si toute
suite (xn ) d’éléments de E, possède une valeur d’adhérence dans E.
Il convient de remarquer que si A est une partie de E, celle-ci, munie de la distance
induite est un sous-espace métrique. Elle peut être compacte ou non. Etre compact est
une propriété absolue, indépendante de l’espace ambiant, contrairement à des propriétés
relatives comme être ouvert ou fermé dans un espace E.
1.2 Exemples : les fermés bornés de R ou de Rn muni de la distance produit.
En effet, si une suite (xn ) est incluse dans une partie A, fermée bornée dans R, elle
possède une valeur d’adhérence réelle d’après le théorème de Bolzano-Weierstrass. Celle-ci
appartient à la partie A, qui est fermée. Ainsi A est bien compacte. Le cas de parties de
Rn est une conséquence du cas réel et des résultats 1.3.3 et 1.3.4 à venir.
1.3 Premières propriétés :
1.3.1 Un compact est fermé.
Une suite d’éléments d’un espace compact K possède au moins une valeur d’adhérence
x ∈ K. Si en plus cette suite est convergente, alors sa limite est nécessairement égale à x
et appartient donc à K qui est donc fermé par la caractérisation séquentielle.
1.3.2 Un compact est borné.
Supposons le contraire. Il existerait alors une suite (xn ) d’éléments du compact K dont
la distance à un point a fixé dans K tend vers l’infini. Une telle suite ne peut avoir une
sous-suite convergente, nécessairement bornée.
1.3.3 Un fermé dans un compact est compact.
Le raisonnement est analogue à celui qui a été fait en 1.2.
1.3.4 Un produit (fini) d’espaces métriques compacts est compact.
Nous faisons la démonstration dans le cas d’un produit fini. Le cas d’un produit dénombrable peut être démontré à l’aide d’un procédé diagonal après avoir défini la distance
produit. Le cas général est vrai aussi, mais plus difficile, c’est le théorème de Tychonov.
Il suffit maintenant de démontrer que si (K1 , d1 ) et (K2 , d2 ) sont deux espaces métriques
compacts, alors l’espace (K1 × K2 , D) est un espace métrique compact où D est la distance
1
produit. Rappelons qu’une suite ((xn , yn )) d’éléments de K1 ×K2 converge vers (x, y) pour
la distance produit si et seulement si xn → x dans K1 et yn → y dans K2 .
Considérons une suite ((xn , yn )) d’éléments de K1 × K2 . Par compacité de K1 , on peut
extraire une première sous-suite (xϕ1 (n) ) qui converge vers x ∈ K1 . Ensuite par compacité
de K2 , on peut aussi extraire de la suite (yϕ1 (n) ) une sous-suite (yϕ1 ◦ϕ2 (n) ) qui converge
vers y dans K2 . La suite ((xϕ1 ϕ2 (n) , yϕ1 ◦ϕ2 (n) )) converge vers (x, y) in K1 × K2 pour la
distance produit.
1.3.5 Théorème de Heine.
Une application continue sur un espace métrique compact est uniformé-ment
continue.
Supposons le contraire. Il existerait alors un réel ε > 0 et deux suites (xn ) et (yn ) telles
que xn − yn → 0 et pour tout n ∈ N, |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε. Par compacité, il existe une
sous-suite (xϕ(n) ) qui converge vers une certaine limite x. La suite (yϕ(n) ) converge elle
aussi, vers ce même x. Les suites images (f (xϕ(n) )) et (f (yϕ(n) )) convergent toutes les
deux vers f (x), par continuité de l’application f . On arrive ainsi à une contradiction avec
l’hypothèse |f (xn ) − f (yn )| ≥ ε.
1.3.6 Image d’un compact par une application continue.
Théorème :
L’image d’un compact K par une application continue f est un compact. Si de
plus f est injective, alors elle réalise un homéomorphisme entre K et f (K).
Démonstration :
Considérons une suite (yn ) d’éléments de f (K). Pour tout n ∈ N, il existe xn ∈ K tel
que yn = f (xn ). La compacité de K nous permet d’extraire une sous-suite (xϕ(n) ) qui
converge dans K vers une limite x. Par continuité de f , la suite (yϕ(n) ) converge vers
f (x). Ainsi, toute suite d’éléments de f (K) possède une valeur d’adhérence dans f (K).
Cet ensemble est donc compact. Si f est injective, elle réalise une bijection de K sur f (K).
L’image réciproque par f −1 d’un fermé quelconque F de K est égale à l’image par f de
ce même fermé, qui est aussi compact. D’après ce que nous venons de démontrer f (F ) est
un compact et donc fermé dans f (K). Nous venons de montrer que f −1 est continue car
l’image réciproque par cette application de tout fermé de K est un fermé de f (K). Ainsi
f est bijective, f et f −1 sont continues. On dit que f réalise un homéomorphisme de K
sur f (K).
Corollaire :
Une application continue f sur un compact non vide K, à valeurs dans R,
atteint son maximum et son minimum sur K.
Démonstration :
Dans le cas où l’ensemble d’arrivée est une partie de R, l’image f (K) est un compact non
vide de R. C’est donc une partie fermée et bornée de R. Les bornes inférieure et supérieure
sont des éléments de l’adhérence de f (K) qui est aussi égale à f (K).
2
2. Une définition équivalente.
2.1 Propriété de Borel-Lebesgue.
Dans cette partie, K désigne une partie (non vide) de E.
2.1.1 Définition :
On dit que K possède la propriété de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement
de K par des ouverts de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
la définition précédente équivaut à : si (Oi )i∈I est une famille d’ouverts de K dont la
réunion est égale à K, alors il existe une partie finie d’indices {i1 , i2 , . . . , in } telle que
n
[
Oij = K.
j=1
2.1.2 Reformulations équivalentes avec une famille de fermés de E ou de K.
Proposition :
Les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
a) La partie K possède la propriété de Borel-Lebesgue. \
\
b) Si (Fi )i∈I est une famille de fermés de E telle que
Fi
K = ∅, alors il
existe une partie finie d’indices {i1 , i2 , . . . , in } telle que
c) Si (Ki )i∈I
i∈I
n
\
Fij
\
K = ∅.
\j=1
est une famille de fermés de K telle que
Ki = ∅, alors il existe
i∈I
une partie finie d’indices {i1 , i2 , . . . , in } telle que
n
\
Kij = ∅.
j=1
Démonstration :
L’équivalence entre les assertions a) et b) s’obtient par passage au complémentaire.
L’équivalence entre les assertions b) et c) résulte du fait qu’un fermé de K est égal à
l’intersection de K et d’un fermé de E.
2.1.3 Conséquences pour une suite croissante d’ouverts de E recouvrant K ou
pour une suite décroissante de fermés de E dont l’intersection avec K est vide.
Proposition :
a) Si (On ) est une suite croissante d’ouverts de E (resp. K) dont la réunion
recouvre (resp. est égale à) K, alors l’un des ouverts recouvre (resp. est égal
à) K.
b) Si (Fn ) est une suite décroissante de fermés de E (resp. K) dont l’intersection
ne rencontre pas K (resp. est vide) alors l’un des fermés ne rencontre pas K
(resp. est vide).
La démonstration de cette proposition est un exercice facile, laissé au lecteur.
2.2 Equivalence entre la propriété de Borel-Lebesgue et la compacité.
3
Théorème :
Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
a) K est compacte.
b) K possède la propriété de Borel-Lebesgue.
Démonstration :
Nous commençons par b) implique a). Considérons une suite (xn ) d’éléments de K et
notons Kn l’adhérence de An = {xk ; k ≥ n}. Les Kn forment une suite décroissante de
fermés non vides de K. Leur intersection est donc non vide par la propriété de BorelLebesgue. Il en résulte que la suite (xn ) possède au moins une valeur d’adhérence dans K
ce qui prouve que l’ensemble K est compact.
La preuve de a) implique b) est plus délicate. Nous commençons par un premier lemme.
Lemme 1 :
L’ensemble K est précompact (i.e pour tout ε > 0, il existe un nombre fini d’éléments de
n
[
b(xi , ε)).
K, notés x1 , . . . , xn tels que K ⊂
i=1
Preuve :
Dans le cas contraire, il existerait ε > 0 et une suite (xn ) d’éléments de K qui est εséparée (i.e. elle vérifie pour tous n 6= m, d(xn , xm ) ≥ ε. Cette suite peut être construite
par récurrence sur n en partant d’un élément x1 de K et si x1 , . . . , xn sont correctement
n
[
b(xi , ε). Mais une suite séparée ne peut avoir de
construits, alors on choisit xn+1 ∈
/
i=1
valeur d’adhérence, ce qui contredit la compacité de K.
Nous aurons ensuite besoin d’un second lemme.
Lemme 2 : (nombre de Lebesgue).
Soit (Oi )i∈I un recouvrement ouvert de K. Il existe α > 0 tel que pour tout x ∈ K, il
existe i(x) ∈ I tel que b(x, i(x)) ⊂ Oi(x) .
Preuve :
Dans le cas contraire, il existerait une suite (xn ) d’éléments de K telle que pour tout i ∈ I
1
et tout n ∈ N, b(xi , ) rencontre le complémentaire de Oi . Quitte à extraire une sous-suite,
n
on peut supposer que la suite (xn ) converge vers x ∈ K. Fixons un indice i ∈ I. Pour
1
tout n ∈ N, il existe yn ∈ c Oi ∩ b(xn , ). En particulier, la suite (yn ) converge aussi
n
vers x qui appartient ainsi au complémentaire de Oi , car c’est une partie fermée de E. Ce
raisonnement montre que x n’appartient à aucun Oi et donc n’appartient pas à K, non
plus. On aboutit ainsi à une contradiction.
Nous pouvons à présent terminer la preuve du théorème. On commence par recouvrir K
par un nombre fini de boules de rayon α donné par le lemme 2. Notons x1 , . . . , , xn les
centres de ces boules et Oi1 , Oi2 , . . . , Oin les ouverts donnés par le lemme 2, tels que pour
chaque j = 1, . . . , n, b(xi , α) ⊂ Oij . La réunion finie, des Oij recouvre K.
4
3. Compacts dans un espace vectoriel normé. Cas de la dimension finie.
Dans tout ce paragraphe, E désigne un espace vectoriel normé. Pour simplifier, on supposera que les espaces vectoriels sont réels, mais tous les résultats restent vrais dans des
espaces vectoriels complexes.
3.1 Equivalence des normes en dimension finie.
Théorème :
Toutes les normes sur Rn sont équivalentes.
Démonstration :
On note (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn et pour x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , on note
kxk∞ = max |xi |.
i=1,...,n
Soit k k une deuxième norme définie sur Rn .
a) Considérons l’application (linéaire) identité, id :(Rn , k k∞ ) → (Rn , k k). Elle est conn
X
tinue car pour tout x ∈ Rn , kxk ≤ kxk∞
kei k.
i=1
b) Considérons l’application f : (Rn , k k∞ ) → R définie par f (x) = kxk. Cette application
est continue, comme composée d’applications continues.
c) Notons B∞ la boule unité fermée et S∞ la sphère unité pour la norme k k∞ . Nous avons
déjà vu que B∞ est compacte, comme produit de compacts de R. S∞ est compacte comme
partie fermée d’un espace métrique compact. Il en résulte que l’application f atteint ses
bornes sur S∞ . Notons α la borne inférieure et β la borne supérieure de f sur S∞ . Nous
avons en particulier α > 0 et pour tout x ∈ Rn , αkxk∞ ≤ kxk ≤ βkxk∞ , ce qui prouve
que les deux normes k k et k k∞ sont équivalentes.
Corollaire :
Le même résultat est vrai pour tout espace vectoriel de dimension finie.
Démonstration :
On note (e1 , . . . , en ) une base de E et s : E → Rn définie par s(x) = (x1 , . . . , xn ) si
(x1 , . . . , xn ) sont les coordonnées du vecteur x dans la base (e1 , . . . , en ). Si Ni est une
norme sur E, on peut définir une norme k ki sur Rn par la formule : kyki = Ni (s−1 (y))
ou encore Ni (x) = ks(x)ki . Ainsi, si N1 , N2 sont deux normes sur E, les normes k k1 et
k k2 qui leur sont associées, sont équivalentes et donc N1 et N2 aussi.
3.2 Compacité de boule unité fermée en dimension finie.
Théorème :
La boule unité fermée associée à n’importe quelle norme sur Rn est compacte.
Soient k k une norme définie sur Rn et B la boule unité fermée qui lui est associée. Nous
avons vu dans la preuve du théorème 3.1 que l’application (linéaire) identité,
5
id : (Rn , k k∞ ) → (Rn , k k), est continue et pour tout x ∈ Rn , αkxk∞ ≤ kxk ≤ βkxk∞ .
Il en résulte que l’image réciproque K, de B par l’application identité, est un fermé de
1
(Rn , k k∞ ) et pour tout x ∈ K, kxk∞ ≤ . Ainsi K est un compact dans (Rn , k k∞ ) et
α
son image par l’application id, égale à B, est aussi un compact dans (Rn , k k).
Corollaire :
Le même résutat est vrai pour tout espace vectoriel normé de dimension finie.
Démonstration :
On reprend les notations du corollaire du 3.1. Considérons une norme N définie sur E et
k k la norme qui lui est associée sur Rn . La boule unité fermée associée à la norme N est
isométrique à celle associée à la norme k k sur Rn . Ces deux boules sont donc compactes.
3.3 Continuité d’une application linéaire définie sur un espace vectoriel normé
de dimension finie.
Théorème :
Une application linéaire définie sur un espace vectoriel de dimension finie est
continue.
Démonstration :
Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f : E → F une application linéaire. On
suppose que E est de dimension finie et on note B = (e1 , . . . , en ) une base de E. Comme
toutes les normes sur E sont équivalentes, on peut prendre pour norme sur E, celle définie
par kxkE = max |xi | où (x1 , . . . , xn ) sont les coordonnées de x dans la base B. Nous avons
n
X
alors : pour tout x ∈ E, kf (x)kF ≤ kxkE (
kf (ei )kF ).
i=1
3.4 Caractérisation des compacts en dimension finie.
Théorème :
Les compacts d’un espace vectoriel de dimension finie sont les fermés bornés.
Démonstration :
Nous avons déjà vu, qu’un compact est toujours fermé et borné. Réciproquement, un
fermé borné de Rn est un fermé inclus dans une boule B(0, R), qui est compacte aussi, car
homothétique à la boule unité. Nous avons bien montré le théorème.
Corollaire :
Un espace vectoriel normé de dimension finie est fermé.
Démonstration :
Considérons un espace vectoriel F et un sous-espace vectoriel E de dimension finie. Il
s’agit de prouver que E est fermé dans F . Considérons une suite (xn ) d’éléments de E
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qui converge vers une limite x ∈ F . Montrons que x ∈ E. La suite (xn ) est convergente
dans F , donc elle est bornée dans F et aussi dans E. Elle est donc incluse dans une boule
fermée et bornée de E, qui est compacte car E est de dimension finie. Il en résulte que la
suite (xn ) possède dans E au moins une valeur d’adhérence. Celle-ci est nécessairement
égale à x, car la suite (xn ) converge vers x dans F . Ceci prouve que x ∈ E.
3.5 Caractérisation des espaces vectoriels normés de dimension finie.
Théorème de Riesz :
La boule unité fermée de E est compacte si et seulement si E est de dimension
finie.
Démonstration :
Si E est de dimension finie, alors sa boule unité est compacte d’après le 3.2.
Réciproquement, supposons que la boule unité B de E est compacte. Elle est alors
1
précompacte et peut donc être recouverte par n boules B(xi , ), i = 1, . . . , n. Soit x ∈ B. Il
2
1
existe i1 ∈ {1, . . . , n} tel que kx − xi1 k ≤ . Notons y1 = x−x1 . Comme 2y1 ∈ B, il existe
2
1
1
1
i2 tel que k2y1 − xi2 k ≤ ce qui équivaut à ky1 − xi2 k ≤ , en itérant ce procédé, on peut
2
2
4
k
X
1
1
montrer par récurrence que pour tout k ∈ N∗ , il existe ik tel que kx −
x ij k ≤ k .
j−1
2
2
j=1
Posant zk =
k
X
j=1
1
2j−1
xij , la suite (zk ) formée par des vecteurs appartenant à l’espace
vectoriel En engendré par les vecteurs xij , j = 1, . . . , n, converge vers x. Comme En est
fermé, car de dimension finie, x ∈ En . On en déduit que E ⊂ En , ce qui prouve que E est
de dimension finie.
4. Une application aux points fixes.
Théorème :
Soient (E, d) un espace métrique, compact, non vide et f : E → E une application telle que :
∀ x, y ∈ E, x 6= y, d(f (x), f (y)) < d(x, y).
Alors, f possède un et un seul point fixe u ∈ E. De plus, pour tout x0 ∈ E, la
suite récurrente définie pour tout n ≥ 1, par xn = f (xn−1 ) converge vers u.
Démonstration :
a) Notons K0 = E et pour tout n ∈ N, Kn+1 = f (Kn ). La suite Kn est une suite de
compacts non vides, car l’aplication f est Lipschitzienne, donc continue sur E. Comme de
plusf (E) ⊂ E, on voit par une récurrence immédiate que la suite (Kn ) est décroissante.
Par compacité de E, l’intersection K de tous les Kn est non vide.
b) Remarquons tout d’abord, que f (K) = K. En effet, f (K) ⊂ f (Kn ) = Kn+1 ce qui
montre que f (K) ⊂ K. Pour l’inclusion inverse. Considérons x ∈ K, l’ensemble f −1 {x}
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est un fermé, inclus dans le compact E, il est donc compact. De plus, il rencontre tous les
Kn et donc aussi leur intersection, par la propriété de Borel-Lebesgue. Ce qui signifie de
x ∈ f (K).
c) Montrons que K est un singleton. En effet, le diamètre de K, δ(K), est égal à d(x, y)
pour un couple (x, y) ∈ K × K, par continuité de l’application distance sur le compact
K × K. Par ce qui précède, il existe (u, v) ∈ K × K tel que f (u) = x et f (v) = y. Comme
d(u, v) ≤ d(x, y), on obtient x = y. Il en résulte que le diamètre de K est nul et K est
donc un singleton. Son seul élement est un point fixe de f car f (K) = K. L’unicité du
point fixe résulte clairement de l’hypothèse :
∀ x, y ∈ E, x 6= y, d(f (x), f (y)) < d(x, y).
d) Considérons une suite récurrente comme dans l’énoncé du théorème. Il est facile de voir
par récurrence que xn ∈ Kn et par décroissance des Kn , pour tous k ≥ n, xk ∈ Kn . Il
en résulte que la seule valeur d’adhérence possible de la suite (xn ) est bien le point fixe u
de f , car c’est le seul élément de K. Par ailleurs, la suite (xn ), incluse dans un compact,
possède au moins une valeur d’adhérence. Il en résulte qu’elle possède une seule valeur
d’adhérence égale à u et qu’elle converge donc vers u.
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