Premier exercice Liban juin 2008

Ultrabac Terminale S - Premier exercice du sujet obligatoire Liban juin 2008
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.
Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Partie A - Une seule partie
Un joueur dispose d'un dé parfaitement équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. Il le
lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule dans l'urne A; sinon il tire au
hasard une boule dans l'urne B.
1°) Soit R l'événement "le joueur obtient une boule rouge".
Montrer que p ( R ) = 0,15 .
Quelle est la couleur
de la boule tirée ?
R(ouge)
1
1/6
Il tire une
boule dans
l'urne A
(Evénement A)
N(oire)
R(ouge)
5/6
2à6
Il tire une
boule dans
l'urne B
(Evénement B)
Le bilan
p(A ∩ R) =
2/5
3/5
1/10
p ( B sachant R ) =
p (B ∩ R )
p (R )
=
1 / 12
1 20 5
= ×
=
3 / 20 12 3 9
Logique car
4 5
+ =1 !
9 9
Conclusion : lorsque l'on tire une boule rouge, il y a plus de chances qu'elle provienne
de l'urne B que de l'urne A.
Partie B - Deux parties et leur gain
Comme le dé est équilibré, toutes les faces du dé ont la même chance d'apparaître.
Comme les boules sont indiscernables au toucher, alors toutes ont la même chance d'être
tirées.
Représentons la situation par un arbre pondéré.
Sur une épreuve, la situation du jeu est la suivante :
Quelle face obtient-il
au lancer du dé ?
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2°) Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de l'urne A estelle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de l'urne B ?
Calculons les probabilités conditionnelles des événements incriminés :
p ( A ∩ R ) 1 / 15
1 20 4
p ( A sachant R ) =
=
= ×
=
p(R)
3 / 20 15 3 9
1
15
1
p (A ∩ N) =
10
1
p(B ∩ R) =
12
Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions
identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes
retrouvent leur composition initiale).
Soit x un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne x euros s'il obtient une boule rouge et
perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur exprimé
en euros au terme des deux épreuves.
La variable aléatoire G prend donc les valeurs 2 × x ; x − 2 et −4 .
1°) Déterminer la loi de probabilité de G.
La situation des deux parties consécutives est la suivante :
Il joue une première fois.
Il joue une seconde fois.
Quelle est la couleur
Quelle est la couleur
de la boule tirée ?
de la boule tirée ?
Le bilan
Gain G Probabilité
Rouge : x
2 × x 0, 0225
Noire : -2
x − 2 0,1275
Rouge : x
x − 2 0,1275
Noire : -2
−4 0, 7225
0,15
9/10
N(oire)
p (B ∩ N) =
Les événements A et B forment une partition de l'univers des probabilités. En
application du théorème des probabilités totales, nous pouvons écrire :
p (R ) = p (A ∩ R ) + p (B ∩ R )
1 2 5 1
2
5
9
3
= × + × =
+
=
=
= 0,15
6 5 6 10 30 60 60 20
3
4
Rouge : x
0,85
0,15
0,85
0,15
Noire : -2
0,85
Ultrabac Terminale S - Premier exercice du sujet obligatoire Liban juin 2008
Par conséquent, la loi de probabilité de la variable aléatoire G est :
p ( G = −4 ) = 0,85 × 0,85 = 0, 7225
p ( G = x − 2 ) = 0,15 × 0,85 + 0,85 × 0,15 = 0, 255
p ( G = 2 × x ) = 0,15 × 0,15 = 0, 0225
2°) Exprimer l'espérance mathématique E ( G ) de la variable aléatoire G en fonction de x.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire G est donnée par :
E ( G ) = p ( G = −4 ) × ( −4 ) + p ( G = x − 2 ) × ( x − 2 ) + p ( G = 2 × x ) × 2 × x
= 0, 7225 × ( −4 ) + 0, 255 × ( x − 2 ) + 0, 0225 × 2 × x
= 0,3 × x − 3, 4
3°) Pour quelles valeurs de x a-t-on E ( G ) ≥ 0 ?
L'espérance de gain est positive ou nulle lorsque et seulement lorsque que :
34
E ( G ) ≥ 0 ⇔ 0,3 × x − 3, 4 ≥ 0 ⇔ 0,3 × x ≥ 3, 4 ⇔ x ≥
3
Conclusion : l'espérance de gain G est positive ou nulle lorsque et seulement lorsque la
probabilité de tirer une boule rouge à chaque partie est supérieure ou égale à 12 euros.
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