Dérivées et fonctions de référence

C. Jourdain

Chap. 3 – Mathématiques Terminales S.T.G.

Dérivées

I – Dérivées et fonctions de référence

Activité : La fonction carré et sa fonction dérivée

Soit f la fonction définie sur IR par f (x) = x2 ; on note Cf sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère.

On rappelle que, pour un point A de Cf, d’abscisse xA, le nombre dérivé de f en xA est f ’(xA) = 2xA.

1) Qu’est f ’(xA) pour la tangente à Cf au point A ?

2) On désigne par f’ la fonction qui, à tout nombre réel x, associe le nombre dérivé de f en x.

Ainsi, pour tout nombre réel x, f ’(x) = 2x.

a. Calculer f ’(– 2), f ’(0), f ’(1) et f ’

Error!

b. Résoudre dans IR l’équation f ’(x) = – 2.

Donner une interprétation du résultat obtenu.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

1) Fonction dérivée

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

► On dit que f est dérivable sur I lorsque f admet en tout x de I un nombre dérivé, f ’(x).

Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de f (ou plus simplement dérivée de f) la fonction, notée f’, qui à tout x de I, associe le

nombre dérivée f ’(x) de f en x. On dit alors que f est une primitive de f ’ .

2) Dérivées des fonctions de référence

On admet les résultats suivants :

C. Jourdain

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f est définie et dérivable sur :

f (x) =

f ’(x) =

k (constante)

3x2

]; 0[ ou ]0 ; +[

Error!

Cas général (n est un entier relatif) :

 IR, si n  0 ;

 et soit ]; 0[, soit ]0 ; +[ si n < 0

x n

n x n – 1

f est définie sur [0 ; +[

et dérivable sur ]0 ; +[

f (x) = x

f '(x) = Error!

exemples: Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1) la fonction f, définie sur IR par f(x) = x5.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) la fonction f, définie sur ]; 0[ par f(x) =

Error!

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Applications :

1] Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x4.

On désigne par Cf la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère.

a. Déterminer les équations réduites des tangentes T0 et T1 aux points de Cf

d’abscisses respectives 0 et 1.

b. Retrouver sur le dessin ci-contre les unités, et effectuer un contrôle en traçant

sur l’écran de la calculatrice la courbe Cf et les droites T0 et T1, puis reproduire

les tangentes sur le dessin ci-contre.

2] Soit g la fonction définie sur [0 ; +[ par g(x) = x.

On désigne par Cg la courbe représentative de g dans le plan rapporté à un repère.

a. Tracer la courbe Cg sur l’écran de la calculatrice, pour constater graphiquement qu’il semble n’exister aucune tangente à Cg

de coefficient directeur égal à 0.

b. Le prouver par le calcul.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

C. Jourdain

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………………………………………………………………………………………………………………………………………

Faire les exercices : n°1, 2, 5 p 161 – n°8, 9, 11, 13 à 15 p 162

II – Opérations sur les fonctions dérivables

Activité : La somme oui ; le produit non !

On note f et g les fonctions définies sur [– 3 ; 2] par f(x) = x2 + x et g(x) = x3.

On peut donc écrire : f(x) = u(x) + v(x) et g(x) = u(x) v(x), où u(x) = x2 et v(x) = x.

1) Déterminer u’(x), v’(x) et g’(x).

2) a. Tracer sur l’écran de 1a calculatrice la courbe C, représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

b. Calculer m1 = u’(–1,5) + v’(–1,5), puis tracer sur l’écran la droite d’équation y = m1x ; constater que cette droite apparaît

parallèle à la tangente à C au point d’abscisse –1,5. En déduire que f’(–1,5) = u’(–1,5) + v’(–1,5).

c. Reprendre cette démarche avec m2 = u’(1) + v’(1) et vérifier ainsi que f’(1) = u’(1) + v’(1).

3) Donner deux exemples de nombres réels x pour lesquels g’(x) = u’(x) v’(x).

………………………………………………………………………………………………………………………………………

► On considère une fonction f définie sur un intervalle I.

Tous les résultats suivants sont admis.

C. Jourdain

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u et v sont des fonctions définies et

dérivables sur I.

Si f (x) s’écrit

Alors f est dérivable sur I et f ’(x) est

égal à

Somme u + v

f (x) = u(x) + v(x)

f ' (x) = u’(x) + v’(x)

Différence u – v

f (x) =u(x) – v(x)

f ' (x) = u’(x) – v’(x)

Produit ku par un nombre réel k

f (x) =k u(x)

f ' (x) = k u’(x)

Produit uv

f (x) = u(x) v(x)

f ' (x) = u’(x) v(x) + u(x) v’(x)

Inverse Error! où v(x)  0 pour tout

x de I.

f (x) = Error!

f ' (x) = Error!

Inverse Error! où v(x)  0 pour tout

x de I.

f (x) =Error!

f ' (x) = Error!

Composée de u suivie de v

u est une fonction définie et dérivable

sur I et v est une fonction définie et

dérivable sur un intervalle J tel que,

pour tout x de I, u(x)  J.

u(x)

v[u(x)] = f (x)

f (x) = v [u(x)]

f ' (x) = v’[u(x)] u’(x)

exemple: Soit h et f les fonctions définies sur IR par h(x) = x2 – x et f(x) = (x2 – x)4 .

Calculer h’(x) et en déduire f’(x) pour tout x.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Applications :

1] Soit f la fonction définie sur IR par : f(x) = – 10 x3 – x + 7. Calculer f’(x).

2] Soit g la fonction définie sur ] –6 ; + [ par : g(x) =

Error!

. Calculer g’(x).

3] Soit h la fonction définie sur IR par : h(x) = (–x + 1)3 . Calculer h’(x).

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C. Jourdain

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Faire les exercices : n° 16 à 25, 29, 30, 37, 39, 43, 48, 55 p 163 et n°65, 71 p 164 – n°76, 78, 82, 84, 86 p 164

III – Extremums et sens de variation

Activité : Dériver et y trouver maximum, minimum et sens !

Une entreprise fabrique chaque jour x kilogrammes d’un produit

(0  x  16). Le coût de fabrication, en euros, est exprimé par la

fonction f, définie sur [0 ;16] par : f(x) = x3 – 25,5 x2 + 180 x + 50.

La courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère est

donnée ci-contre.

1. Avec l’aide du graphique, déterminer les coûts de fabrication

minimum et maximum.

2. Calculer f’(x) et montrer que f’(x) peut s’écrire

f’(x) = 3(x – 5)(x – 12).

En déduire les valeurs de x pour lesquelles f’(x) = 0.

3. Etudier le signe de f’(x) et préciser le svaleurs d x pour lesquelles

f’(x) change de signe.

4. Déterminer graphiquement :

a) le maximum de f sur [2 ; 6] et la valeur de x pour laquelle il est atteint,

puis un autre intervalle sur lequel f garde ce même maximum.

b) le minimum de f sur [10 ; 14] et la valeur de x pour laquelle il est atteint,

puis un autre intervalle sur lequel f garde ce même minimum.

………………………………………………………………………………………………………………………………………

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