Dérivées et fonctions de référence
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C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. Dérivées I – Dérivées et fonctions de référence Activité : La fonction carré et sa fonction dérivée Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x2 ; on note Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère. On rappelle que, pour un point A de Cf, d’abscisse xA, le nombre dérivé de f en xA est f ’(xA) = 2xA. 1) Qu’est f ’(xA) pour la tangente à Cf au point A ? 2) On désigne par f’ la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre dérivé de f en x. Ainsi, pour tout nombre réel x, f ’(x) = 2x. a. Calculer f ’(– 2), f ’(0), f ’(1) et f ’ Error!. b. Résoudre dans IR l’équation f ’(x) = – 2. Donner une interprétation du résultat obtenu. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 1) Fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervalle I. ► On dit que f est dérivable sur I lorsque f admet en tout x de I un nombre dérivé, f ’(x). Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f (ou plus simplement dérivée de f) la fonction, notée f’, qui à tout x de I, associe le nombre dérivée f ’(x) de f en x. On dit alors que f est une primitive de f ’ . 2) Dérivées des fonctions de référence On admet les résultats suivants : 1 f est définie et dérivable sur : C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. f ’(x) = f (x) = IR ]; 0[ ou ]0 ; +[ k (constante) 0 x 1 x2 2x 3 x 3x2 Error! Error! xn n x n–1 Cas général (n est un entier relatif) : IR, si n 0 ; et soit ]; 0[, soit ]0 ; +[ si n < 0 f est définie sur [0 ; +[ f (x) = x f '(x) = Error! et dérivable sur ]0 ; +[ exemples: Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1) la fonction f, définie sur IR par f(x) = x5. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) la fonction f, définie sur ]; 0[ par f(x) = Error! . ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Applications : 1] Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x4. On désigne par Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère. a. Déterminer les équations réduites des tangentes T 0 et T1 aux points de Cf d’abscisses respectives 0 et 1. b. Retrouver sur le dessin ci-contre les unités, et effectuer un contrôle en traçant sur l’écran de la calculatrice la courbe Cf et les droites T0 et T1, puis reproduire les tangentes sur le dessin ci-contre. 2] Soit g la fonction définie sur [0 ; +[ par g(x) = x. On désigne par Cg la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère. a. Tracer la courbe Cg sur l’écran de la calculatrice, pour constater graphiquement qu’il semble n’exister aucune tangente à C g de coefficient directeur égal à 0. b. Le prouver par le calcul. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 2 C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Faire les exercices : n°1, 2, 5 p 161 – n°8, 9, 11, 13 à 15 p 162 II – Opérations sur les fonctions dérivables Activité : La somme oui ; le produit non ! On note f et g les fonctions définies sur [– 3 ; 2] par f(x) = x2 + x et g(x) = x3. On peut donc écrire : f(x) = u(x) + v(x) et g(x) = u(x) v(x), où u(x) = x 2 et v(x) = x. 1) Déterminer u’(x), v’(x) et g’(x). 2) a. Tracer sur l’écran de 1a calculatrice la courbe C, représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal. b. Calculer m1 = u’(–1,5) + v’(–1,5), puis tracer sur l’écran la droite d’équation y = m1x ; constater que cette droite apparaît parallèle à la tangente à C au point d’abscisse –1,5. En déduire que f’(–1,5) = u’(–1,5) + v’(–1,5). c. Reprendre cette démarche avec m2 = u’(1) + v’(1) et vérifier ainsi que f’(1) = u’(1) + v’(1). 3) Donner deux exemples de nombres réels x pour lesquels g’(x) = u’(x) v’(x). ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ► On considère une fonction f définie sur un intervalle I. Tous les résultats suivants sont admis. 3 u et v sont des fonctions définies et C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. Alors f est dérivable sur I et f ’(x) est Si f (x) s’écrit dérivables sur I. égal à Somme u + v f (x) = u(x) + v(x) f ' (x) = u’(x) + v’(x) Différence u – v f (x) =u(x) – v(x) f ' (x) = u’(x) – v’(x) Produit ku par un nombre réel k f (x) =k u(x) f ' (x) = k u’(x) Produit uv f (x) = u(x) v(x) f ' (x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x) Inverse Error! où v(x) 0 pour tout f (x) = Error! f ' (x) = Error! f (x) = Error! f ' (x) = Error! x de I. Inverse Error! où v(x) 0 pour tout x de I. Composée de u suivie de v u x u est une fonction définie et dérivable v u(x) v[u(x)] = f (x) f sur I et v est une fonction définie et dérivable sur un intervalle J tel que, f (x) = v [u(x)] f ' (x) = v’[u(x)] u’(x) pour tout x de I, u(x) J. exemple: Soit h et f les fonctions définies sur IR par h(x) = x2 – x et f(x) = (x2 – x)4 . Calculer h’(x) et en déduire f’(x) pour tout x. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… Applications : 1] Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = – 10 x3 – x + 7. Calculer f’(x). 2] Soit g la fonction définie sur ] –6 ; + [ par : g(x) = Error! . Calculer g’(x). 3] Soit h la fonction définie sur IR par : h(x) = (–x + 1)3 . Calculer h’(x). ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 4 C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. Faire les exercices : n° 16 à 25, 29, 30, 37, 39, 43, 48, 55 p 163 et n°65, 71 p 164 – n°76, 78, 82, 84, 86 p 164 III – Extremums et sens de variation Activité : Dériver et y trouver maximum, minimum et sens ! Une entreprise fabrique chaque jour x kilogrammes d’un produit (0 x 16). Le coût de fabrication, en euros, est exprimé par la fonction f, définie sur [0 ;16] par : f(x) = x3 – 25,5 x2 + 180 x + 50. La courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère est donnée ci-contre. 1. Avec l’aide du graphique, déterminer les coûts de fabrication minimum et maximum. 2. Calculer f’(x) et montrer que f’(x) peut s’écrire f’(x) = 3(x – 5)(x – 12). En déduire les valeurs de x pour lesquelles f’(x) = 0. 3. Etudier le signe de f’(x) et préciser le svaleurs d x pour lesquelles f’(x) change de signe. 4. Déterminer graphiquement : a) le maximum de f sur [2 ; 6] et la valeur de x pour laquelle il est atteint, puis un autre intervalle sur lequel f garde ce même maximum. b) le minimum de f sur [10 ; 14] et la valeur de x pour laquelle il est atteint, puis un autre intervalle sur lequel f garde ce même minimum. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 5 C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… f désigne une fonction dérivable sur un intervalle I. Tous les résultats suivants sont admis. 1) Dérivée et sens de variation ► Soit J un intervalle inclus dans I. Si, pour tout x appartenant à J, f ’(x) > 0, alors f est strictement croissante sur J. f ’(x) < 0, alors f est strictement décroissante sur J. f ’(x) = 0, alors f est constante sur J. 2) Dérivée et extrema locaux ► f (x0) est un minimum local si pour tout x « suffisamment proche de part et d’autre » de x0, f (x) f (x0). ► f (x0) est un maximum local si pour tout x « suffisamment proche de part et d’autre » de x0, f (x) f (x0). M0 est un minimum local M0 est un maximum local ► Soit x0 appartenant à I, distinct des extrémités de I. Si f a un extremum local en x0, alors nécessairement, f ’(x0) = 0. Si f ’(x0) = 0, et si f ’ change de signe en x0, alors f a un extremum local en x0. Un extremum est un maximum ou un minimum. (extrema au pluriel) Attention : exemple de x x3. La courbe ci-contre est sa représentation graphique dans un repère donné du plan. 1) Donner le tableau de variation de cette fonction, en faisant figurer le signe de la dérivée. 2) Que remarque-t-on ? Expliquer. 6 C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. Applications : Pour chacune des fonctions suivantes, étudier le sens de variation, porter les résultats dans un tableau de variation et préciser les éventuels extrema locaux. 1] f est définie sur [2 ; 4] par f(x) = x3 + 3 x2 + 2. 2] g est définie sur [2 ; 4] par g(x) = 3(x – 1)2 – 1. 3] h est définie sur IR par h(x) = Error! . ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… 7 C. Jourdain Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G. Faire les exercices : n° 88, 89, 92, 93, 96, 99, 100, 101 à 105 p 165 – n°109 p 166 – n°114 p 166 – n° 118 p 166 8
