Chapitre 4. Espaces métriques compacts. Dans tout le chapitre

Chapitre 4. Espaces m´etriques compacts.
Dans tout le chapitre, (E, d) est un espace m´etrique.
1. D´efinition s´equentielle et premi`eres propri´etes.
1.1 D´efinition s´equentielle.
On dit que l’espace (E, d)est un espace compact, si de toute suite (xn)d’´el´e-
ments de E, on peut extraire une sous-suite convergente, ou encore si toute
suite (xn)d’´el´ements de E, poss`ede une valeur d’adh´erence dans E.
Il convient de remarquer que si Aest une partie de E, celle-ci, munie de la distance
induite est un sous-espace m´etrique. Elle peut ˆetre compacte ou non. Etre compact est
une propri´et´e absolue, ind´ependante de l’espace ambiant, contrairement `a des propri´et´es
relatives comme ˆetre ouvert ou ferm´e dans un espace E.
1.2 Exemples : les ferm´es born´es de Rou de Rnmuni de la distance produit.
En effet, si une suite (xn) est incluse dans une partie A, ferm´ee born´ee dans R, elle
poss`ede une valeur d’adh´erence r´eelle d’apr`es le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass. Celle-ci
appartient `a la partie A, qui est ferm´ee. Ainsi Aest bien compacte. Le cas de parties de
Rnest une cons´equence du cas r´eel et des r´esultats 1.3.3 et 1.3.4 `a venir.
1.3 Premi`eres propri´et´es :
1.3.1 Un compact est ferm´e.
Une suite d’´el´ements d’un espace compact Kposs`ede au moins une valeur d’adh´erence
x∈K. Si en plus cette suite est convergente, alors sa limite est n´ecessairement ´egale `a x
et appartient donc `a Kqui est donc ferm´e par la caract´erisation s´equentielle.
1.3.2 Un compact est born´e.
Supposons le contraire. Il existerait alors une suite (xn) d’´el´ements du compact Kdont
la distance `a un point afix´e dans Ktend vers l’infini. Une telle suite ne peut avoir une
sous-suite convergente, n´ecessairement born´ee.
1.3.3 Un ferm´e dans un compact est compact.
Le raisonnement est analogue `a celui qui a ´et´e fait en 1.2.
1.3.4 Un produit (fini) d’espaces m´etriques compacts est compact.
Nous faisons la d´emonstration dans le cas d’un produit fini. Le cas d’un produit d´enomb-
rable peut ˆetre d´emontr´e `a l’aide d’un proc´ed´e diagonal apr`es avoir d´efini la distance
produit. Le cas g´en´eral est vrai aussi, mais plus difficile, c’est le th´eor`eme de Tychonov.
Il suffit maintenant de d´emontrer que si (K1, d1) et (K2, d2) sont deux espaces m´etriques
compacts, alors l’espace (K1×K2, D) est un espace m´etrique compact o`u Dest la distance
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produit. Rappelons qu’une suite ((xn, yn)) d’´el´ements de K1×K2converge vers (x, y) pour
la distance produit si et seulement si xn→xdans K1et yn→ydans K2.
Consid´erons une suite ((xn, yn)) d’´el´ements de K1×K2. Par compacit´e de K1, on peut
extraire une premi`ere sous-suite (xϕ1(n)) qui converge vers x∈K1. Ensuite par compacit´e
de K2, on peut aussi extraire de la suite (yϕ1(n)) une sous-suite (yϕ1◦ϕ2(n)) qui converge
vers ydans K2. La suite ((xϕ1ϕ2(n), yϕ1◦ϕ2(n))) converge vers (x, y) in K1×K2pour la
distance produit.
1.3.5 Th´eor`eme de Heine.
Une application continue sur un espace m´etrique compact est uniform´e-ment
continue.
Supposons le contraire. Il existerait alors un r´eel ε > 0 et deux suites (xn) et (yn) telles
que xn−yn→0 et pour tout n∈N,|f(xn)−f(yn)| ≥ ε. Par compacit´e, il existe une
sous-suite (xϕ(n)) qui converge vers une certaine limite x. La suite (yϕ(n)) converge elle
aussi, vers ce mˆeme x. Les suites images (f(xϕ(n))) et (f(yϕ(n))) convergent toutes les
deux vers f(x), par continuit´e de l’application f. On arrive ainsi `a une contradiction avec
l’hypoth`ese |f(xn)−f(yn)| ≥ ε.
1.3.6 Image d’un compact par une application continue.
Th´eor`eme :
L’image d’un compact Kpar une application continue fest un compact. Si de
plus fest injective, alors elle r´ealise un hom´eomorphisme entre Ket f(K).
D´emonstration :
Consid´erons une suite (yn) d’´el´ements de f(K). Pour tout n∈N, il existe xn∈Ktel
que yn=f(xn). La compacit´e de Knous permet d’extraire une sous-suite (xϕ(n)) qui
converge dans Kvers une limite x. Par continuit´e de f, la suite (yϕ(n)) converge vers
f(x). Ainsi, toute suite d’´el´ements de f(K) poss`ede une valeur d’adh´erence dans f(K).
Cet ensemble est donc compact. Si f est injective, elle r´ealise une bijection de Ksur f(K).
L’image r´eciproque par f−1d’un ferm´e quelconque Fde Kest ´egale `a l’image par fde
ce mˆeme ferm´e, qui est aussi compact. D’apr`es ce que nous venons de d´emontrer f(F) est
un compact et donc ferm´e dans f(K). Nous venons de montrer que f−1est continue car
l’image r´eciproque par cette application de tout ferm´e de Kest un ferm´e de f(K). Ainsi
fest bijective, fet f−1sont continues. On dit que fr´ealise un hom´eomorphisme de K
sur f(K).
Corollaire :
Une application continue fsur un compact non vide K, `a valeurs dans R,
atteint son maximum et son minimum sur K.
D´emonstration :
Dans le cas o`u l’ensemble d’arriv´ee est une partie de R, l’image f(K) est un compact non
vide de R. C’est donc une partie ferm´ee et born´ee de R. Les bornes inf´erieure et sup´erieure
sont des ´el´ements de l’adh´erence de f(K) qui est aussi ´egale `a f(K).
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2. Une d´efinition ´equivalente.
2.1 Propri´et´e de Borel-Lebesgue.
Dans cette partie, Kd´esigne une partie (non vide) de E.
2.1.1 D´efinition :
On dit que Kposs`ede la propri´et´e de Borel-Lebesgue si de tout recouvrement
de Kpar des ouverts de E, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
la d´efinition pr´ec´edente ´equivaut `a : si (Oi)i∈Iest une famille d’ouverts de Kdont la
r´eunion est ´egale `a K, alors il existe une partie finie d’indices {i1, i2, . . . , in}telle que
n
[
j=1
Oij=K.
2.1.2 Reformulations ´equivalentes avec une famille de ferm´es de Eou de K.
Proposition :
Les trois propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
a) La partie Kposs`ede la propri´et´e de Borel-Lebesgue.
b) Si (Fi)i∈Iest une famille de ferm´es de Etelle que \
i∈I
Fi\K=∅, alors il
existe une partie finie d’indices {i1, i2, . . . , in}telle que 
n
\
j=1
Fij\K=∅.
c) Si (Ki)i∈Iest une famille de ferm´es de Ktelle que \
i∈I
Ki=∅, alors il existe
une partie finie d’indices {i1, i2, . . . , in}telle que
n
\
j=1
Kij=∅.
D´emonstration :
L’´equivalence entre les assertions a) et b) s’obtient par passage au compl´ementaire.
L’´equivalence entre les assertions b) et c) r´esulte du fait qu’un ferm´e de Kest ´egal `a
l’intersection de Ket d’un ferm´e de E.
2.1.3 Cons´equences pour une suite croissante d’ouverts de Erecouvrant Kou
pour une suite d´ecroissante de ferm´es de Edont l’intersection avec Kest vide.
Proposition :
a) Si (On)est une suite croissante d’ouverts de E(resp. K) dont la r´eunion
recouvre (resp. est ´egale `a) K, alors l’un des ouverts recouvre (resp. est ´egal
`a) K.
b) Si (Fn)est une suite d´ecroissante de ferm´es de E(resp. K) dont l’intersection
ne rencontre pas K(resp. est vide) alors l’un des ferm´es ne rencontre pas K
(resp. est vide).
La d´emonstration de cette proposition est un exercice facile, laiss´e au lecteur.
2.2 Equivalence entre la propri´et´e de Borel-Lebesgue et la compacit´e.
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Th´eor`eme :
Les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes :
a) Kest compacte.
b) Kposs`ede la propri´et´e de Borel-Lebesgue.
D´emonstration :
Nous commen¸cons par b) implique a). Consid´erons une suite (xn) d’´el´ements de Ket
notons Knl’adh´erence de An={xk;k≥n}. Les Knforment une suite d´ecroissante de
ferm´es non vides de K. Leur intersection est donc non vide par la propri´et´e de Borel-
Lebesgue. Il en r´esulte que la suite (xn) poss`ede au moins une valeur d’adh´erence dans K
ce qui prouve que l’ensemble Kest compact.
La preuve de a) implique b) est plus d´elicate. Nous commen¸cons par un premier lemme.
Lemme 1 :
L’ensemble Kest pr´ecompact (i.e pour tout ε > 0, il existe un nombre fini d’´el´ements de
K, not´es x1, . . . , xntels que K⊂
n
[
i=1
b(xi, ε)).
Preuve :
Dans le cas contraire, il existerait ε > 0 et une suite (xn) d’´el´ements de Kqui est ε-
s´epar´ee (i.e. elle v´erifie pour tous n6=m, d(xn, xm)≥ε. Cette suite peut ˆetre construite
par r´ecurrence sur nen partant d’un ´el´ement x1de Ket si x1, . . . , xnsont correctement
construits, alors on choisit xn+1 /∈
n
[
i=1
b(xi, ε). Mais une suite s´epar´ee ne peut avoir de
valeur d’adh´erence, ce qui contredit la compacit´e de K.
Nous aurons ensuite besoin d’un second lemme.
Lemme 2 : (nombre de Lebesgue).
Soit (Oi)i∈Iun recouvrement ouvert de K. Il existe α > 0 tel que pour tout x∈K, il
existe i(x)∈Itel que b(x, i(x)) ⊂Oi(x).
Preuve :
Dans le cas contraire, il existerait une suite (xn) d’´el´ements de Ktelle que pour tout i∈I
et tout n∈N, b(xi,1
n) rencontre le compl´ementaire de Oi. Quitte `a extraire une sous-suite,
on peut supposer que la suite (xn) converge vers x∈K. Fixons un indice i∈I. Pour
tout n∈N, il existe yn∈cOi∩b(xn,1
n). En particulier, la suite (yn) converge aussi
vers xqui appartient ainsi au compl´ementaire de Oi, car c’est une partie ferm´ee de E. Ce
raisonnement montre que xn’appartient `a aucun Oiet donc n’appartient pas `a K, non
plus. On aboutit ainsi `a une contradiction.
Nous pouvons `a pr´esent terminer la preuve du th´eor`eme. On commence par recouvrir K
par un nombre fini de boules de rayon αdonn´e par le lemme 2. Notons x1,...,,xnles
centres de ces boules et Oi1, Oi2, . . . , Oinles ouverts donn´es par le lemme 2, tels que pour
chaque j= 1, . . . , n,b(xi, α)⊂Oij. La r´eunion finie, des Oijrecouvre K.
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3. Compacts dans un espace vectoriel norm´e. Cas de la dimension finie.
Dans tout ce paragraphe, Ed´esigne un espace vectoriel norm´e. Pour simplifier, on sup-
posera que les espaces vectoriels sont r´eels, mais tous les r´esultats restent vrais dans des
espaces vectoriels complexes.
3.1 Equivalence des normes en dimension finie.
Th´eor`eme :
Toutes les normes sur Rnsont ´equivalentes.
D´emonstration :
On note (e1, . . . , en) la base canonique de Rnet pour x= (x1, . . . , xn)∈Rn, on note
kxk∞= max
i=1,...,n |xi|.
Soit k k une deuxi`eme norme d´efinie sur Rn.
a) Consid´erons l’application (lin´eaire) identit´e, id :(Rn,k k∞)→(Rn,k k). Elle est con-
tinue car pour tout x∈Rn,kxk ≤ kxk∞
n
X
i=1
keik.
b) Consid´erons l’application f: (Rn,k k∞)→Rd´efinie par f(x) = kxk. Cette application
est continue, comme compos´ee d’applications continues.
c) Notons B∞la boule unit´e ferm´ee et S∞la sph`ere unit´e pour la norme k k∞. Nous avons
d´ej`a vu que B∞est compacte, comme produit de compacts de R.S∞est compacte comme
partie ferm´ee d’un espace m´etrique compact. Il en r´esulte que l’application fatteint ses
bornes sur S∞. Notons αla borne inf´erieure et βla borne sup´erieure de fsur S∞. Nous
avons en particulier α > 0 et pour tout x∈Rn, αkxk∞≤ kxk ≤ βkxk∞, ce qui prouve
que les deux normes k k et k k∞sont ´equivalentes.
Corollaire :
Le mˆeme r´esultat est vrai pour tout espace vectoriel de dimension finie.
D´emonstration :
On note (e1, . . . , en) une base de Eet s:E→Rnd´efinie par s(x)=(x1, . . . , xn) si
(x1, . . . , xn) sont les coordonn´ees du vecteur xdans la base (e1, . . . , en). Si Niest une
norme sur E, on peut d´efinir une norme k kisur Rnpar la formule : kyki=Ni(s−1(y))
ou encore Ni(x) = ks(x)ki. Ainsi, si N1, N2sont deux normes sur E, les normes k k1et
k k2qui leur sont associ´ees, sont ´equivalentes et donc N1et N2aussi.
3.2 Compacit´e de boule unit´e ferm´ee en dimension finie.
Th´eor`eme :
La boule unit´e ferm´ee associ´ee `a n’importe quelle norme sur Rnest compacte.
Soient k k une norme d´efinie sur Rnet Bla boule unit´e ferm´ee qui lui est associ´ee. Nous
avons vu dans la preuve du th´eor`eme 3.1 que l’application (lin´eaire) identit´e,
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